[robinlambada]

Otra idea era \( n=6*q+r \) con \( 0\leq{}r<6 \) y luego \( (6*q+r)(6*q+r+1)(6*q+r+2) \) lo que no pude llegar a nada

Es mejor partir el caso en demostrar que son múltiplos de 2 y múltiplos de 3

Para múltiplo de 2 basta ver que \( n(n+1) \) es par

si \( n=2k \), entonces \( n(n+1) \)  es par   y si \( n=2k+1 \) entonces \( n(n+1)=(2k+1)(2k+1+1)=(2k+1)2(k+1) \) también es par.

Para probar que es múltiplo de 3 \( n(n+1)(n+2) \) , usamos la misma idea, concretando los restos \( r=\{0,1,2\} \)

a) \( n=3k+0=3k \), trivial

b) \( n=3k+1 \) , \( n(n+1)(n+2)=(3k+1)(3k+1+1)(3k+1+2)=(3k+1)(3k+2)(3k+3)=(3k+1)(3k+2)3(k+1) \)

c)\( n=3k+2 \) , \( n(n+1)(n+2)=(3k+2)(3k+2+1)(3k+2+2)=(3k+2)3(k+1)(3k+3+1) \)

Saludos.

[Pie]

Por añadir algo más, si tuvieras que hacerlo sí o sí por inducción puedes hacerlo más rápido directamente restando:

\[ (n+1)(n+2)(n+3) - n(n+1)(n+2) = 3(n+1)(n+2) \]

Ya que eso es lo que hay que sumar para demostrar que se cumple para \( n + 1 \)..

Saludos.

[Nub]

parece menos trivial que con los pares (con los pares nos resulta obvio a todos, no hay que demostrar nada) pero es igual de trivial si piensas en las distancias, en los restos.

No entendi esta parte, lo de los restos, si das ejemplos tipo 4,5,6 el 4 es el par, el 5 es el impar y el 6 el multiplo de 3 y se ve bien la idea, claro que al hacer el producto vamos a llegar a que es multiplo de 6, lo que no entiendo es a que te refieres con restos como tal

Lo que quiere decir, imagino, es que dividir por un número \( n \) solo puede dar \( n \) restos distintos. Dividir por \( 3 \) por ejemplo solo puede dar resto \( 0 \) (si el número es múltiplo de \( 3 \)), \( 1 \) (si se pasa de \( 1 \)) o \( 2 \) (si se pasa de \( 2 \)), no hay más opciones porque al "pasarse" de \( 3 \) ya vuelves a tener un múltiplo de \( 3 \), con lo que vuelve a dar resto \( 0 \). Es decir, que si divides los números naturales entre \( 3 \) siempre tendrás el patrón de restos: \[ 0, 1, 2, 0, 1, 2.. \]. Entonces es imposible que entre tres números consecutivos no haya ningún múltiplo de \( 3 \), y obviamente, tampoco de cualquier número menor. Entonces con eso basta para ver que el producto de tres números consecutivos tiene que ser divisible por \( 2 \) y por \( 3 \) y, por tanto, por \( 6 \).

Y lo mismo puedes decir con \( 4 \), \( 5 \) o \( k \) números consecutivos, si son \( 4 \) siempre habrá un múltiplo de \( 4 \), de \( 3 \) y de \( 2 \), si son \( 5 \) de \( 5 \), \( 4 \), \( 3 \), etc.. De ahí lo que te decía en mi mensaje anterior: si tienes un producto de \( k \) números consecutivos, siempre serán divisibles por \( k! \). 

PD. No sé si te habré aclarado algo o liado más, ya que igual lo he explicado de forma demasiado "informal", pero creo que la idea es bastante intuitiva y tampoco hace falta meterse en temas de inducción (que se podría complicar bastante más la cosa si se añaden más factores ) para entender esto. Otra cosa es que te pidieran demostrarlo "a la fuerza" por inducción, o usando tal o cuál técnica o teorema. Pero si no creo que el tema se ve de forma bastante trivial sólo con eso..

Saludos.

Entiendo, en cuanto a demostrarlo por induccion fue cosa mia... no decía como se debía hacerlo, pero al haber naturales y demostrar que algo era multiplo me hizo recordar a la inducción

[Nub]

Otra idea era \( n=6*q+r \) con \( 0\leq{}r<6 \) y luego \( (6*q+r)(6*q+r+1)(6*q+r+2) \) lo que no pude llegar a nada

Es mejor partir el caso en demostrar que son múltiplos de 2 y múltiplos de 3

Para múltiplo de 2 basta ver que \( n(n+1) \) es par

si \( n=2k \), entonces \( n(n+1) \)  es par   y si \( n=2k+1 \) entonces \( n(n+1)=(2k+1)(2k+1+1)=(2k+1)2(k+1) \) también es par.

Hasta acá entiendo, básicamente pruebas que el producto de dos enteros consecutivos es par

Para probar que es múltiplo de 3 \( n(n+1)(n+2) \) , usamos la misma idea, concretando los restos \( r=\{0,1,2\} \)

a) \( n=3k+0=3k \), trivial

b) \( n=3k+1 \) , \( n(n+1)(n+2)=(3k+1)(3k+1+1)(3k+1+2)=(3k+1)(3k+2)(3k+3)=(3k+1)(3k+2)3(k+1) \)

c)\( n=3k+2 \) , \( n(n+1)(n+2)=(3k+2)(3k+2+1)(3k+2+2)=(3k+2)3(k+1)(3k+3+1) \)

Saludos.

Aca primero que nada no entiendo lo de "los restos" si no estamos haciendo ninguna division, no se si se refieren a lo que dijo feriva, pero aun asi tampoco entiendo que haces n=3k+0 , n=3k+1, n=3k+2, por ejemplo arriba hiciste dos casos, donde n es par y en el otro n impar, ahora quieres probar que es multiplo de 3, pero los multiplos de 3 se escriben a=3b

[feriva]

Para probar que es múltiplo de 3 \( n(n+1)(n+2) \) , usamos la misma idea, concretando los restos \( r=\{0,1,2\} \)

a) \( n=3k+0=3k \), trivial

b) \( n=3k+1 \) , \( n(n+1)(n+2)=(3k+1)(3k+1+1)(3k+1+2)=(3k+1)(3k+2)(3k+3)=(3k+1)(3k+2)3(k+1) \)

c)\( n=3k+2 \) , \( n(n+1)(n+2)=(3k+2)(3k+2+1)(3k+2+2)=(3k+2)3(k+1)(3k+3+1) \)

Saludos.

Aca primero que nada no entiendo lo de "los restos" si no estamos haciendo ninguna division, no se si se refieren a lo que dijo feriva, pero aun asi tampoco entiendo que haces n=3k+0 , n=3k+1, n=3k+2, por ejemplo arriba hiciste dos casos, donde n es par y en el otro n impar, ahora quieres probar que es multiplo de 3, pero los multiplos de 3 se escriben a=3b

Ah, ya entiendo tu duda, cuando me lo dijiste a mí no sabía exactamente qué querías decirme.

Se refiere a los restos de dividir entre 3 (siempre entre 3) cualquier número. Así, 4 deja resto 1, es de la forma 3k+1 (concretamente con k=1); 5 deja resto 2, es de la forma 3k+2 (con k=1); 6 deja resto cero, es de la forma 3k (con k=2)... y así con todos.

O sea, en este apartado del problema, 3 es el divisor para todos los “n”, sólo que en este tipo de cosas no se le llama en general “divisor”, pues esta palabra se reserva para cuando la división da un entero. Entonce se le llama “módulo”, se refiere a los restos módulo 3.

Por otra parte, los restos tienen equivalencias; por ejemplo: 11=3+3+3+2; luego 11 equivale a resto 2.

Saludos.

[robinlambada]

Otra idea era \( n=6*q+r \) con \( 0\leq{}r<6 \) y luego \( (6*q+r)(6*q+r+1)(6*q+r+2) \) lo que no pude llegar a nada

Es mejor partir el caso en demostrar que son múltiplos de 2 y múltiplos de 3

Para múltiplo de 2 basta ver que \( n(n+1) \) es par

si \( n=2k \), entonces \( n(n+1) \)  es par   y si \( n=2k+1 \) entonces \( n(n+1)=(2k+1)(2k+1+1)=(2k+1)2(k+1) \) también es par.

Hasta acá entiendo, básicamente pruebas que el producto de dos enteros consecutivos es par

Para probar que es múltiplo de 3 \( n(n+1)(n+2) \) , usamos la misma idea, concretando los restos \( r=\{0,1,2\} \)

a) \( n=3k+0=3k \), trivial

b) \( n=3k+1 \) , \( n(n+1)(n+2)=(3k+1)(3k+1+1)(3k+1+2)=(3k+1)(3k+2)(3k+3)=(3k+1)(3k+2)3(k+1) \)

c)\( n=3k+2 \) , \( n(n+1)(n+2)=(3k+2)(3k+2+1)(3k+2+2)=(3k+2)3(k+1)(3k+3+1) \)

Saludos.

Aca primero que nada no entiendo lo de "los restos" si no estamos haciendo ninguna division, no se si se refieren a lo que dijo feriva, pero aun asi tampoco entiendo que haces n=3k+0 , n=3k+1, n=3k+2, por ejemplo arriba hiciste dos casos, donde n es par y en el otro n impar, ahora quieres probar que es multiplo de 3, pero los multiplos de 3 se escriben a=3b

Hola, pensaba que entendías la formula que tu habías puesto.

Otra idea era \( n=6*q+r \) con \( 0\leq{}r<6 \) y luego \( (6*q+r)(6*q+r+1)(6*q+r+2) \) lo que no pude llegar a nada

Hasta tu le llamas r al resto de dividir un número entre 6.

Lo que he utilizado es lo mismo que tu, la prueba de la división , dividendo=divisor x cociente + resto.

por eso \( 0\leq{}r<6 \) en tu ejemplo.

Cualquier numero natural se puede poner como:

\( n=2k+r \) con \( 0\leq{}r<2 \) , en concreto  si da resto cero al dividirlo entre dos, \( n=2k+0=2k \) es par.

o da resto 1 ,\( n =2k+1 \), es impar.

Cualquier numero natural se puede poner como:

\( n=3k+r \) con \( 0\leq{}r<3 \) , en concreto  da resto cero al dividirlo entre tres, \( n=3k+0=3k \) es múltiplo de 3.

Si da resto 1 ,\( n =3k+1 \)

Si da resto 2 ,\( n =3k+2 \) y ya no hay más posibilidades con el tres.

Como ya te ha mostrado feriva.

Saludos.
 

[Nub]

Otra idea era \( n=6*q+r \) con \( 0\leq{}r<6 \) y luego \( (6*q+r)(6*q+r+1)(6*q+r+2) \) lo que no pude llegar a nada

Es mejor partir el caso en demostrar que son múltiplos de 2 y múltiplos de 3

Para múltiplo de 2 basta ver que \( n(n+1) \) es par

si \( n=2k \), entonces \( n(n+1) \)  es par   y si \( n=2k+1 \) entonces \( n(n+1)=(2k+1)(2k+1+1)=(2k+1)2(k+1) \) también es par.

Hasta acá entiendo, básicamente pruebas que el producto de dos enteros consecutivos es par

Para probar que es múltiplo de 3 \( n(n+1)(n+2) \) , usamos la misma idea, concretando los restos \( r=\{0,1,2\} \)

a) \( n=3k+0=3k \), trivial

b) \( n=3k+1 \) , \( n(n+1)(n+2)=(3k+1)(3k+1+1)(3k+1+2)=(3k+1)(3k+2)(3k+3)=(3k+1)(3k+2)3(k+1) \)

c)\( n=3k+2 \) , \( n(n+1)(n+2)=(3k+2)(3k+2+1)(3k+2+2)=(3k+2)3(k+1)(3k+3+1) \)

Saludos.

Aca primero que nada no entiendo lo de "los restos" si no estamos haciendo ninguna division, no se si se refieren a lo que dijo feriva, pero aun asi tampoco entiendo que haces n=3k+0 , n=3k+1, n=3k+2, por ejemplo arriba hiciste dos casos, donde n es par y en el otro n impar, ahora quieres probar que es multiplo de 3, pero los multiplos de 3 se escriben a=3b

Hola, pensaba que entendías la formula que tu habías puesto.

Otra idea era \( n=6*q+r \) con \( 0\leq{}r<6 \) y luego \( (6*q+r)(6*q+r+1)(6*q+r+2) \) lo que no pude llegar a nada

Hasta tu le llamas r al resto de dividir un número entre 6.

Lo que he utilizado es lo mismo que tu, la prueba de la división , dividendo=divisor x cociente + resto.

por eso \( 0\leq{}r<6 \) en tu ejemplo.

Cualquier numero natural se puede poner como:

\( n=2k+r \) con \( 0\leq{}r<2 \) , en concreto  si da resto cero al dividirlo entre dos, \( n=2k+0=2k \) es par.

o da resto 1 ,\( n =2k+1 \), es impar.

Cualquier numero natural se puede poner como:

\( n=3k+r \) con \( 0\leq{}r<3 \) , en concreto  da resto cero al dividirlo entre tres, \( n=3k+0=3k \) es múltiplo de 3.

Si da resto 1 ,\( n =3k+1 \)

Si da resto 2 ,\( n =3k+2 \) y ya no hay más posibilidades con el tres.

Como ya te ha mostrado feriva.

Saludos.

Si, entendía la formula, es la formula de division euclídea o division entera, lo que yo me confundía es que se dice que si un numero divide a otro, este tiene resto 0.
Otra cosa que no estaba entendiendo es lo que acabas de poner, cualquier numero se puede escribir como n=3k+r con \( 0 \leq{}r<3 \) y claro, esto sale de la division euclidea, lo entiendo, pero al darme la pista Pie para terminar la prueba por inducción me dijo que básicamente un natural puede ser par o impar, y claro, es bastante "obvio" cuando te dicen par o impar y al yo "traducir" numero par se me viene a la mente algo como \( n=2k \), y cuando dices numero impar \( n=2k+1 \), pero no por division entera, sino porque es algo mas "obvio" no se como decirlo, pero se sabe que o sos par o sos impar, no podes ser otra cosa .
Ahora resulta es que todo numero natural le puedo aplicar divsion euclidea y escribirlo, y hay un caso en que el resto es 0

[Nub]

Otra idea era \( n=6*q+r \) con \( 0\leq{}r<6 \) y luego \( (6*q+r)(6*q+r+1)(6*q+r+2) \) lo que no pude llegar a nada

Es mejor partir el caso en demostrar que son múltiplos de 2 y múltiplos de 3

Para múltiplo de 2 basta ver que \( n(n+1) \) es par

si \( n=2k \), entonces \( n(n+1) \)  es par   y si \( n=2k+1 \) entonces \( n(n+1)=(2k+1)(2k+1+1)=(2k+1)2(k+1) \) también es par.

Para probar que es múltiplo de 3 \( n(n+1)(n+2) \) , usamos la misma idea, concretando los restos \( r=\{0,1,2\} \)

a) \( n=3k+0=3k \), trivial

b) \( n=3k+1 \) , \( n(n+1)(n+2)=(3k+1)(3k+1+1)(3k+1+2)=(3k+1)(3k+2)(3k+3)=(3k+1)(3k+2)3(k+1) \)

c)\( n=3k+2 \) , \( n(n+1)(n+2)=(3k+2)(3k+2+1)(3k+2+2)=(3k+2)3(k+1)(3k+3+1) \)

Saludos.

Ahora volviendo a la demostración, primero que nada ¿cual es la idea en general de esto?, otra cosa a que te refieres con "partir el caso en demostrar que son múltiplos de 2 y múltiplos de 3" te refieres a los 3 numeros consecutivos?. En los 2 casos, supongo (no se  ) que demuestras que el producto de 3 consecutivos es múltiplo de 2, luego demuestras que es múltiplo de 3, ¿luego se deduce que es múltiplo de 6 pues estas diciendo que una cosa es multiplo de 3 y 2 y por lo tanto seria múltiplo de 6? es decir tu no estas probando algo que quede tipo 6*(algo) y por lo tanto es multiplo de 6.
Y la ultima duda es lo siguiente, tu para probar que es múltiplo de 3, usas que cualquier natural al aplicarle division euclídea entre 3 se escribe \( n=3q+r, \) esto lo haces apropósito para que te aparezca un 3? por eso yo decia que me parecía natural que un numero fuera par o impar, pero no están común decir un numero se puede escribir como \( n=3q+r, \)

[robinlambada]

Ahora volviendo a la demostración, primero que nada ¿cual es la idea en general de esto?

Utilizar la prueba de la división euclídea \( n=q\cdot{}k+r \) con \( q=2 \) y luego con \( q=3 \)
y probar que con todas las posibilidades (con todos los restos el producto es múltiplo de \( q \) ).

, otra cosa a que te refieres con "partir el caso en demostrar que son múltiplos de 2 y múltiplos de 3" te refieres a los 3 numeros consecutivos?. En los 2 casos, supongo (no se  ) que demuestras que el producto de 3 consecutivos es múltiplo de 2, luego demuestras que es múltiplo de 3, ¿luego se deduce que es múltiplo de 6 pues estas diciendo que una cosa es multiplo de 3 y 2 y por lo tanto seria múltiplo de 6? es decir tu no estas probando algo que quede tipo 6*(algo) y por lo tanto es multiplo de 6.

Exacto, por que es más fácil usando \( n=q\cdot{}k+r \) , no podemos usar q=6 pues necesitaríamos 6 factores y tenemos 3. (además de tener que ver 6 restos)
Lo habitual cuando tienes que probar que una expresión es múltiplo de un numero compuesto se suele descomponer en sus factores y demostrar que es múltiplo de cada uno de los factores

Y la ultima duda es lo siguiente, tu para probar que es múltiplo de 3, usas que cualquier natural al aplicarle division euclídea entre 3 se escribe \( n=3q+r, \) esto lo haces apropósito para que te aparezca un 3? por eso yo decia que me parecía natural que un numero fuera par o impar, pero no están común decir un numero se puede escribir como \( n=3q+r, \)

Cierto para que aparezca un trés.

No es tan común  porque la expresión \( 2k \) y \( 2k+1 \), aparece en matemáticas desde cursos no muy avanzados y no suelen decirte de donde viene.

Pero una vez que entiendes completamente que cualquier numero se puede poner como múltiplo de otro más un resto, \( n=2k+1 \) , \( n=3k+1 \) o \( n=129k+1 \), te resultan igual de comunes.

Saludos.

[feriva]

yo decia que me parecía natural que un numero fuera par o impar, pero no están común decir un numero se puede escribir como \( n=3q+r, \)

Es que aquí hay un aspecto general a destacar del que, en principio, se tiene una idea... no equivocada, pero incompleta; la cual lleva a conceptuar los pares y los impares como si fueran algo más especial de lo que es.

Los pares son los múltiplos de 2, del mismo modo que podríamos decir que los “triares” son los múltiplos de 3 ó los “quintares” los múltiplos de 5; y así con otros primos (pero no lo decimos).

Todos los pares son divisibles por un número común, el 2, pero no todos los impares son divisibles por un número común. Lo mismo pasa con los múltiplos de cualquier otro primo, todos son divisibles por ese P, pero no todos los que no son múltiplos de ese P tienen un divisor común.

Lo que sí es particular para los múltiplos de 2 es que la suma de dos números no múltiplos de 2 da siempre un múltiplo de 2; para todos los casos la suma da par.

Esto es porque el módulo 2 sólo deja dos restos, 0 1. Así dos números no múltiplos de 2 son del tipo \( 2a+1 \) y \( 2b+1 \), con lo que al sumar dichos números sus restos suman 2.

En cambio, no podemos afirmar lo mismo con los múltiplos de 3, por ejemplo. La suma de tres números no múltiplos de 3 no da siempre un múltiplo de 3; por ejemplo: 5+5+7 (hay infinitos ejemplos, pongo éste como podría poner cualquiera).

Lo mismo pasa con los múltiplos de 5, la suma de 5 números no múltiplos de 5 no da siempre un múltiplo de 5.

1+2+3+7+11=24.

Y así con todos los primos, menos con el 2, para el que sí se cumple que la suma de 2 números no múltiplos de 2 da siempre un múltiplo de 2, un par.

Ocurre que si el módulo es 3, por ejemplo, ya no hay sólo dos restos, hay tres, 0,1,2, y al sumar tres de ellos (quitando el resto 0) tenemos distintas combinaciones: 1+1+1=3 vale; 2+2+2=6; vale; pero 1+2+2=5 ya no vale, por ejemplo.

En cambio, con los de 2 sólo tenemos esta combinación de 2 números en la suma en cuanto a los restos, 1+1=2; a lo que intuitivamente la gente dice “la suma de dos impares es par”.

Saludos.