[Nub]

Ya entendí lo importante... pero me vino una duda, yo veía natural que si algo es multiplo de 2 y de 3 entonces es de 6... pero no siempre se cumple osea por ejemplo \( 8|24 \) y \( 6|24  \)pero \( 48\nmid24 \)

[geómetracat]

Ya entendí lo importante... pero me vino una duda, yo veía natural que si algo es multiplo de 2 y de 3 entonces es de 6... pero no siempre se cumple osea por ejemplo \( 8|24 \) y \( 6|24  \)pero \( 48\nmid24 \)

El resultado general es que si \( a|n \) y \( b|n \) entonces \( mcm(a,b)|n \) (prácticamente por definición de mínimo común múltiplo). En particular, si \[ a \] y \( b \) son coprimos (como en el caso de \( 2 \) y \( 3 \)), entonces \( ab|n \). En el otro caso que pones tienes que lo más que puedes decir es que \( 24=mcm(8,6)|n \).

[Nub]

Ya entendí lo importante... pero me vino una duda, yo veía natural que si algo es multiplo de 2 y de 3 entonces es de 6... pero no siempre se cumple osea por ejemplo \( 8|24 \) y \( 6|24  \)pero \( 48\nmid24 \)

El resultado general es que si \( a|n \) y \( b|n \) entonces \( mcm(a,b)|n \) (prácticamente por definición de mínimo común múltiplo). En particular, si \[ a \] y \( b \) son coprimos (como en el caso de \( 2 \) y \( 3 \)), entonces \( ab|n \). En el otro caso que pones tienes que lo más que puedes decir es que \( 24=mcm(8,6)|n \).

¿Entonces eso de demostrar algo primero para un numero y luego para el otro solo sirve si \( mcd(a,b)=1 \)?

[Nub]

Ya entendí lo importante... pero me vino una duda, yo veía natural que si algo es multiplo de 2 y de 3 entonces es de 6... pero no siempre se cumple osea por ejemplo \( 8|24 \) y \( 6|24  \)pero \( 48\nmid24 \)

El resultado general es que si \( a|n \) y \( b|n \) entonces \( mcm(a,b)|n \) (prácticamente por definición de mínimo común múltiplo). En particular, si \[ a \] y \( b \) son coprimos (como en el caso de \( 2 \) y \( 3 \)), entonces \( ab|n \). En el otro caso que pones tienes que lo más que puedes decir es que \( 24=mcm(8,6)|n \).

¿Entonces eso de demostrar algo primero para un numero y luego para el otro solo sirve si \( mcd(a,b)=1 \)?

Ah creo que entiendo a lo que se referia robinlambada , probar para sus factores, sus factores primos entonces el mcd va ser 1 y va ser cierta la propiedad

[Nub]

Hola, iba a hacer otro post pero creo que no vale la pena, para probar que n(2n+1)(7n+1) es divisible entre 6, ¿perfectamente puedo usar esta idea, es decir probar para multiplo de 2 y de 3, usando n=2q+r y n=3q+r para todos los casos

[feriva]

Hola, iba a hacer otro post pero creo que no vale la pena, para probar que n(2n+1)(7n+1) es divisible entre 6, ¿perfectamente puedo usar esta idea, es decir probar para multiplo de 2 y de 3, usando n=2q+r y n=3q+r para todos los casos

Esto es correcto pero es un lío.

Sí, el caso es ver el resto que queda al final. Puedes hacer esto, por ejemplo, escribirlo así:

Spoiler

\( n(6n-4n+1)(6n+n+1) \)

El primer paréntesis tenía que haberlo dejado como estaba, porque -4 es más incómodo que 2, pero ya lo tengo hecho así

y como los 6n ya son múltiplos de 6, van a dar resto cero en lo que buscamos; los quitamos:

\( n(-4n+1)(n+1) \)

Donde, n ó n+1, uno de ellos, es par.

Ahora tenemos que suponer que ninguno, ni “n” ni “n+1”, es múltiplo de tres (en los casos que sean, ya sería múltiplo de 6, ya estaría demostrado hasta ahí).

Entonces multiplicamos los paréntesis

\( n((-4n^{2}+n)+(-4n+1)) \)

\( n(-4n^{2}-3n+1) \)

quitamos el 3n, que ya es múltiplo de 3

\( n(-4n^{2}+1) \)

\( -4n^{3}+n \)

y probamos primero para \( n=3k+1 \)

\( -4(3k+1)^{3}+3k+1 \)

Donde al desarrollar el cubo todo va a ser mútliplo de 3 menos \( 1^3 \), que por -4 es -4 y más el 1 del final se queda en -3. Luego es mútliplo de 3.

Finalmente, probamos para \( n=3k+2 \)

\( -4(3k+2)^{3}+3k+2 \)

Donde al desarrollar el cubo todo es múltiplo de 3 excepto \( 2^{3}=8  \),que multiplicado -4 es -32 y al sumarle el 2 queda -30. Luego también es múltiplo de 3.

[cerrar]

Saludos.

[Pie]

Siguiendo el mismo método que te dijo robinlambada puedes hacer, tomando \[ n(7n + 1) \]:

\[ n = 2k \Rightarrow \color{blue}2\color{black}k(14k + 1) \]

\[ n = 2k + 1 \Rightarrow (2k + 1)(7(2k + 1) + 1) =(2k + 1)\color{blue}2\color{black}(7k + 4)  \]


Tomando \[ n(2n+1)(7n+1) \]:

\[ n = 3k \Rightarrow{} \color{blue}3\color{black}k(6k + 1)(21k + 1)  \]

\[ n = 3k + 1 \Rightarrow{} (3k + 1)(2(3k + 1) + 1)(7(3k+1) + 1) = (3k + 1)\color{blue}3\color{black}(2k + 1)..  \]

\[ n = 3k + 2 \Rightarrow{} (3k + 2)(2(3k + 2) + 1)(7(3k + 2)+1) = (3k + 2)(6k+5)\color{blue}3\color{black}(7k + 5) \]

Saludos.

[feriva]

Hola, iba a hacer otro post pero creo que no vale la pena, para probar que n(2n+1)(7n+1) es divisible entre 6,

Más sencillo es sustituir “n” por 1 y después por 2 en \( (2n+1)(7n+1) \).

Si 1, tienes\( (2+1)(7+1)=3\cdot8 \).

Si 2, \( 2(2\cdot2+1)(7\cdot2+1)=10\cdot15 \).

Spoiler

Siempre lo puedes hacer, porque en un 3k+r, todo lo que multiplique el 3k va a ser mútliplo de 3 y no va a cambiar nada.
Por ejemplo, \( ({\color{blue}3\cdot5}+1)(1+4+2)={\color{blue}3\cdot5(1+4+2)}+(1+4+2)\equiv7\equiv1 \) módulo 3.

Efectivamente, el resto es 1, porque eso es \( (16)\cdot(7)=112=3\cdot37+1 \), como se puede ver. Entonces basta con ver el resultado de (1+4+2)=(6+1)

[cerrar]

Mira que lo compliqué anoche...


Saludos.

[Nub]

Siguiendo el mismo método que te dijo robinlambada puedes hacer, tomando \[ n(7n + 1) \]:

\[ n = 2k \Rightarrow \color{blue}2\color{black}k(14k + 1) \]

\[ n = 2k + 1 \Rightarrow (2k + 1)(7(2k + 1) + 1) =(2k + 1)\color{blue}2\color{black}(7k + 4)  \]


Tomando \[ n(2n+1)(7n+1) \]:

\[ n = 3k \Rightarrow{} \color{blue}3\color{black}k(6k + 1)(21k + 1)  \]

\[ n = 3k + 1 \Rightarrow{} (3k + 1)(2(3k + 1) + 1)(7(3k+1) + 1) = (3k + 1)\color{blue}3\color{black}(2k + 1)..  \]

\[ n = 3k + 2 \Rightarrow{} (3k + 2)(2(3k + 2) + 1)(7(3k + 2)+1) = (3k + 2)(6k+5)\color{blue}3\color{black}(7k + 5) \]

Saludos.

Porque usas exactamente \[ n(7n + 1) \] ? creo que da igual al final pues son factores multiplicandose y si ya ves que uno es múltiplo luego al multiplicarse serán múltiplos

[Pie]

Siguiendo el mismo método que te dijo robinlambada puedes hacer, tomando \[ n(7n + 1) \]:

\[ n = 2k \Rightarrow \color{blue}2\color{black}k(14k + 1) \]

\[ n = 2k + 1 \Rightarrow (2k + 1)(7(2k + 1) + 1) =(2k + 1)\color{blue}2\color{black}(7k + 4)  \]


Tomando \[ n(2n+1)(7n+1) \]:

\[ n = 3k \Rightarrow{} \color{blue}3\color{black}k(6k + 1)(21k + 1)  \]

\[ n = 3k + 1 \Rightarrow{} (3k + 1)(2(3k + 1) + 1)(7(3k+1) + 1) = (3k + 1)\color{blue}3\color{black}(2k + 1)..  \]

\[ n = 3k + 2 \Rightarrow{} (3k + 2)(2(3k + 2) + 1)(7(3k + 2)+1) = (3k + 2)(6k+5)\color{blue}3\color{black}(7k + 5) \]

Saludos.

Porque usas exactamente \[ n(7n + 1) \] ? creo que da igual al final pues son factores multiplicandose y si ya ves que uno es múltiplo luego al multiplicarse serán múltiplos

Porque de ahí saco los "doses" tanto para \( n = 2k \) como para \[ 2k + 1 \]. Si solo usara \( n \) solo podria hacer el primer caso (pero no el segundo), y si solo usara \[ 7n + 1 \] solo podria hacer el segundo (pero no el primero). Pero vaya, que se podria coger solo un factor para cada caso si te refieres a eso (sabiendo cuál es el que te da lo que buscas, claro  ).

Saludos.