[Nub]

Hola, no entiendo como llega a la conclusión en esta demostración, es decir en que aplica la parte 3 y 4 del teorma, creo que le faltaria un poco de detalle a la demostración

[feriva]

Hola, no entiendo como llega a la conclusión en esta demostración, es decir en que aplica la parte 3 y 4 del teorma, creo que le faltaria un poco de detalle a la demostración

Es que con tanta letra se hace un poco lío, pero en realidad es sencillo.

En primer lugar el mcd siempre es positivo (por convenio). Entonces, obviamente, \( (a,b)=(a,-b) \).

...

Por otra parte, si un número “x” divide a un número “y”, tiene que ser ó \( |x|<|y| \) ó \( |x|=|y| \), pues el divisor, como es evidente, nunca puede ser mayor (considerando valores absolutos).

Por eso, si “a” divide a “b” y recíprocamente, “b” divide a “a”, significa que en valor absoluto son iguales y el cociente (de los valores absolutos) es 1.

...

Por otro lado más, si “d” es el mcd de “a” y “b”, entonces “d” divide a \( b+ax \); puesto que “d” es factor común de los dos sumandos. Por ejemplo, si tenemos \( 10+25x \) y dividimos entre el mcd de ambos (que es 5) queda \( 2+5x \); ahora, como “x” es entero, esa suma da un entero, luego 5 divide a \( 10+25x \).


Aquí me he equivocado

Spoiler

Seguidamente, consideremos mcd \( [10,\,(10+25x)] \); ¿sigue siendo mcd=5 ó puede cambiarlo ese factor “x”?

Ocurre que “x” no puede aumentar la cantidad de factores del mcd anterior, (10,25), porque no multiplica a 10, solamente a 25. Y como el mcd es factor común de los dos, pues multiplicando a uno sólo no puede cambiarlo, así de simple; porque no lo multiplica ni en el primero ni en el segundo número del mcd.
(Aunque este argumento no es claro, es intuitivo, no sirve para la demostración

).
Es decir, en general, \( (a,\,\,\,b+ax) \) tendrá el mismo mcd que tengan a,b.

[cerrar]

Es que anoche al equivocarme al escribir el ejemplo, me lié, pero es muy simple la demostración:

Como “g” divide a “a” y a \( (b+ax) \), entonces puedes haceer

1ª\( a=du \)

\( b+dux=dv \)

2ª \( b=d(v-ux) \) (de donde d divide a b).

Luego \( g=dk \), pero k=1, ya que aquí \( (b+ax) \), el factor “x” sólo podría aumentar (entendido en valor absoluto) el mcd(a,b) dado que x es entero y no divide a “a”, no quita factores. Pero no puede aumentar porque tiene que ser menor o igual que mcd(a,b) Esto lo había pensado al revés, esto no

Saludos.

[Nub]

Hola, no entiendo como llega a la conclusión en esta demostración, es decir en que aplica la parte 3 y 4 del teorma, creo que le faltaria un poco de detalle a la demostración

Es que con tanta letra se hace un poco lío, pero en realidad es sencillo.

En primer lugar el mcd siempre es positivo (por convenio). Entonces, obviamente, \( (a,b)=(a,-b) \).

...

Por otra parte, si un número “x” divide a un número “y”, tiene que ser ó \( |x|<|y| \) ó \( |x|=|y| \), pues el divisor, como es evidente, nunca puede ser mayor (considerando valores absolutos).

Por eso, si “a” divide a “b” y recíprocamente, “b” divide a “a”, significa que en valor absoluto son iguales y el cociente (de los valores absolutos) es 1.

...

Por otro lado más, si “d” es el mcd de “a” y “b”, entonces “d” divide a \( b+ax \); puesto que “d” es factor común de los dos sumandos. Por ejemplo, si tenemos \( 10+25x \) y dividimos entre el mcd de ambos (que es 5) queda \( 2+5x \); ahora, como “x” es entero, esa suma da un entero, luego 5 divide a \( 10+25x \).

Seguidamente, consideremos mcd \( [10,\,(10+25x)] \); ¿sigue siendo mcd=5 ó puede cambiarlo ese factor “x”?

Ocurre que “x” no puede aumentar la cantidad de factores del mcd anterior, (10,25), porque no multiplica a 10, solamente a 25. Y como el mcd es factor común de los dos, pues multiplicando a uno sólo no puede cambiarlo, así de simple; porque no lo multiplica ni en el primero ni en el segundo número del mcd.
(Aunque este argumento no es claro, es intuitivo, no sirve para la demostración

).



Es decir, en general, \( (a,\,\,\,b+ax) \) tendrá el mismo mcd que tengan a,b.

Saludos.

Hola feriva, no entendi tanto pero tampoco lo leí detalladamente, pero me diste una idea para hacer la demostración, pretendo que la demostración salga de aplicar propiedades o cosas así

Por otro lado más, si “d” es el mcd de “a” y “b”, entonces “d” divide a \( b+ax \); puesto que “d” es factor común de los dos sumandos. Por ejemplo, si tenemos \( 10+25x \) y dividimos entre el mcd de ambos (que es 5) queda \( 2+5x \); ahora, como “x” es entero, esa suma da un entero, luego 5 divide a \( 10+25x \).

Por ejemplo esto lo entiendo y de acá sale la idea, si pensamos como números (que lo son) \( d \) es el mcd de \( a \) y \( b \), entonces \( d \) divide a \( a \) y a \( b \) pues es un divisor, en particular el mcd, usando esta idea puedo decir lo mismo de con g.

\( d|a \) y \( d|b \), luego por la propiedad esa que dice el libro \( d|ax'+by' \) luego como es para todo \( x' \) e \( y' \) si y=1 y \( x´=x \) en particular d|b+ax y como d|b de nuevo aplicamos la propiedad  \( d|bx'+(b+ax)y' \) luego esto por bezout \( d|g \)
Haglo algo parecido para el otro caso, osea \( g|a \) y \( g|b+ax \) y obtengo \( g|b \), luego usando la propiedad otra que dice el libro tengo que \( d=g \)

¿ Creen que es correcto ?

[feriva]

Hola, no entiendo como llega a la conclusión en esta demostración, es decir en que aplica la parte 3 y 4 del teorma, creo que le faltaria un poco de detalle a la demostración

Es que con tanta letra se hace un poco lío, pero en realidad es sencillo.

En primer lugar el mcd siempre es positivo (por convenio). Entonces, obviamente, \( (a,b)=(a,-b) \).

...

Por otra parte, si un número “x” divide a un número “y”, tiene que ser ó \( |x|<|y| \) ó \( |x|=|y| \), pues el divisor, como es evidente, nunca puede ser mayor (considerando valores absolutos).

Por eso, si “a” divide a “b” y recíprocamente, “b” divide a “a”, significa que en valor absoluto son iguales y el cociente (de los valores absolutos) es 1.

...

Por otro lado más, si “d” es el mcd de “a” y “b”, entonces “d” divide a \( b+ax \); puesto que “d” es factor común de los dos sumandos. Por ejemplo, si tenemos \( 10+25x \) y dividimos entre el mcd de ambos (que es 5) queda \( 2+5x \); ahora, como “x” es entero, esa suma da un entero, luego 5 divide a \( 10+25x \).

Seguidamente, consideremos mcd \( [10,\,(10+25x)] \); ¿sigue siendo mcd=5 ó puede cambiarlo ese factor “x”?

Ocurre que “x” no puede aumentar la cantidad de factores del mcd anterior, (10,25), porque no multiplica a 10, solamente a 25. Y como el mcd es factor común de los dos, pues multiplicando a uno sólo no puede cambiarlo, así de simple; porque no lo multiplica ni en el primero ni en el segundo número del mcd.
(Aunque este argumento no es claro, es intuitivo, no sirve para la demostración

).



Es decir, en general, \( (a,\,\,\,b+ax) \) tendrá el mismo mcd que tengan a,b.

Saludos.

Hola feriva, no entendi tanto pero tampoco lo leí detalladamente,

Es que me he equivocado en el ejemplo, en realidad sería a=10 b=25 y entonces es

mcd\( [10,\,(25+10x)] \).

Donde x multiplica a un 10 y al otro no. Ahora después miro lo demás si puedo.

[ani_pascual]

Hola, no entiendo como llega a la conclusión

Sean
\( d=(a,b)\\
g=(a,b+ax) \)
Por definición,
\(
d|a\\
d|b \)
Por tanto,
\(
d|ax\\
d|(b+ax) \)
Luego \(
d|a \hspace{0.5cm}\wedge \hspace{0.5cm}d|(b+ax)
\Longrightarrow{d|g}
 \)

Análogamente
\(
g|a\\
g|(b+ax) \)

Luego
\(
g|ax\\
g|b \)

De esta manera
\( g|a \hspace{0.5cm}\wedge \hspace{0.5cm}g|b
\Longrightarrow{g|d}
 \)
En definitiva
\(
d=g \)
Corregido

[feriva]

Por ejemplo esto lo entiendo y de acá sale la idea, si pensamos como números (que lo son) \( d \) es el mcd de \( a \) y \( b \), entonces \( d \) divide a \( a \) y a \( b \) pues es un divisor, en particular el mcd, usando esta idea puedo decir lo mismo de con g.

\( d|a \) y \( d|b \), luego por la propiedad esa que dice el libro \( d|ax'+by' \) luego como es para todo \( x' \) e \( y' \) si y=1 y \( x´=x \) en particular d|b+ax y como d|b de nuevo aplicamos la propiedad  \( d|bx'+(b+ax)y' \) luego esto por bezout \( d|g \)
Haglo algo parecido para el otro caso, osea \( g|a \) y \( g|b+ax \) y obtengo \( g|b \), luego usando la propiedad otra que dice el libro tengo que \( d=g \)

¿ Creen que es correcto ?

Ahora con el sueño me pierdo un poco.

 A ver si consigo explicarlo con palabras esta vez.

Tienes que \( mcd(a,\,b+ax) \) divide a “a” y entonces tiene que dividir a ”b”, puesto que también divide a \( b+ax \); ya que, si no dividiera a “b” en esa suma, el cociente no sería entero (puesto que sí divide al otro sumando, a “ax”).

Entonces, como \( mcd(a,\,b+ax) \) divide “a” y “b”, tiene que dividir a factores comunes de a,b; o sea, a factores del mcd. Con lo cual divide al mcd de a,b. Eso implica que no puede ser mayor que mcd(a,b); pero como vemos trivialmente que tampoco puede ser menor, tiene que ser igual.

Buenas noches.

[Nub]

Hola, no entiendo como llega a la conclusión

Sean
\( d=(a,b)\\
g=(a,b+ax) \)
Por definición,
\(
d|a\\
d|b \)
Por tanto,
\(
d|ax\\
d|(b+ax) \)
Luego \(
d|a \hspace{0.5cm}\wedge \hspace{0.5cm}d|(b+ax)
\Longrightarrow{d|g}
 \)

Análogamente
\(
g|a\\
g|(b+ax) \)

Luego
\(
g|ax\\
g|b \)

De esta manera
\( g|a \hspace{0.5cm}\wedge \hspace{0.5cm}g|b
\Longrightarrow{g|d}
 \)
En definitiva
\(
d=g \)
Corregido

Pero fue practicamente lo que dije  supongo que estara bien. Gracias a todos

[ani_pascual]

Pero fue practicamente lo que dije  supongo que estara bien. Gracias a todos

Creo que las partes 3 y 4 del Teorema 1.1 no son suficientes para poder demostrar que si \( d \) es un divisor común de
\( a  \) y de \(  b+ax  \) entonces también es un divisor de \( g=(a,b+ax) \). Es preciso aplicar el resultado según el cuál
existen enteros \( m,n \), no únicos, tales que
\( g=am +(b+ax)n \)
Lo mismo en el otro caso

[feriva]

Pero fue practicamente lo que dije  supongo que estara bien. Gracias a todos

Creo que las partes 3 y 4 del Teorema 1.1 no son suficientes para poder demostrar que si \( d \) es un divisor común de
\( a  \) y de \(  b+ax  \) entonces también es un divisor de \( g=(a,b+ax) \). Es preciso aplicar el resultado según el cuál
existen enteros \( m,n \), no únicos, tales que
\( g=am +(b+ax)n \)
Lo mismo en el otro caso

Bueno, pero eso se supone que lo sabría terminar demostrando con conceptos previos; lo ha dejado esbozado.

Se puede hacer sin necesidad de Bézout:

Si \( d|a\wedge d|b \), basta con hacer

\( a=dn \)

\( b=dm \)

de donde

\( b+ax= \)

\( dm+dnx=d(m+nx) \)

luego “d” es factor común de ambos, de \( a \) y de \( b+ax= \), por lo que divide a “g”.

Saludos.

[ani_pascual]

Pero fue practicamente lo que dije  supongo que estara bien. Gracias a todos

Creo que las partes 3 y 4 del Teorema 1.1 no son suficientes para poder demostrar que si \( d \) es un divisor común de
\( a  \) y de \(  b+ax  \) entonces también es un divisor de \( g=(a,b+ax) \). Es preciso aplicar el resultado según el cuál
existen enteros \( m,n \), no únicos, tales que
\( g=am +(b+ax)n \)
Lo mismo en el otro caso

Bueno, pero eso se supone que lo sabría terminar demostrando con conceptos previos; lo ha dejado esbozado.

Se puede hacer sin necesidad de Bézout:

Si \( d|a\wedge d|b \), basta con hacer

\( a=dn \)

\( b=dm \)

de donde

\( b+ax= \)

\( dm+dnx=d(m+nx) \)

luego “d” es factor común de ambos, de \( a \) y de \( b+ax= \), por lo que divide a “g”.

Saludos.

Como \( d|a \) y
\( d|b \) es claro, usando la parte 3 del Teorema 1.1, que
\( d|(a+bx) \)
Lo que quiero matizar es que deducir de eso que \( d|g \) se basa en el hecho de que \( g=am + (b+ax)n \)
para algunos enteros \(  m,n \). Es cierto que su planteamiento es correcto, solo quería matizar ese punto.
Saludos 🖐🏻