[Richard R Richard]

Analicemos el segundo caso  del mismo modo

como  \( c \) es par y como \( b \) es impar  su diferencia es impar  podemos decir que esa diferencia la podemos escribir como \( c-b=2n+1  \)para \( n\leq 0 \) de donde \( b=c-(2n+1) \) EC4

si reescribimos la primer ecuación como

\( a^2=c^2-b^2 \) y reemplazamos el valor de b por el obtenido en la ecuación EC4

\( a^2=c^2-(c-(2n+1))^2=c^2-c^2+2c(2n+1)-(2n+1)^2=2c(2n+1)-(2n+1)^2= \)

entonces se puede despejar c como \( c=\dfrac{a^2+(2n+1)^2}{2(2n+1)} \)

si entre los posibles valores de \( a \) escogemos uno que cumple \( a=k(2n+1) \)EC5  lo cual no nos dejará todas las ternas posibles si usamos k impar ,pero podemos hacer

\( c=\dfrac{a^2+(2n+1)^2}{2(2n+1)}=\dfrac{(k^2+1)}{2}(2n+1) \) Ec6

para lo cual eligiendo valores de n y k posibles  podemos hallar varias ternas 

si c es par   \( \dfrac{(k^2+1)}{2} \) debe ser par para todo n, resultando \( (k^2+1) \) un múltiplo de 4  ,

pero  aparentemente  esto resulta imposible por lo que no hay ternas pitagóricas con \( c \) par

por lo que el método del post anterior resulta exhaustivo.

[Richard R Richard]

Hola. He probado ejemplos y las fórmulas funcionaron. Eso no demuestra que estén bien. Tampoco he logrado demostrarlas. En caso de ser posible, ¿ cómo se hace para demostrarlas ? Es decir ¿ de dónde salen ?

\( a = p^2 + 2pq   \)

\( b = 2pq +2 q^2  \)

\( c = p^2 + 2pq + 2 q^2  \)

Si $$a^2+b^2=c^2$$


Entonces deberías desarrollar cada miembro y obtener lo mismo a cada lado de la igualdad.

$$(p^2 + 2pq)^2+(2pq +2 q^2)^2=(p^2 + 2pq + 2 q^2)^2$$

$$p^4+4p^3q+4p^2q^2+4q^4+8q^3p+4p^2q^2=p^4+4p^2q^2+4q^4+4p^3q+4p^2q^2+8q^3p$$

Reordenamos y sumamos

$$p^4+4p^3q+8p^2q^2+8pq^3+4q^4=p^4+4p^3q+8p^2q^2+8pq^3+4q^4$$

Ambos lados tienes el mismo polinomio luego las fórmulas cumplen la igualdad
Así que si vas reemplazando lo $$p$$ y $$q$$ por distintos enteros , obtienes las tenas , con $$p=1$$ y $$q=1$$ obtienes la clásica $$a=3,b=4,c=5$$

Como y de donde salieron no lo sé, pero verifican que crearán lo que pides.

Saludos

[tuprofemathcr]

He llegado a la misma fórmula pero si tengo la demostración algebraica, incluso lo tengo tipo teoremas con mas elementos, realmente es una re-parametrización del teorema de Euclides que usa tres restricciones, pero esta usa dos restricciones. Tengo otras tres fórmulas más elegantes, dos de ellas son de estructuras totalmente nuevas.