Hola, Antena.
Mis dificultades son:
1. No sé dar valores a las fórmulas de tu post.
2. No sé de dónde salen esas fórmulas.
Tampoco sé el origen de las fórmulas de mi consulta, pero sé que las variables p y q pueden tomar valores libremente. Repiten ternas, dan ternas que no son mínimas, pero no requieren conocimiento previo. Sirven todos los valores de las variables p y q .
Dada la suma de dos números que da un tercero, si todos son pares, dividiendo a los lados por 2, las veces necesarias, quedará par+impar=impar ó bien impar+impar=par (es lo mismo pero despejando).
Del mismo modo, podemos dividir a ambos lados por todos los factores comunes y considerar que siempre podemos elegir los elementos de la suma coprimos; sin factores comunes entre ellos.
Elijamos que \( A \) es par y \( B \) impar (por lo dicho arriba no se pierde generalidad).
Ahora despejemos de aquí: \( A^{2}+B^{2}=C^{2} \). Tenemos
\( A^{2}=C^{2}-B^{2}=(C+B)(C-B) \)
Dado que “B” y “C” son impares, tenemos que \( (C+B) \) y \( (C-B) \) son necesariamente pares; al igual que lo es “A”.
Hagamos entonces estos cambios de variable:
\( {\color{blue}A=2R,\,\,\,C-B=2S,\,\,\,C+B=2}{\color{blue}T} \)
Sustituyendo en la igualdad (en la de suma por diferencia, diferencia de cuadrados) tenemos:
\( (2R)^{2}=(2S)(2T) \) o sea \( R^{2}=ST \)
Por otra parte, como \( {\color{blue}C-B=2S\,;\,\,C+B=2T} \) despejando en cada igualdad “C” vemos que
\( C+C=2C=(2S+B)+(2T-B)=2S+2T \) es decir
\( {\color{blue}C=S+T} \)
y operando de igual forma con “B” podemos obtener
\( {\color{blue}B=T-S} \).
Recopilando: \( R^{2}=ST \) \( C=S+T \) \( B=T-S \).
Como “B” y “C” son coprimos, también tienen que serlo “S” y “T”, dado que de lo contrario existiría un número que dividiría a \( S+T \) y a \( T-S \); es decir, dividiría a “C” y a “B” y entonces no serían coprimos.
Sin embargo \( ST \) es un cuadrado, con lo que, si \( S \) y \( T \) son coprimos, también tienen que ser cuadrados.
Hagamos pues \( S=M^{2} \) y \( T=N^{2} \)
Luego sustituyendo aquí \( C=S+T \) \( B=T-S \) queda
\( B=N^{2}-M^{2} \) y \( C=M^{2}+N^{2} \)
Ahora, operando \( A^{2}=C^{2}-B^{2}=(M^{2}+N^{2})^{2}-(N^{2}-M^{2})^{2} \) llegamos a
\( A=2NM \)
Y se puede comprobar que, en efecto, desarrollando
\( (2NM)^{2}+(N^{2}-M^{2})^{2}=(M^{2}+N^{2})^{2} \)
o sea
\( A^{2}+B^{2}=C^{2} \).
(
uso otras letras porque lo tenía escrito de hace tiempo así, con otras letras)
Saludos.
