[sandza]

Hola, quisiera saber si alguien me puede dar una pista de como resolver si este tipo de ecuación diofántica tendría o no solución, según el valor de (n) (por congruencias): 6xy+x+y=n
X,Y >= 1; n>=8

EN principio no estaríamos interesados en conocer las posibles respuestas. Solo en ver de la forma más sencilla posible si el valor de (n) tendría o no solución

[feriva]

Hola, quisiera saber si alguien me puede dar una pista de como resolver si este tipo de ecuación diofántica tendría o no solución, según el valor de (n) (por congruencias): 6xy+x+y=n
X,Y >= 1; n>=8

EN principio no estaríamos interesados en conocer las posibles respuestas. Solo en ver de la forma más sencilla posible si el valor de (n) tendría o no solución

Tenemos:

\( 6xy+x=n-y \)

Donde x divide a n-y; es factor (se podría considerar al final). Haciendo (n-y)/x=t tienes

\( 6y+1=t \).

Ecuación diofántica líneal que puedes resolver para después mirar lo otro.

Saludos.

[sandza]

Gracias feriva!

entonces resuelvo t-6y=1
si lo asimilo a AX´+BY=C, es X-6y=1

t= X´
X´=X´1+k(B/d)
Y=Y1-k(A/d)

siendo (d) el mcd(A,B)=1
Una solución particular X´1=7; Y1=1

X´=7-6k
Y=1-k

cambiando a X´a X mediante la relación de t,y,x : (n-y)/x=t

X= (n-1+k)/(7-6k)
Y=1-k

tabulando para distintos valores de k=1,2,3... me da correcto, pero para k>1 ya me dan X e Y negativos...
Parece ser que tengo que dar valores k=0,-1,-2,-3, etc para ver resultados de X,Y>1

k=0; y=1; x= (n-1)/7
k=-1; y=2; x = (n-2)/13
k=-2; y=3; x= (n-3)/19
...

¿tengo que usar k negativos por haber elegido esa solución particular?

[feriva]

Gracias feriva!

entonces resuelvo t-6y=1
si lo asimilo a AX´+BY=C, es X-6y=1

t= X´
X´=X´1+k(B/d)
Y=Y1-k(A/d)

siendo (d) el mcd(A,B)=1
Una solución particular X´1=7; Y1=1

X´=7-6k
Y=1-k

cambiando a X´a X mediante la relación de t,y,x : (n-y)/x=t

X= (n-1+k)/(7-6k)
Y=1-k

tabulando para distintos valores de k=1,2,3... me da correcto, pero para k>1 ya me dan X e Y negativos...
¿es por haber elegido esa solución particular?

por ejemplo, para n=8, X=Y=1 es solución pero no me sale con lo que me da arriba

En realidad, en la ecuación \( 6y+1=t \) no hay ni que resolver, es sencillamente eso (lo había dicho sin pensar).

Entonces, como

\( xt=x(6y+1) \) (me, faltaba la x en el otro lado)

simplemente sustituyes y das valores a “y”, y=1,2,3... etc, en la ecuación

\( x(6y+1)=n-y \).

Y ahí te van saliendo las soluciones “n” positivas para “y” dando valores “x” positivos.

Para y=1:

\( x(6+1)+1=n \), \( 7x+1=n \); ahora das valores a “x” y obtienes los “n”; n=8, n=15... etc.

Para y=2:

\( x(12+1)+2=n \), \( 13x+2=n \); lo mismo, n=15, n=28...

Si pones “y” negativa y quieres “n” positiva, pues entonces “x” será negativa...

Piensa que el producto de enteros es siempre un entero y la suma de enteros también. Con lo que en realidad puedes dar los valores enteros que quieras en la ecuación, siempre saldrá un entero; no tiene condiciones especiales.

Saludos.

[sandza]

Gracias, entiendo! salen valores de (n) concretos para que se cumpla.
ej: 6xy+x+y=9 no tiene solución. Lo mismo para, n= 10,11,12,13,14,16,17,18,19,21,21, 23,... etc no hay solución
(pero para n=8,15,22,28,29, etc si la tiene)

pero volviendo a la ecuación inicial 6xy+x+y=n.
¿hay alguna forma de saber directamente que ese valor de (n) no va a tener solución sin necesidad de operar?

Pensaba que igual se podría saber utilizando congruencias entre (n) y los coeficientes de los valores de las variables xy, x, y.

[feriva]

Gracias, entiendo! salen valores de (n) concretos para que se cumpla.
ej: 6xy+x+y=9 no tiene solución. Lo mismo para, n= 10,11,12,13,14,16,17,18,19,21,21, 23,... etc no hay solución
(pero para n=8,15,22,28,29, etc si la tiene)

pero volviendo a la ecuación inicial 6xy+x+y=n.
¿hay alguna forma de saber directamente que ese valor de (n) no va a tener solución sin necesidad de operar?

Pensaba que igual se podría saber utilizando congruencias entre (n) y los coeficientes de los valores de las variables xy, x, y.

Por ejemplo, para el caso n=9:

Podemos hacer

\( x(6y+1)=9-y \)

*\( 6xy+x=6+3-y \)

Si dividimos entre 6 el lado izquierdo de la igualdad, el resto es “x”.

Luego \( 6+3-y\equiv x\,(mod\,6) \); o sea

**\( x+y\equiv9\,(mod\,6) \)

Pero eso implica, a partir de la ecuación del asterisco, lo siguiente

\( 6(xy-1)+9k=3\Rightarrow \)

Ahí arriba me he equivocado, sería 6k+9, no 9k; ya está mal

\( 2(xy-1)+3k=1 \)

llamando “t” a xy-1 y resolviendo la ecuación diofántica, tenemos

\( t=-3a-1 \), de donde \( xy \) ha de ser múltiplo de 3, con lo que \( 6xy \) es múltiplo de 18 (y de 9, lógicamente). Eso obliga, como se ve fácilmente, a que x e y, ambas, seán variables dadas por múltiplos de 9; luego \( x+y=9b \).

Pero por la congruencia del doble asterisco resulta que al dividir “x+y” entre 6 da resto 9, lo cual es imposible si “x+y” es múltiplo de 9.

(no sé si me habré equivocado; mira a ver si está bien).

Saludos.

[sandza]

Que bueno!
estoy empezando con las congruencias, así que intento entenderlo a la vez que lo generalizo para (n)

6xy+x=n-y
n-y congruente X (mod 6) ¿"x" es el resto porque se queda "x/6" en el otro lado al dividirlo por 6? (no me funciona el icono de congruencia)
x+y congruente n (mod 6)

6(xy-1)+(6k+n)=3
2(xy-1)+(2k+n/3)=1
2t = 1-2k-n/3

voy bien?

[feriva]

Que bueno!
estoy empezando con las congruencias, así que intento entenderlo a la vez que lo generalizo para (n)

6xy+x=n-y
n-y congruente X (mod 6) ¿"x" es el resto porque se queda "x/6" en el otro lado al dividirlo por 6? (no me funciona el icono de congruencia)
x+y congruente n (mod 6)

6(xy-1)+(6k+n)=3
2(xy-1)+(2k+n/3)=1
2t = 1-2k-n/3

voy bien?

Digo “resto” por querer decir “equivalencia a resto”; creo que la palabra apropiada puede ser “residuo”; aunque no lo sé seguro.

Pero sí, es congruente, porque 6xy es múltiplo de 6 y entonces x es un x=6k+r al estar trabajando módulo 6, no puede ser otra cosa (donde r puede valer de cero hasta 5); y como 6k es equivalente a cero, queda \( x\equiv0+r \), \( x\equiv r \).

Entonces, al ser igual a n-y, ocurre que n-y es equivalente a x módulo 6, claro (si es igual es equivalente también).

En esto que pones

6(xy-1)+(6k+n)=3

no se ahora mismo de dónde sale, estoy perdido, pero trabajando módulo 6 te queda \( n\equiv3\,(mod\,6) \); porque el primer sumando equivale a cero (es múltiplo de 6) y en el segundo tienes 6k, también equivale a cero.

Entonces es \( n=6k+3 \); n/3 sería \( 2k+1 \).
...
Para que lo veas claro con una cuenta, mira por ejemplo

\( 6\cdot7+8=50 \)

Y 50 entre 6 deja resto 2.

Pero lo puedes hacer suamando a sumando; \( 6\cdot7 \) deja resto cero al dividir entre 6, y 8 deja resto 2; lo mismo: 0+2.

Saludos.

Saludos.

[sandza]

entonces al final estamos separándolo así:
(1) 6xy=n-y-x == 0 (mod6)  (pongo == en vez de las tres rallitas de la congruencia)
(2) 6xy+x = n-y == 0 (mod 6) no es correcto, no? x/6 no sabemos que "resto" tiene

la 6(xy-1)+(6k+n)=3 era la tuya de abajo corregido 9k por 6k+9 como decías, 6k+n al cambiarlo a n, pero veo que está mal (así que mejor no liarnos con esto)

entonces hay que seguir desarrollándolo todo con (1), verdad?

[feriva]

entonces al final estamos separándolo así:
(1) 6xy=n-y-x == 0 (mod6)  (pongo == en vez de las tres rallitas de la congruencia)
(2) 6xy+x = n-y == 0 (mod 6) no es correcto, no? x/6 no sabemos que módulo tiene

la 6(xy-1)+(6k+n)=3 era la tuya de abajo corregido 9k por 6k+9 como decías, 6k+n al cambiarlo a n, pero veo que está mal (así que mejor no liarnos con esto)

entonces hay que seguir desarrollándolo todo con (1), verdad?

Es que de ahí no sale nada, al equivocarme saqué una conclusión errónea; no sirve. Fíjate en que, directamente, \( 9\equiv3(mod\,6) \).

Lo que puedes considerar es hacer y=x+k, con lo que

\( 6xy+x+y=n\Rightarrow \)

\( 6x(x+k)+2x+k=n \)

\( 6x^{2}+6xk+2x+k=n \)

\( 6x^{2}+x(6k+2)=n-k \)

Donde n-k es un entero “m” de la forma \( 6a+2x \).

Si los restos módulo 6 son 0,1,2,3,4,5; entonces 2x va dejando restos 0,2,4; o sea: 0,2,4,0,2,4,0...

Así que pueden ser del tipo \( m=6n \), \( m=6n+2 \) ó \( m=6n+4 \).

Al hacer “y” dependiente de “x” mediante una variable "k", y con n=m+k (con la misma variable k) ya sí es fácil encontrar cómo van los números.

Saludos.