¿Hay alguna forma de resolverlo utilizando igualdades como lo que intenté en mi primer mensaje?
Sí: \( 1=(3t-s)(b+2a)+(s-2t)(b+3a) \).
Hay un procedimiento general para calcular el mcd así como la identidad de Bézout cuando tienes combinaciones lineales. Lo hago en el caso particular de este ejemplo, pero el procedimiento es totalmente general. La idea es que tienes que:
\(
\begin{pmatrix}{2a+b}\\{3a+b}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{2}&{1}\\{3}&{1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{a}\\{b}\end{pmatrix}
\)
Ahora fíjate que el determinante de esa matriz \( 2 \times 2 \) es \( -1 \), luego la matriz es invertible en \( GL(2, \Bbb Z) \). Si calculas la inversa y multiplicas por la izquierda la igualdad anterior te acaba quedando:
\(
\begin{pmatrix}{-1}&{1}\\{3}&{-2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{2a+b}\\{3a+b}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{a}\\{b}\end{pmatrix}
\)
Finalmente, para obtener la nueva identidad de Bézout partiendo de la vieja, escribes \( 1 = sa+tb = \begin{pmatrix}{s}&{t}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{a}\\{b}\end{pmatrix} \), y multiplicando por \begin{pmatrix}{s}&{t}\end{pmatrix} por la izquierda la igualdad anterior:
\(
\begin{pmatrix}{s}&{t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{-1}&{1}\\{3}&{-2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{2a+b}\\{3a+b}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{s}&{t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{a}\\{b}\end{pmatrix} = 1 \)
Si multiplicas las dos primeras matrices del lado izquierdo tienes:
\( \begin{pmatrix}{3t-s}&{s-2t}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{2a+b}\\{3a+b}\end{pmatrix} = 1 \)
o lo que es lo mismo, \( (3t-s)(2a+b) + (s-2t)(3a+b) = 1 \)
Esto es falso, ni caso:Spoiler
Añadido: Se me olvidó decir que en el caso general, si \( gcd(a,b)=d \) y el determinante de la matriz que pasa de \( (a,b) \) a la combinación lineal es \( D \), entonces el mcd de la combinación lineal es \( dD \).
