Hola
No llegas, o al menos no está claro que llegues. No puedes sacar dos identidades de Bézout "parciales" y multiplicarlas para obtener lo que quieres, o por lo menos yo no veo claro cómo.
En este ejercicio sí pude llegar:
\( \gcd(a,b)=1\implies\gcd(a+b,ab)=1 \)
\( 1=sa+tb \)
1) \( 1=s(a+b-b)+tb=s(a+b)+b(t-s) \) luego \( \gcd(a+b,b)=1 \)
2) \( 1=sa+t(b+a-a)=a(s-t)+t(a+b) \) luego \( \gcd(a+b,a)=1 \)
Multiplicando miembro a miembro:
\begin{align*}
1&=[s(a+b)+b(t-s)][a(s-t)+t(a+b)]\\
&=(a+b)[as(s-t)]+(a+b)[st(a+b)]+ab[-(t-s)]+(a+b)[bt(t-s)]\\
&=(a+b)[as(s-t)+st(a+b)+bt(t-s)]+ab[-(t-s)]\\
&\implies\gcd(a+b,ab)=1.
\end{align*}
Pero en este caso no logro avanzar desde \( (a(s-2)+t(b+2a))(a(s-3)+t(b+3a))=1 \). ¿Será multiplicación o quizás sea suma/resta?
Es que no se muy bien porque te empeñas en seguir con esos "tanteos" casi tipo feliz idea, cuando
geómetracat te está dando
un método para plantearlo.
De esta ecuación que él obtenía:
\( \begin{pmatrix}{-1}&{1}\\{3}&{-2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{2a+b}\\{3a+b}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{a}\\{b}\end{pmatrix} \)
Tienes \( a=-(2a+b)+(3a+b) \) y \( b=3(2a+b)-2(3a+b) \). Entonces si en:
\( 1=as+bt \)
sustituyes \( a \) y \( b \) tienes:
\( 1=s(-(2a+b)+(3a+b))+t(3(2a+b)-2(3a+b))=(3t-s)(2a+b)+(s-2)(2a+b) \)
Esa sustitución es el mismo tipo de argumentación o cálculo que tu haces cuando por ejemplo escribías:
He partido de que existen enteros \( s,t \) tal que \( 1=sa+tb \) y he hecho por partes:
1) \( 1=sa+t(b+2a-2a)=a(s-2)+t(b+2a)\quad(A)\implies\gcd(a,b+2a)=1 \)
Donde usas que \( b=(b+2a)-2a \).
Si tuviésemos la "vista" o la intuición algebraica para darnos cuenta de una relación similar pero algo más sofisticada:
\( a=-(2a+b)+(3a+b) \) y \( b=3(2a+b)-2(3a+b) \)
Pues con una argumento como el tuyo (sustituyendo en \( 1=sa+sb \) como hemos visto) ya tenemos la relación deseada.
En resumen:
geómetracat hace lo mismo que tu pero de una manera sistemática, sin que haya que tener una especial "vista" o "intuición algebraica"
Saludos.
P.D. En el otro ejemplo que pones el producto tiene sentido porque uno de los números del nuevo gcd que buscamos es \( a\cdot b \).
