[Carlos Ivorra]

He creado este hilo para discutir en él cualquier cosa relacionada con el hilo Ordinales menores que \( \epsilon_0 \) sin que los comentarios se intercalen en los mensajes del hilo y dificulten su lectura.

[argentinator]

Hola Carlos.

Espero que ya hayas terminado, y así se pueda ensuciar el hilo.
Ahora me doy cuenta que pensabas seguir... sorry. 

¿Qué quiere decir prolongar \(\sigma=\langle s_1,s_2,\ldots,s_n\rangle_\infty\)?
¿Que le agrego un elemento al final:
\(\langle s_1,s_2,\ldots,s_n,{\color{blue}s_{n+1}}\rangle_\infty\)?

¿Y qué significa que "llega a 0"?
¿Es 0 el valor \(s_n\) o el número natural representado por \(\sigma\)?

¿Pondrías un ejemplo de un caso de "prolongar hasta llegar a 0?
A ver si entiendo lo que hay que entender.

[Carlos Ivorra]

Espero que ya hayas terminado, y así se pueda ensuciar el hilo.

Nooo, sólo acabo de empezar, pero ahora luego creo un hilo de comentarios y traslado estos mensajes.

¿Qué quiere decir prolongar \(\sigma=\langle s_1,s_2,\ldots,s_n\rangle_\infty\)?
¿Que le agrego un elemento al final:
\(\langle s_1,s_2,\ldots,s_n,{\color{blue}s_{n+1}}\rangle_\infty\)?

Uno o los que haga falta. Vaya, me temo que no me he explicado muy bien. Veamos algunos ejemplos:

\( \alpha = 34035108345831891160376269764179536153304496896709988555204431609877972401275833583566 = \left<11, 31, 6, 6, 6, 0\right>_\infty \)

es un ordinal, porque, visto como sucesión, es una sucesión de ordinales (todos los términos aparecen en la tabla de la respuesta #3) y es decreciente (como se ve en esa misma tabla, donde los ordinales están ordenados según la relación \( \preceq \)).

Lo mismo sucede con

\( \beta = 90132602179 = \left<11, 31, 6\right>_\infty \).

También es un ordinal, y se cumple que \( \beta \prec \alpha \) porque \( \alpha \) prolonga a \( \beta \), resulta de añadirle más términos (tres más, en este caso).

Por otro lado,

\( \gamma = 7695885219641692493767181152619971379880120 = \left<11, 31, 2, 3, 3\right>_\infty \) también es un ordinal, y si lo comparamos con los anteriores tenemos que \( \beta\prec \alpha \prec \gamma \), porque \( \alpha \) y \( \gamma \) se diferencian por primera vez en su tercer término, donde \( \alpha_3 = 6\prec 2 = \gamma_3 \).

El hecho de que \( 6prec 2 \) se ve en la tabla, o se puede comprobar descomponiéndolos:

\( 6 = \left<0, 0, 0\right>_\infty \)   \( 2 = \left<1\right>_\infty \)

y vemos que difieren en su primer término, donde \( 6_1 = 0\prec 1 = 2_1 \).

En general, los ordinales están ordenados lexicográficamente: si uno de ellos prolonga al otro, es mayor, y si no se prolongan el uno al otro, miras el primer término de cada uno en el que difieren y los comparas. El que tenga el primer término diferente mayor es el mayor. A ver si ahora ha quedado claro.

¿Y qué significa que "llega a 0"?
¿Es 0 el valor \(s_n\) o el número natural representado por \(\sigma\)?

¿Pondrías un ejemplo de un caso de "prolongar hasta llegar a 0?
A ver si entiendo lo que hay que entender.

En realidad esto lo había anticipado para conectar con el primer mensaje, pero pensaba estudiarlo más a fondo en mensajes posteriores. Lo que dice BO es que los ordinales están bien ordenados, que no es posible construir una sucesión decreciente de ordinales infinita, que si tomas un ordinal \( \alpha_0 \), y luego eliges otro \( \alpha_0\succ \alpha_1 \) y luego otro \( \alpha_0\succ \alpha_1\succ \alpha_2 \), no puedes seguir así indefinidamente, sino que tras un número finito de pasos llegarás necesariamente al ordinal \( \alpha_n = 0 \).

Para poner ejemplos concretos razonados necesito estudiar un poco más la ordenación de los ordinales. En este punto los ejemplos parecen mucho menos naturales de lo que realmente son, pero, veamos un caso:

Imagina que quieres empezar una sucesión decreciente de ordinales en \( \alpha_0 = 8=\left<1, 0\right>_\infty \). Si queremos elegir un ordinal \( \alpha_1\prec \alpha_0 \), tenemos dos posibilidades:

1) tomar uno más corto, para lo cual sólo hay dos opciones: \( \alpha_1 = \left<1\right>_\infty = 2 \) o bien \( \alpha_1 = \left<\ \right>_\infty = 0 \) (y en el segundo caso ya hemos llegado a \( 0 \))

2) tomar \( \alpha_1 = \left<s_1, s_2, \ldots\right>_\infty \) de modo que el primer término en el que difiera sea menor que el correspondiente de \( \alpha_0 \). Dicho término no puede ser el segundo, porque entonces tendría que ser \( \alpha_1 = \left<1, s_2, \ldots\right>_\infty \) con \( s_2\prec 0 \), pero ningún ordinal es menor que \( 0 = \left<\ \right>_\infty \).

Por lo tanto, el primer término en el que difieran tiene que ser el primero, es decir, que \( \alpha_1 = \left<s_1, s_2, \ldots\right>_\infty \) con \( s_1\prec 1 \).

Pero ahora se puede razonar que el único ordinal que cumple \( s_1\prec 1 \) es \( s_1 = 0 \), luego tiene que ser \( \alpha_1 = \left<0, s_2, s_3, \ldots\right> \). Pero, como los ordinales tienen que ser sucesiones decrecientes y \( 0 \) es el menor ordinal, tiene que ser \( \alpha_1 = \left<0, \ldots, 0\right>_\infty \).

En resumen, tenemos que si queremos elegir un ordinal menor que \( \alpha_0 \), las opciones son:

\( \alpha_0 = \left<1, 0\right>_\infty, \alpha_1 = \left<\right>_\infty=0 \)

\( \alpha_0 = \left<1, 0\right>_\infty, \alpha_1 = \left<1\right>_\infty \)

\( \alpha_0 = \left<1, 0\right>_\infty, \alpha_1 = \left<0,\ldots, 0\right>_\infty \)

En el primer caso, la sucesión ya ha llegado a 0 en dos pasos.

En el segundo caso, si buscamos un ordinal menor que \( \alpha_1 = \left<1\right>_\infty \), las únicas opciones son uno más corto \( \alpha_2 = \left<\ \right>_\infty = 0 \) o bien uno que empiece por \( 0 \), con lo que nuevamente tiene que ser de la forma \( \alpha_2 = \left<0,\ldots, 0\right>_\infty \).

Por lo tanto, tenemos las posibilidades

\( \alpha_0 = \left<1, 0\right>_\infty, \alpha_1 = \left<\right>_\infty=0 \)

\( \alpha_0 = \left<1, 0\right>_\infty, \alpha_1 = \left<1\right>_\infty, \alpha_2 = 0 \)

\( \alpha_0 = \left<1, 0\right>_\infty, \alpha_1 = \left<1\right>_\infty, \alpha_2 = \left<0,\ldots, 0\right>_\infty \)

\( \alpha_0 = \left<1, 0\right>_\infty, \alpha_1 = \left<0,\ldots, 0\right>_\infty \)

En cualquier caso, nuestra sucesión, o llega a cero, o llega a un ordinal de la forma \(  \left<0,\ldots, 0\right>_\infty \) y ahora se puede razonar que los únicos ordinales menores que uno de esta forma son los que resultan de quitar ceros, por lo que, tras un número finito de pasos, llegamos necesariamente a \( 0 \).

Insisto en que esto es como calcular una derivada por la definición. En cuanto nos familiaricemos con el orden de los ordinales todo esto será mucho más sencillo (en casos sencillos como éste, pero la gracia del asunto es que a medida que tomamos como \( \alpha_0 \) ordinales mayores la cosa se complica).

Si sigue sin estar claro, no dudes en insistir.

[argentinator]

¿Qué quiere decir prolongar \(\sigma=\langle s_1,s_2,\ldots,s_n\rangle_\infty\)?
¿Que le agrego un elemento al final:
\(\langle s_1,s_2,\ldots,s_n,{\color{blue}s_{n+1}}\rangle_\infty\)?

Uno o los que haga falta. Vaya, me temo que no me he explicado muy bien. Veamos algunos ejemplos:

Eso de "uno o los que haga falta" se entendió.
Pero igual, de la fraseología, no tenía del todo claro el "paso a paso".
En realidad pregunté mal.
La pregunta era si, en cada "paso" de una "prolongación" se entendía que había que agregar un elemento al final.

________________

Es un tema que me revuelve el cerebro.
No es fácil de entender este orden parcial.

Gracias por los ejemplos.

En general, los ordinales están ordenados lexicográficamente: si uno de ellos prolonga al otro, es mayor, y si no se prolongan el uno al otro, miras el primer término de cada uno en el que difieren y los comparas. El que tenga el primer término diferente mayor es el mayor. A ver si ahora ha quedado claro.

Lo del orden lexicográfico si lo había entendido.
Pero igual vienen bien los ejemplos.

Es una ensalada de números hasta que uno se ubica quién diablos es mayor que quién.

[Carlos Ivorra]

Eso de "uno o los que haga falta" se entendió.
Pero igual, de la fraseología, no tenía del todo claro el "paso a paso".
En realidad pregunté mal.
La pregunta era si, en cada "paso" de una "prolongación" se entendía que había que agregar un elemento al final.

Si te refieres a que la duda era si se pueden prolongar ordinales intercalando términos en cualquier parte de la sucesión, la respuesta es no (como ya has visto), las prolongaciones consisten en añadir más elementos al final, pero no sé si era eso lo que te confundía.

Es un tema que me revuelve el cerebro.
No es fácil de entender este orden parcial.

La culpa no es del orden (ni tuya), sino de que estamos igual que si te hubiera definido un número real como una clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales. Uno sólo empieza a manejar los números reales con naturalidad cuando puede olvidarse de que los números reales son eso. Sería injusto decir que el orden de los números reales no es fácil de entender porque se define en términos de sucesiones de Cauchy. Aquí pasa lo mismo. En cuanto pueda escribir el próximo mensaje, creo que puedo asegurar que todo resultará ya natural.

De momento he añadido como ejercicios en la respuesta #3 algunas propiedades sobre el orden de los ordinales que son fáciles de probar con lo visto hasta ahora (y sanos ejercicios para familiarizarse con las definiciones) y que permiten hacerse una idea de lo que sucede.

Definir los números reales como clases de sucesiones de Cauchy sirve para identificarlos con determinados conjuntos, y así poder deducir sus propiedades de los axiomas de la teoría de conjuntos, pero al final se acaba trabajando con ellos olvidando por completo esa definición. Igualmente, construir los ordinales a partir de los números naturales sirve para que nadie pueda decir que esos ordinales son "unos conjuntos raros que a saber si existen", sino que los ordinales son meros números naturales, y su relación de orden es una relación recursiva que puede calcular un ordenador. Pero a partir del mensaje siguiente, a efectos prácticos, podremos olvidarnos de que los ordinales son números naturales, y su relación de orden será tan natural como la de los números reales.

Por cierto, no sé si al decir "orden parcial" te refieres a que no está definido sobre todos los números naturales, pero como orden sobre el conjunto de los ordinales es un orden total, en el sentido de que dos ordinales cualesquiera son comparables.

Es una ensalada de números hasta que uno se ubica quién diablos es mayor que quién.

Eso es porque llamar a los ordinales

\( 0,\quad 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4,\quad 6,\quad 7,\quad 8\quad \ldots \)

es tan artificial como representar los números reales por clases de sucesiones. A partir del próximo mensaje a estos mismos ordinales los llamaremos

\( 0,\quad 1,\quad \omega,\quad 2, \quad\omega^2, \quad3,\quad\omega^3,\quad \omega+1\ldots \)

y entonces será inmediato que el orden correcto es

\( 0,\quad 1,\quad 2,\quad 3, \quad\omega,\quad \omega+1,\quad\omega^2,\quad\omega^3,\quad \ldots \)

y el hecho de que \( \omega^3 = 7 \) será un tecnicismo irrelevante, igual que lo es que \( \sqrt 2 \) es la clase de todas las sucesiones de números racionales cuyos cuadrados convergen a \( 2 \).

[argentinator]

Es un tema que me revuelve el cerebro.
No es fácil de entender este orden parcial.

Por cierto, no sé si al decir "orden parcial" te refieres a que no está definido sobre todos los números naturales, pero como orden sobre el conjunto de los ordinales es un orden total, en el sentido de que dos ordinales cualesquiera son comparables.

No sé por qué escribí eso.
Ni recuerdo haberlo escrito así.

[Eparoh]

Hola.

Aquí tienes un lector muy interesado que, aunque no tiene tiempo de profundizar en tu libro sobre el cálculo secuencial de Gentzen, si lo tiene para leer estos posts y con mucho gusto

Y, antes de comentar nada más, quiero decir que me parecen muy buenas las explicaciones y creo que el enfoque de incluir pequeños programas en python para mostrar que realmente todo de lo que se habla es completamente finitista es maravilloso

Primero las pequeñas erratas que he encontrado (hasta donde he leido, aún no he llegado al último mensaje):

Si no se cumple que \( \left<x, x\right>_2\in R_n \) (es decir, si no hemos metido a \( x \) en \( E \)), no incluimos ninguno de los dos pares, mientras que si \( \left<x, x\right>_2\in R_n \), expresamos

a) Si la sucesión de \( n+1 \) se prolonga hasta la de \( x \) (Aclaro: si \( \color{red}x = \left<s_1,\ldots, s_l, t_{l+1},\ldots, t_r\right>_\infty \)), entonces metemos \( \left<n+1, x\right>_2 \) en \( R_{n+1} \).

Erratas al cerrar un paréntesis.

Esto completa la definición recurrente de los conjuntos \( R_n \), con lo que tenemos definido el conjunto \( E \) de todos los números naturales \( n \) que cumplen que \( \left<\color{blue}n, n \color{black}\right>_2 \) esta en \( R_n \) y, para números en \( E \), la relación \( x\preceq y \) dada por \( \left<x, y\right>_2\in R_n \), donde \( n= \max\{x, y\} \).

Donde he puesto una \( \color{blue} n \) antes había una \( x \) y creo que es una errata.

Acabamos de definir una joya de la metamatemática. A los elementos de \( E \) los llamaremos ordinales (deberíamos decir "ordinales menores que \( \epsilon_0 \)", pero resulta un poco largo), y lo que hemos probado es que los ordinales son un conjunto de números naturales en los que tenemos definida una relación de orden total \( \preceq \), que no hay que confundir con el orden usual \( \leq \) definido sobre todos los números naturales.

Errata al cerrar comillas.

Ahora sí, tengo algunas dudillas y cosas que no me quedan del todo claras, así que lo expongo todo a continuación.

En primer lugar, si entiendo bien el tercer mensaje lo que se hace es lo siguiente:

• Definimos \( R_0=\{0\} \).
• De forma recursiva se define \( R_{n+1} \) siguiendo estos pasos:
  
  • Expresamos \( n+1=\langle s_1, \cdots, s_l \rangle_\infty \) (donde cada \( s_i \leq n \)) y comprobamos si se cumplen:
    
    • \( \langle s_i, s_i \rangle_2 \in R_{\color{blue} n} \) para cada \( i=1, \cdots, l \)
    • \( \langle s_{i+1}, s_i \rangle_2 \in R_{\color{blue} n} \) para cada \( i=1, \cdots, l-1 \)
  • Si no se cumplen los dos puntos anteriores, entonces \( R_{n+1}=R_n \).
  • En caso contrario, definimos \( R_{n+1} \) como el conjunto de naturales que resulta de añadir a \( R_n \) los siguientes números:
    
    • \( \langle n+1, n+1 \rangle_2 \)
    • Para cada \( x \leq n \):
      
      • Si \( \color{blue} \langle x, x \rangle_2 \not \in R_n \), entonces no añadimos ni \( \langle n+1, x \rangle_2 \) ni \( \langle x, n+1 \rangle_2 \).
      • En caso contrario expresamos \( x=\langle t_1, \cdots, t_r \rangle_\infty \) (donde cada \( t_i <x \leq n \)) y comprobamos:
        
        • Si \( x \) extiende a \( n+1 \), añadimos \( \langle n+1, x \rangle_2 \)
        • Si \( n+1 \) extiende a \( x \), añadimos \( \langle x, n+1 \rangle_2 \)
        • Si no se da ninguno de los casos anteriores y es \( i \) el menor índice para el cual es \( s_i \not = t_i \), entonces:
          
          • Si \( \langle s_i, t_i \rangle_2 \in R_{\color{blue} n} \), añadimos \( \langle n+1, x \rangle_2 \)
          • Si \( \langle t_i, s_i \rangle_2 \in R_{\color{blue} n} \), añadimos \( \langle x, n+1 \rangle_2 \)

Tras esta gran recursión, dados dos naturales \( x, y \) definimos la relación

\( x \preceq y \longleftrightarrow \langle x, y \rangle_2 \in R_{\max\{x,y\}} \)

y el conjunto \( E \) formado por todos los naturales \( n \) que cumplen que \( \langle n, n \rangle_2 \in R_n \).

He cambiado un poco la exposición para adaptarlo a como yo lo he entendido, pero si no me equivoco en esencia las definiciones son las que he dado.

De esta construcción se siguen algunas consecuencias sencillas. Dejo los detalles como ejercicio para el lector, porque demostrarlas es una buena forma de familiarizarse con la definición:

• \( n\in E \) si y sólo si \( n\preceq n \) (por definición de \( E \)).
• Si \( x\preceq y \), entonces \( x, y\in E \).
  
  Por inducción sobre \( n=\max\{x, y\} \). Para \( n=0 \) es trivial y, si vale para \( n \), la construcción muestra que vale para \( n+1 \).
  
  
• \( n\in E \) si y sólo si es una sucesión decreciente de elementos de \( E \).
  
  En efecto, esto vale trivialmente para \( 0 \) (que es la sucesión vacía, luego sus términos inexistentes están todos en \( E \)) y, si vale para números \( x\leq n \), también vale para \( n+1 \) por la construcción.
  
  
• Si \( x, y\in E \), o bien \( x\preceq y \), o bien \( y\preceq x \)
  
  Por inducción sobre \( n = \max\{x, y\} \), pues para \( n=0 \) es trivial y, si vale para \( n \), no perdemos generalidad si suponemos que \( y = n+1 \), y entonces, por construcción, si una sucesión prolonga a la otra, se cumple \( x\preceq n+1 \) o bien \( n+1\preceq x \), y en caso contrario ambas tienen que diferir en un primer término \( i \). Por hipótesis de inducción se cumple \( s_i\preceq t_i \) o bien \( t_i\preceq s_i \) y, por construcción, esto implica que \( x\preceq n+1 \) o bien \( n+1\preceq x \).
  
  
• Si \( x\preceq y, y\preceq x \), entonces \( x=y \).
  
  Similar al caso anterior.
  
  
• Si \( x\preceq y\preceq z \), entonces \( x\preceq z \).
  
  Ésta la dejo entera como ejercicio.

Ahora, si lo he entendido bien, he podido demostrar los puntos \( 1, 3, 4 \) y \( 5 \) en lo siguiente, pero con \( 2 \) y \( 6 \) tengo algunos problemas. ¿Podrías mostrar las demostraciones con algo de detalle a ver si así se disipan ya todas mis dudas?

Un saludo.

EDITADO: He añadido a la definción recursiva de \( \color{blue} R_n \) la corrección hecha por Carlos en el mensaje siguiente.

[Carlos Ivorra]

Hola.

Aquí tienes un lector muy interesado que, aunque no tiene tiempo de profundizar en tu libro sobre el cálculo secuencial de Gentzen, si lo tiene para leer estos posts y con mucho gusto

Para estudiar el cálculo secuencial hay que tener muuuuuuucho tiempo y muuuuuucha paciencia.

Y, antes de comentar nada más, quiero decir que me parecen muy buenas las explicaciones y creo que el enfoque de incluir pequeños programas en python para mostrar que realmente todo de lo que se habla es completamente finitista es maravilloso

Acabo de añadir un mensaje en el hilo principal con un código más eficiente, que no sigue de cerca las definiciones que hemos dado en cuanto a que no codifica los ordinales como números naturales, sino como sucesiones de sucesiones de Python. No obstante, es equivalente, en cuanto que permite transformar ordinales en números naturales y viceversa. Simplemente, al operar no usa la representación como número natural.

Primero las pequeñas erratas que he encontrado (hasta donde he leido, aún no he llegado al último mensaje):

Ya las he corregido. Gracias por tu atenta lectura.

Ahora sí, tengo algunas dudillas y cosas que no me quedan del todo claras, así que lo expongo todo a continuación.

En primer lugar, si entiendo bien el tercer mensaje lo que se hace es lo siguiente:

• Definimos \( R_0=\{0\} \).
• De forma recursiva se define \( R_{n+1} \) siguiendo estos pasos:
  
  • Expresamos \( n+1=\langle s_1, \cdots, s_l \rangle_\infty \) (donde cada \( s_i \leq n \)) y comprobamos si se cumplen:
    
    • \( \langle s_i, s_i \rangle_2 \in R_{s_i} \) para cada \( i=1, \cdots, l \)
    • \( \langle s_{i+1}, s_i \rangle_2 \in R_{\max\{s_i, s_{i+1}\}} \) para cada \( i=1, \cdots, l-1 \)
  • Si no se cumplen los dos puntos anteriores, entonces \( R_{n+1}=R_n \).
  • En caso contrario, definimos \( R_{n+1} \) como el conjunto de naturales que resulta de añadir a \( R_n \) los siguientes números:
    
    • \( \langle n+1, n+1 \rangle_2 \)
    • Para cada \( x \leq n \), (OJO: aquí te falta la hipótesis \( \color{red}\left<x, x\right>\in R_n \)) si expresamos \( x=\langle t_1, \cdots, t_r \rangle_\infty \) (donde cada \( t_i <x \leq n \)), entonces:
      
      • Si \( x \) extiende a \( n+1 \), añadimos \( \langle n+1, x \rangle_2 \)
      • Si \( n+1 \) extiende a \( x \), añadimos \( \langle x, n+1 \rangle_2 \)
      • Si no se da ninguno de los casos anteriores y es \( i \) el menor índice para el cual es \( s_i \not = t_i \), entonces:
        
        • Si \( \langle s_i, t_i \rangle_2 \in R_{\max\{s_i, t_i\}} \), añadimos \( \langle n+1, x \rangle_2 \)
        • Si \( \langle t_i, s_i \rangle_2 \in R_{\max\{s_i, t_i\}} \), añadimos \( \langle x, n+1 \rangle_2 \)

Tras esta gran recursión, dados dos naturales \( x, y \) definimos la relación

\( x \preceq y \longleftrightarrow \langle x, y \rangle_2 \in R_{\max\{x,y\}} \)

y el conjunto \( E \) formado por todos los naturales \( n \) que cumplen que \( \langle n, n \rangle_2 \in R_n \).

He cambiado un poco la exposición para adaptarlo a como yo lo he entendido, pero si no me equivoco en esencia las definiciones son las que he dado.

Ahora, si lo he entendido bien, he podido demostrar los puntos \( 1, 3, 4 \) y \( 5 \) en lo siguiente, pero con \( 2 \) y \( 6 \) tengo algunos problemas. ¿Podrías mostrar las demostraciones con algo de detalle a ver si así se disipan ya todas mis dudas?

Lo que te falta para probar 2) es lo que te he puesto en rojo en la cita de tu mensaje. Si \( \left<x, x\right>_2\notin R_n \), no metemos en \( R_{n+1} \) ninguno de los dos pares \( \left<x, n+1\right>_2 \) ni \( \left<n+1, x\right>_2 \). O, dicho al revés, para meter un par de esta forma en \( R_{n+1} \) exigimos que \( \left<x, x\right>_2\in R_n \), con lo que todos los pares de \( R_{n+1} \) tienen sus coordenadas en \( E \).

Más precisamente: se prueba por inducción sobre \( n \) que todos los pares de cada \( R_n \) tienen sus coordenadas en \( E \). Eso vale trivialmente para \( n=0 \) y, si vale para \( n \), la condición en rojo que te faltaba prueba que vale para \( n+1 \).

Supongo que el único problema que tenías era que te faltaba eso, pero si sigue sin estar claro, dilo.

En cuanto a 6), ya tenemos por 2) que \( x, y, z\in E \). Hay que distinguir casos. Ten presente esto:

• Un número natural es un ordinal si y sólo si es una sucesión decreciente de ordinales.
• Dos ordinales cumplen \( x\preceq y \) si y sólo si, vistos como sucesiones de ordinales,
  
  
  \( x= \left<s_1,\ldots, s_l\right>_\infty \),  \( y= \left<t_1,\ldots, t_r\right>_\infty \)
  
  se cumple que \( x \) se extiende hasta \( y \) o bien ambas sucesiones difieren en un mínimo índice \( i \) tal que \( s_i\preceq t_i \).
  

Observa que el orden de los ordinales es simplemente el orden lexicográfico. Si los ordinales fueran palabras y sus componenes letras, estaríamos diciendo que una palabra es anterior a otra si es más corta, como  col < colegio, o si la primera letra en la que difieren es menor en la primera, como colegio < coliflor.

Igual que ese criterio permite ordenar las palabras en los diccionarios, también establece un orden en los ordinales.

Para probarlo con detalle hay que distinguir muchos casos:

Si \( x \) se extiende hasta \( y \) e \( y \) se extiende hasta \( z \), entonces \( x \) se extiende hasta \( z \), luego \( x\preceq z \).

Si \( x \) se extiende hasta \( y \) e \( y \) difiere de \( z \) en \( y_i\prec z_i \), entonces, o bien \( x \) se extiende hasta \( z \) (si la longitud de \( x \) es menor que \( i \)) o bien \( x_i = y_i \prec z_i \) es el menor índice en el que difieren \( x \) y \( z \), luego también \( x\preceq z \).

Si \( x \) difiere de \( y \) en \( x_i\prec y_i \) e \( y \) se extiende hasta \( z \), entonces también \( x_i \prec y_i = z_i \) es el menor índice en el que difieren \( x \) y \( z \), luego \( x\preceq z \).

Falta considerar el caso en que \( x_i\prec y_i \), \( y_j\prec z_j \), y a su vez hay que distinguir casos según si \( i<j \), o \( i>j \) o \( i=j \). Es aburrido, pero no debería dar ningún problema. Si no te sale me pongo a detallarlo.

[Eparoh]

Hola.

Para estudiar el cálculo secuencial hay que tener muuuuuuucho tiempo y muuuuuucha paciencia.

Algún día (aunque seguramente muy lejano) ten por seguro que tendrás noticias mías al respecto

Acabo de añadir un mensaje en el hilo principal con un código más eficiente, que no sigue de cerca las definiciones que hemos dado en cuanto a que no codifica los ordinales como números naturales, sino como sucesiones de sucesiones de Python. No obstante, es equivalente, en cuanto que permite transformar ordinales en números naturales y viceversa. Simplemente, al operar no usa la representación como número natural.

A ver si tengo tiempo hoy de echarle un ojo

Y, por cierto, al menos para valores grandes (y en Maple, que es donde estoy programando las cosas), mi ordenador tarda menos tiempo en calcular el conjunto \( R_n \) necesario (y, a partir de este, calcular los ordinales y comprobar el orden) que haciéndolo todo directamente tal y como has mostrado en tus programas. La diferencia para \( n=5000 \) es de un par de segundos y me parece muy curioso la verdad

Lo que te falta para probar 2) es lo que te he puesto en rojo en la cita de tu mensaje.

Esto es lo que me faltaba para ambos puntos sí. No se como me lo salté al leerlo (y varias veces), la verdad

He editado mi mensaje anterior incluyéndolo (por si a alguien le solventa alguna duda), y también he cambiado todos los \( R_\max\{\cdots\} \) por \( R_n \), porque realmente si son \( x,y < n \), por la propia construcción de los conjuntos se tiene que \( \langle x,y \rangle_2 \in R_{\max\{x,y\}} \longleftrightarrow \langle x,y \rangle_2 \in R_n \), ¿no?

Un saludo y, como siempre, muchas gracias por las respuestas.

[Carlos Ivorra]

Algún día (aunque seguramente muy lejano) ten por seguro que tendrás noticias mías al respecto

Cuando quieras.

Y, por cierto, al menos para valores grandes (y en Maple, que es donde estoy programando las cosas), mi ordenador tarda menos tiempo en calcular el conjunto \( R_n \) necesario (y, a partir de este, calcular los ordinales y comprobar el orden) que haciéndolo todo directamente tal y como has mostrado en tus programas. La diferencia para \( n=5000 \) es de un par de segundos y me parece muy curioso la verdad

Bueno, mis programas van calculando ordinales cuando lo necesitan, pero nada te impide usarlos calculando todo al principio. Sólo tienes que poner calcula(5000) y te calculará \( R_{5000} \), y a partir de ahí ya no necesitará calcular nada mientras no te pases de ese rango. Acabo de probar y el tiempo que tarda mi ordenador en calcular (e imprimir) los ordinales menores que 5000 es de 0.84 segundos. En cambio, con el último módulo que he adjuntado tarda 1.33 segundos, pero sabe trabajar fácilmente con ordinales mucho más grandes, representados por números astronómicos.

He editado mi mensaje anterior incluyéndolo (por si a alguien le solventa alguna duda), y también he cambiado todos los \( R_\max\{\cdots\} \) por \( R_n \), porque realmente si son \( x,y < n \), por la propia construcción de los conjuntos se tiene que \( \langle x,y \rangle_2 \in R_{\max\{x,y\}} \longleftrightarrow \langle x,y \rangle_2 \in R_n \), ¿no?

Sí.