Gracias a los dos!!!
La ecuación \( 6xy+x+y=n \) viene de una familia hipérbola equilátera que no está centrada en el origen de coordenadas y estaba analizando si es posible saber cuando no tiene solución entera según el parámetro (n), pero haciendo las menores operaciones posibles sin dar previamente valores a x,y >1. No tiene solución para n= 9,10,11,12,13,14,16,17,18,19,21,21, 23,...; Si la tiene para n=8,15,22,28,29,...
Me quedo con esto de Luis de factorizar. Veo que siempre sale número impar por lo que habrá primos:
6𝑛+1=𝑎⋅𝑏 como producto de dos factores; tendrá solución con 𝑥,𝑦>0 si en algún caso ambos factores son congruentes con 1 módulo 6.
Pero Feriva sacó algo interesante de congruencias (que desgraciadamente no puedo seguir bien, e igual por eso pienso que se puede sacar algo más para descartar alguna n directamente:))
𝑥(6𝑦+1)=n−𝑦
*6𝑥𝑦+𝑥=n−𝑦=6+(n-6)-y
Si dividimos entre 6 el lado izquierdo de la igualdad, el resto es “x”.
Luego n−𝑦≡𝑥(𝑚𝑜𝑑6); o sea
**𝑥+𝑦≡n(𝑚𝑜𝑑6)
Pero eso implica, a partir de la ecuación del asterisco, lo siguiente
6(𝑥𝑦−1)+6k+n =n-6
¿No se puede sacar entonces nada por congruencias al eliminarse siempre (n)?
solo: 𝑥+𝑦≡n(𝑚𝑜𝑑6)
