[Nub]

Hola, tengo que probar esto:
\( a\in{\mathbb{N}} \)
Si \( 4 \) divide a \( a^2 \) entonces \( 2 \) divide a \( a \)

Entonces \( a^2=4*q_1 \) tomo raiz ambos lados
\( \sqrt[ ]{a^2}=\sqrt[ ]{4*q_1} \)
\( |a|=\sqrt[ ]{4*q_1} \)
Como \( a\in{\mathbb{N}} \)
\( a=\sqrt[ ]{4*q_1} \)
\( a=\sqrt[ ]{4}*\sqrt[ ]{q_1} \)
\( a=2*\sqrt[ ]{q_1}
 \)
Acá viene la duda, el resultado de la raiz de \( q_1 \) deberia ser entero, sino seria falso, ¿Es falso?

Gracias

[manooooh]

Hola

\( a\in{\mathbb{N}} \)
Si \( 4 \) divide a \( a^2 \) entonces \( 2 \) divide a \( a \)

Entonces \( a^2=4*q_1 \) tomo raiz ambos lados
\( \sqrt[ ]{a^2}=\sqrt[ ]{4*q_1} \)
\( |a|=\sqrt[ ]{4*q_1} \)
Como \( a\in{\mathbb{N}} \)
\( a=\sqrt[ ]{4*q_1} \)
\( a=\sqrt[ ]{4}*\sqrt[ ]{q_1} \)
\( a=2*\sqrt[ ]{q_1}
 \)
Acá viene la duda, el resultado de la raiz de \( q_1 \) deberia ser entero, sino seria falso, ¿Es falso?

No sé si sería falso, pero desde luego no puedes trabajar tan libremente con raíces sobre los enteros; en todo caso deberías estudiar por casos.

En cuanto al problema, puedes usar el contrarrecíproco. Un ejercicio similar: https://math.stackexchange.com/questions/2270529/prove-if-2-divides-a2-then-2-divides-a

Saludos

[Masacroso]

Hola, tengo que probar esto:
\( a\in{\mathbb{N}} \)
Si \( 4 \) divide a \( a^2 \) entonces \( 2 \) divide a \( a \)

Entonces \( a^2=4*q_1 \) tomo raiz ambos lados
\( \sqrt[ ]{a^2}=\sqrt[ ]{4*q_1} \)
\( |a|=\sqrt[ ]{4*q_1} \)
Como \( a\in{\mathbb{N}} \)
\( a=\sqrt[ ]{4*q_1} \)
\( a=\sqrt[ ]{4}*\sqrt[ ]{q_1} \)
\( a=2*\sqrt[ ]{q_1}
 \)
Acá viene la duda, el resultado de la raiz de \( q_1 \) deberia ser entero, sino seria falso, ¿Es falso?

Gracias

Sí, \( \sqrt{q_1} \) debería ser entero, pero eso tienes que demostrarlo de algún modo. El modo en que lo hagas dependerá de los resultados que conozcas de aritmética o teoría de números, y de los esquemas de demostración que conozcas. Por ejemplo, si puedes usar que \( 4\mid a^2\implies 2\mid a^2 \) y que el producto de dos números impares es impar, entonces si \( 2\nmid a \) significa que \( a \) es impar, y por tanto \( a^2 \) también lo es, de donde se sigue (por definición de número impar) que \( 2\nmid a^2 \), lo cual es imposible. Por tanto \( 2\mid a \).

[Nub]

Hola, tengo que probar esto:
\( a\in{\mathbb{N}} \)
Si \( 4 \) divide a \( a^2 \) entonces \( 2 \) divide a \( a \)

Entonces \( a^2=4*q_1 \) tomo raiz ambos lados
\( \sqrt[ ]{a^2}=\sqrt[ ]{4*q_1} \)
\( |a|=\sqrt[ ]{4*q_1} \)
Como \( a\in{\mathbb{N}} \)
\( a=\sqrt[ ]{4*q_1} \)
\( a=\sqrt[ ]{4}*\sqrt[ ]{q_1} \)
\( a=2*\sqrt[ ]{q_1}
 \)
Acá viene la duda, el resultado de la raiz de \( q_1 \) deberia ser entero, sino seria falso, ¿Es falso?

Gracias

Sí, \( \sqrt{q_1} \) debería ser entero, pero eso tienes que demostrarlo de algún modo. El modo en que lo hagas dependerá de los resultados que conozcas de aritmética o teoría de números, y de los esquemas de demostración que conozcas. Por ejemplo, si puedes usar que \( 4\mid a^2\implies 2\mid a^2 \) y que el producto de dos números impares es impar, entonces si \( 2\nmid a \) significa que \( a \) es impar, y por tanto \( a^2 \) también lo es, de donde se sigue (por definición de número impar) que \( 2\nmid a^2 \), lo cual es imposible. Por tanto \( 2\mid a \).

No conozco nada casi, ¿tendrá que ver algo con numeros primos? sino no creo que pueda hacerlo

[Masacroso]

No conozco nada casi, ¿tendrá que ver algo con numeros primos? sino no creo que pueda hacerlo

Si no conoces teoremas ni definiciones no puedes hacer demostraciones. Es así de simple. Las demostraciones se fundan en axiomas, teoremas ya previamente demostrados y definiciones. No se pueden hacer demostraciones sin partir de algo claro y bien delimitado.

[Nub]

No conozco nada casi, ¿tendrá que ver algo con numeros primos? sino no creo que pueda hacerlo

Si no conoces teoremas ni definiciones no puedes hacer demostraciones. Es así de simple. Las demostraciones se fundan en axiomas, teoremas ya previamente demostrados y definiciones. No se pueden hacer demostraciones sin partir de algo claro y bien delimitado.

Bue, solo se el teorema de la división entera

[Masacroso]

Bue, solo se el teorema de la división entera

Ok, pues con ese teorema se puede intentar algo. Del teorema de la división entera tienes que si \( 2\nmid a \) entonces existe un único \( k\in \mathbb N\cup\{0\} \) tal que \( a=2k+1 \), por tanto \( a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1 \).

Ahora bien, el teorema de la división entera dice que si dividimos \( m\in \mathbb N\cup\{0\} \) por algún \( n\in \mathbb{N} \) entonces existen un único par de números \( b,r\in \mathbb N\cup\{0\} \) tales que \( m=n\cdot b+r \) y \( r<n \). Entonces si llamamos \( b:=k^2+k \) tenemos que \( a^2=4b+1 \), o lo que es lo mismo, que el resto de dividir \( a^2 \) por cuatro es uno y no cero, por lo cual \( 4\nmid a^2 \).

Entonces hemos demostrado que \( 2\nmid a\implies 4\nmid a^2 \), que es equivalente a demostrar que \( 4\mid a^2 \implies 2\mid a \).∎

[Nub]

Gracias a los dos

[feriva]

No conozco nada casi, ¿tendrá que ver algo con numeros primos?

Sí, toda la teoría de números tiene que ver de una u otra manera con los números primos.

Ese problema se puede relacionar especialmente con el TFA (Teorema fundamental de la aritmética) y con el lema de Euclides.

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_aritm%C3%A9tica

https://es.wikipedia.org/wiki/Lema_de_Euclides#:~:text=El%20lema%20asegura%20que%3A,n%20divide%20al%20otro%20factor.

Y tienes que conocer, claro, el concepto de números coprimos.

Saludos.

[Nub]

No conozco nada casi, ¿tendrá que ver algo con numeros primos?

Sí, toda la teoría de números tiene que ver de una u otra manera con los números primos.

Ese problema se puede relacionar especialmente con el TFA (Teorema fundamental de la aritmética) y con el lema de Euclides.

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_aritm%C3%A9tica

https://es.wikipedia.org/wiki/Lema_de_Euclides#:~:text=El%20lema%20asegura%20que%3A,n%20divide%20al%20otro%20factor.

Y tienes que conocer, claro, el concepto de números coprimos.

Saludos.

Es que ese ejercicio lo saque de una lista que habían varios y pude hacer todos menos ese, ejercicios como "Si a|b y c|d entonces ac|bd" que eran directos y pues no había que saber tanto para hacerlos