[Carlos Ivorra]

Entiendo que eso es lo mismo que pedir que \(x\preceq_n x\).
¿Correcto?

Si es así, agrego ese detalle a mi exposición anterior.

Correcto.

[Eparoh]

Hola.

Creo que entiendo la idea, ¿pero podrías explicar esto un poco más en detalle?

La diferencia es que en AP no podemos ir más lejos, mientras que en ZF podemos probar que si existe una demostración de la fórmula \( \omega^{(n)} \) es accesible, dicha fórmula será verdadera en el modelo natural definido por los números naturales, y el hecho de que la fórmula "\( \omega^{(n)} \) es accesible" sea verdadera en el modelo natural implica que \( \omega^{(n)} \) es accesible. Por lo tanto, en ZF podemos demostrar que todos los \( \omega^{(n)} \) son accesibles y, por consiguiente, que todo ordinal (menor que \( \epsilon_0 \)) es accesible.

No veo del todo claro como se está pasando de infinitas fórmulas a una demostración finita, pues parece que lo que se hace es traducir el problema de demostrar que \( \omega^{(n)} \) es accesible a demostrar que la fórmula "\( \omega^{(n)} \) es accesible" es cierta en el modelo natural. Pero, ¿si esto se ve para cada \( n \) por separado no volvemos a estar en las mismas?

También, ¿por qué que la fórmula "\( \omega^{(n)} \) es accesible" sea cierta en el modelo natural implica que es demostrable en ZF?

Supongo que entenderé todo esto cuando por fin consiga tiempo para seguir leyendo tu libro de lógica, pero con estas pequeñas cuestiones al menos no me oxido 

Un saludo y gracias por todo.

[Carlos Ivorra]

No veo del todo claro como se está pasando de infinitas fórmulas a una demostración finita, pues parece que lo que se hace es traducir el problema de demostrar que \( \omega^{(n)} \) es accesible a demostrar que la fórmula "\( \omega^{(n)} \) es accesible" es cierta en el modelo natural. Pero, ¿si esto se ve para cada \( n \) por separado no volvemos a estar en las mismas?

En ZF (o en AP) tú puedes demostrar la fórmula:

\( \forall n\in \mathbb N\, \exists d( d \mbox{ es una demostración de  "}\omega^{(n)} \mbox{ es accesible"}) \)

Esto no es una sucesión de demostraciones, esto es la demostración (única) de que existe una sucesión infinita \( \{d_n\}_{n=1}^\infty \) tal que cada \( d_n \) es una demostración de la fórmula "\( \omega^{(n)} \) es accesible".

Para ello se construye \( d_n \) estableciendo que en la prueba se usa \( n-1 \) veces la implicación (1) y otras tantas la implicación (2) del mensaje en el que doy la prueba de Gentzen. Todo ese argumento puede verse como una prueba en ZF de la afirmación anterior. Literalmente, igual que cualquier texto en un libro de matemáticas usual puede verse como una demostración en ZF descrita superficialmente.

En particular, no se hace para cada n por separado, sino que se prueba que, dado un n arbitrario, puedes construir una demostración (una sucesión de números naturales, si quieres) usando n-1 veces tal ingrediente y tal otro, y te sale una demostración de la accesibilidad de \( \omega^{(n)} \) para el n arbitrario considerado. Pero es esencial que con esto no demuestras que \( \omega^{(n)} \) es accesible, sino sólo que la fórmula que afirma esto es demostrable. En AP esto es una barrera insuperable, en ZF no.

Con eso tienes una única demostración [metamatemática] de que existe una sucesión de demostraciones en AP (formalizadas en ZF) de la fórmula en cuestión.

Si lo quieres hacer en AP (aunque no aprovecha de mucho, porque al final nos quedamos estancados), en lugar de construir una sucesión infinita (en AP no hay objetos infinitos), tienes que definir explícitamente la fórmula \( \phi(n, d) \) que significa "\( d \) es la demostración que se construye de tal y tal forma" y demostrar que para todo \( n \) existe una única \( d \) que cumple \( \phi(n, d) \) y que es una demostración de \( \omega^{(n)} \) es accesible.

En AP no podemos ir más alla, pero en ZF tienes un teorema general que dice:

Si \( \alpha \) es una sentencia de la aritmética de Peano y tiene una demostración en AP, entonces \( \mathbb N\vDash \alpha \)

Uniendo esto a la fórmula centrada que te he puesto más arriba, obtienes el teorema siguiente:

\( \forall n\in \mathbb N\ \mathbb N\vDash "\omega^{(n)} \) es accesible"

donde ahí hay que entender que "\( \omega^{(n)} \) es accesible" no es la fórmula metamatemática que afirma tal cosa, sino el número natural (o la sucesión de sucesiones de números naturales) que codifica dicha fórmula en ZF.

Por último, podemos usar que \( \vDash \) se define de modo que se puede probar que, para toda sentencia aritmética (metamatemática) \( \alpha \) formalizada en ZF como la sucesión de números naturales "\( \alpha \)", se cumple

\( (\mathbb N\vDash "\alpha" )\leftrightarrow \alpha \)

es decir, que la formalización de \( \alpha \) satisface la formalización de "ser verdadera en \( \mathbb N \) si y sólo si se cumple \( \alpha \). En particular,

\( \mathbb N\vDash "\omega^{(n)} \mbox{ es accesible}"\leftrightarrow \omega^{(n)} \) es accesible.

y con esto llegamos a que

\( \forall n\in \mathbb N\ \omega^{(n)} \) es accesible.

que es un único teorema que implica la accesibilidad de todos los ordinales. Todo esto es muy denso, y explicarlo con todo detalle requeriría un hilo entero. Pero si crees que puedo aclarar algo más, pregunta.

También, ¿por qué que la fórmula "\( \omega^{(n)} \) es accesible" sea cierta en el modelo natural implica que es demostrable en ZF?

No, yo no he dicho eso. De hecho, es falso. No sé si lo dices por la equivalencia:

\( (\mathbb N\vDash "\alpha" )\leftrightarrow \alpha \)

Pero ahí no dice lo que dices. Ahí dice que los dos miembros significan lo mismo. Así que, si hemos demostrado que "\( \alpha \)" es cierta en \( \mathbb N \), podemos dar por demostrado \( \alpha \). De otro modo: que es lo mismo demostrar \( \alpha \) que demostrar que \( "\alpha" \) es verdadera en \( \mathbb N \), pero eso no significa que si \( "\alpha" \) es verdadera tenga que ser demostrable. Sólo que si (\( "\alpha" \) es verdadera) es demostrable, entonces \( \alpha \) es demostrable.

Supongo que entenderé todo esto cuando por fin consiga tiempo para seguir leyendo tu libro de lógica, pero con estas pequeñas cuestiones al menos no me oxido 

Detrás de todo esto hay muchos detalles técnicos que no puedo explicar en pocas palabras, pero eso no debería impedir que te quedaras con las ideas esenciales, así que si sigues sin ver algo claro, no dudes en preguntar, que algo se podrá hacer para dejarlo más claro.

[Eparoh]

Hola de nuevo.

Ahora está todo mucho más claro, aunque hay una pequeña cosa que no me termina de encajar del todo:

En AP no podemos ir más alla, pero en ZF tienes un teorema general que dice:

Si \( \alpha \) es una sentencia de la aritmética de Peano y tiene una demostración en AP, entonces \( \mathbb N\vDash \alpha \)

Aquí, ¿lo que he marcado en azul es correcto o debería poner ZF?

Si es correcto, no termino de entender el matiz porque si una sentencia \( \alpha \) en la aritmética de Peano tiene una demostración en AP, entonces por el teorema de corrección ¿no se cumple directamente que \( \Bbb N \vDash \alpha \)? ¿Por qué es esto un teorema de ZF?

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

En AP no podemos ir más alla, pero en ZF tienes un teorema general que dice:

Si \( \alpha \) es una sentencia de la aritmética de Peano y tiene una demostración en AP, entonces \( \mathbb N\vDash \alpha \)

Aquí, ¿lo que he marcado en azul es correcto o debería poner ZF?

Es correcto. En ZF puedes definir el concepto de "demostración en AP". Una fórmula es un teorema de AP si es la última fórmula de una sucesión de fórmulas tales que cada una de ellas sea un axioma de Peano, un axioma lógico o una consecuencia lógica de fórmulas precedentes.

Si es correcto, no termino de entender el matiz porque si una sentencia \( \alpha \) en la aritmética de Peano tiene una demostración en AP, entonces por el teorema de corrección ¿no se cumple directamente que \( \Bbb N \vDash \alpha \)? ¿Por qué es esto un teorema de ZF?

Es que el teorema del que estoy hablando no es sino la formalización en ZF del teorema de corrección. Me preguntabas cómo formalizar en ZF el razonamiento de Gentzen, y lo que te digo es que en la formalización tienes que usar la formalización del teorema de corrección.

[Eparoh]

Hola.

Es que el teorema del que estoy hablando no es sino la formalización en ZF del teorema de corrección. Me preguntabas cómo formalizar en ZF el razonamiento de Gentzen, y lo que te digo es que en la formalización tienes que usar la formalización del teorema de corrección.

¡Ah vale, vale! !Ahora sí!

Ya está todo claro (dentro de mis posibilidades actuales). Muchísimas gracias 

Un saludo.

[Eparoh]

Hola de nuevo.

Como siempre, lo primero las erratillas

Con esto ya es fácil probar que todos los ordinales \( \omega^{(n)} \) son accesibles. Por ejemplo, para \( n=5 \) razonamos así:

• Según acabamos de probar, \( 1 \) es \( 6 \)-accesible.
• Como \( 1 \) también es \( 5 \)-accesible, por definición \( \omega = 1\cdot \omega^1 \) es \( 5 \)-accesible.
• Como \( 1 \) es \( 4 \)-accesible, por definición \( \omega^{(2)} = 1\cdot \omega^\omega \) e \( 4 \)-accesible.
• Como \( 1 \) es \( 3 \)-accesible, por definición \( \omega^{(3)} = 1\cdot \omega^{\omega^{(2)}} \) es \( \color{red}3 \)-accesible.
• Como \( 1 \) es \( 2 \)-accesible, por definición \( \omega^{(4)} = 1\cdot \omega^{\omega^{(3)}} \) es \( \color{red}2 \)-accesible.
• Como \( 1 \) es \( 1 \)-accesible, por definición \( \omega^{(5)} = 1\cdot \omega^{\omega^{(4)}} \) es \( \color{red}1 \)-accesible.

Con el copia y pega se te pasó cambiar los 3 últimos que he marcado en rojo

Ahora sí, respecto al argumento de Takeuti, me parece "matemáticamente" convincente en el sentido de que el argumento dado lo veo muy similar a una demostración matemática usual. Sin embargo, yo creo que (pura opinión) no lo llamaría finitista.

En el argumento de Gentzen, el problema lo teníamos con el "y así sucesivamente", pues aunque parece claro que el mismo proceso dado se puede extender para probar la accesibilidad de cualquier \( \omega^{(n)} \), como ya comentó Carlos, no existe un argumento general que te permita pasar de \( n \) a \( n+1 \) pues lo casos se multiplican y multiplican.

Este problema creo que lo soluciona Gentzen, porque su argumento te permite probar con exactamente \( n+1 \) pasos que \( \omega^{(n)} \) es accesible. Por tanto, desde un punto de vista metamatemático, no cabe duda de que todo \( \omega^{(n)} \) será accesible pues, tu puedes darme cualquiera de ellos, por muy grande que sea el \( n \) y yo, en tan solo \( n+1 \) pasos te demuestro que es accesible. Ahora bien, a mi parecer lo hace a costa de introducir una definición inicial que sobrepasa los límites del finitismo. Si no me equivoco (corregidme si es así, pues realmente me gustaría saber si hay algún argumento que muestre que efectivamente la definición no es constructiva) la definición de ordinal accesible ya no es finitista, no es constructiva pues (creo que) no es posible programar un ordenador para que, dado un ordinal cualquiera, de como salida si es o no accesible. No digo que no esté perfectamente bien definida tal y como explica Carlos al comienzo de la Respuesta #8, sino que no parece que podamos construir de forma recursiva todos los ordinales accesibles (no al menos en base a la propia definición). Por tanto, si ya dicha definición no es constructiva, la de ordinal \( n \)-accesible será "\( n \) ordenes de magnitud" menos constructiva, pues requiere de comprobar si toda una familia infinita de ordinales son \( (n-1) \)-accesibles, para lo cual se requiere a su vez comprobar si una familia infinita de ordinales es \( (n-2) \)-accesible, etc.

Ahora bien, aunque la definición no sea finitista, si creo que es metamatemáticamente aceptable, pues como la definición de accesibilidad está bien definida, la de \( n \)-accesibilidad que es únicamente una recursión de ésta también lo estará. Quiero decir que, dado un ordinal \( \alpha \), o bien existe un ordinal accesible \( \beta \) tal que \( \beta \cdot \omega^\alpha \) no es accesible, y por tanto \( \alpha \) no es \( 2 \)-accesible, o bien esto no ocurre nunca y \( \alpha \) si es \( 2 \)-accesible. No sabemos cual será el caso, pero solo existen estas dos posibilidades. Por tanto, la \( 2 \)-accesibilidad está bien definida y a partir de ella podemos ver que la \( 3 \)-accesibilidad estará bien definida, etc.

Bueno, a ver si no he dicho ninguna tontería entre todo lo anterior

Por cierto, el argumento de Takeuti es también perfectamente formalizable en AP y nos permite (de forma aparentemente más directa que la de la Respuesta #9) obtener un esquema que nos asegura que es posible construir una demostración en AP de "\( \omega^{(n)} \) es accesible" para cada \( n=0, 1, 2, \cdots \) ¿Verdad?

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

Como siempre, lo primero las erratillas

    Ya las he corregido. Gracias otra vez.

Ahora sí, respecto al argumento de Takeuti, me parece "matemáticamente" convincente en el sentido de que el argumento dado lo veo muy similar a una demostración matemática usual. Sin embargo, yo creo que (pura opinión) no lo llamaría finitista.

Sí. Quizá no fue muy afortunado que acabara preguntando si es finitista. Más bien quería preguntar si es "convincente" entendido "a pelo", es decir, sin el envoltorio de una teoría axiomática.

Este problema creo que lo soluciona Takeuti, porque su argumento te permite probar con exactamente \( n+1 \) pasos que \( \omega^{(n)} \) es accesible. Por tanto, desde un punto de vista metamatemático, no cabe duda de que todo \( \omega^{(n)} \) será accesible pues, tu puedes darme cualquiera de ellos, por muy grande que sea el \( n \) y yo, en tan solo \( n+1 \) pasos te demuestro que es accesible.

Estoy de acuerdo.

Ahora bien, a mi parecer lo hace a costa de introducir una definición inicial que sobrepasa los límites del finitismo. Si no me equivoco (corregidme si es así, pues realmente me gustaría saber si hay algún argumento que muestre que efectivamente la definición no es constructiva) la definición de ordinal accesible ya no es finitista, no es constructiva pues (creo que) no es posible programar un ordenador para que, dado un ordinal cualquiera, de como salida si es o no accesible.

Dicho así, tu planteamiento admite una respuesta "tramposa", pero con una trampa que no se puede descartar trivialmente. Uno podría decir que ese programa de ordenador sí que existe y es muy sencillo: tú le das un ordinal y el te responde que sí que es accesible. ¿Puedes cuestionar que el programa cumple lo requerido?

Eso está relacionado con una pequeña cuasiparadoja sobre las funciones recursivas. Se puede decir que una función es recursiva si la puede calcular un ordenador, pero, según eso, uno podría decir que la función dada por

\( f(n) = \cases{1& si ZFC es consistente,\cr 0& si no lo es} \)

no es recursiva, porque ningún ordenador nos puede decir si ZFC es consistente o no lo es. Sin embargo, esa función sí que es recursiva, porque es una función constante y todas las funciones constantes son recursivas. Un ordenador puede calcularla, ya sea dando como resultado siempre 0 o siempre 1.

No digo que no esté perfectamente bien definida tal y como explica Carlos al comienzo de la Respuesta #8, sino que no parece que podamos construir de forma recursiva todos los ordinales accesibles (no al menos en base a la propia definición).

Ahí estás matizando en la dirección correcta, pero si todos los ordinales son accesibles, sí que podemos construir de forma recursiva todos los ordinales accesibles (es decir, todos los ordinales). La razón por lo que estas salidas por la tangente que estoy haciendo no son triviales es porque, cuando diseñas un algoritmo, tienes que justificar que cumple lo que se pretende, y no tienes limitaciones a priori sobre qué argumentos puedes dar para justificarlo con tal de que sean concluyentes. Por lo que si tú razonas —de cualquier forma que consideres concluyente— que todo ordinal es accesible, estás probando que el "algoritmo" que dice que sí cuando le das cualquier ordinal está cumpliendo lo requerido.

Pero lo cierto (tratando de eludir la salida por la tangente) es que si no sabemos si un ordinal (infinito) es accesible y queremos que un ordenador nos saque de la duda, no podemos, por lo menos tratando de aplicar la mera definición de accesibilidad. Y el punto está en que la accesibilidad de un ordinal equivale a que todos los ordinales menores que él cumplan una determinada propiedad. Más aún, la 2-accesibilidad de un ordinal equivale a que todos los ordinales (mayores o menores que él) cumplan una determinada propiedad. Esto es lo que tú mismo dices aquí:

Por tanto, si ya dicha definición no es constructiva, la de ordinal \( n \)-accesible será "\( n \) ordenes de magnitud" menos constructiva, pues requiere de comprobar si toda una familia infinita de ordinales son \( (n-1) \)-accesibles, para lo cual se requiere a su vez comprobar si una familia infinita de ordinales es \( (n-2) \)-accesible, etc.

También coincido con esto:

Ahora bien, aunque la definición no sea finitista, si creo que es metamatemáticamente aceptable, pues como la definición de accesibilidad está bien definida, la de \( n \)-accesibilidad que es únicamente una recursión de ésta también lo estará. Quiero decir que, dado un ordinal \( \alpha \), o bien existe un ordinal accesible \( \beta \) tal que \( \beta \cdot \omega^\alpha \) no es accesible, y por tanto \( \alpha \) no es \( 2 \)-accesible, o bien esto no ocurre nunca y \( \alpha \) si es \( 2 \)-accesible. No sabemos cual será el caso, pero solo existen estas dos posibilidades. Por tanto, la \( 2 \)-accesibilidad está bien definida y a partir de ella podemos ver que la \( 3 \)-accesibilidad estará bien definida, etc.

Pero aquí apuntaría algo que me parece relevante: dices "no sabemos cuál es el caso", pero ¿realmente no lo sabemos? Una cosa es que la definición no nos lo diga, ni nos de una forma obvia de averiguarlo, pero, si estamos de acuerdo en que el concepto está bien definido y podemos razonar que todo ordinal cumple la definición, entonces sí que sabemos cuál es el caso.

Por cierto, el argumento de Takeuti es también perfectamente formalizable en AP y nos permite (de forma aparentemente más directa que la de la Respuesta #9) obtener un esquema que nos asegura que es posible construir una demostración en AP de "\( \omega^{(n)} \) es accesible" para cada \( n=0, 1, 2, \cdots \) ¿Verdad?

Sí.

Lo más curioso que encuentro yo en la demostración de Takeuti es que, normalmente, una prueba general se puede particularizar a un ejemplo concreto que nos permita ver mejor la idea del argumento, pero en este caso no es así. Si tratamos de particularizarla a la prueba de que \( \omega^{(5)} \) es accesible, no obtenemos nada en particular. La prueba requiere en primer lugar que \( 1 \) es 6-accesible, lo cual es una mera reformulación del hecho de que \( \alpha \) n-accesible implica \( \alpha\cdot\omega \) n-accesible, y a partir de ahí se razona que \( \omega \) es \( 5 \)-accesible antes de que sepamos nada sobre qué ordinales son 4-accesiles.

Aunque la 5-accesibilidad se define en términos de la 4-accesibilidad, podemos probar que \( \omega \) es 5-accesible sin saber nada sobre qué ordinales son 4-accesibles, y a su vez es la 5-accesibilidad de \( \omega \) la que nos da la 4-accesibilidad de \( \omega^\omega \) antes de saber nada sobre qué ordinales son 3-accesibles, etc.

Así, tenemos que trabajar con unas definiciones que no podemos comprobar en principio, pero podemos decir que "cada ordinal la cumplirá o no", para luego razonar que todos los ordinales tienen que cumplirlas, pero empezando por la propiedad más complicada y descendiendo hacia las más simples.

Bueno, en cuanto pueda añadiré otro mensaje recapitulando lo que hemos visto y, en principio, con ello estaría expuesto lo que quería exponer, pero, si acaso, añadiré unos mensajes más con un problema curioso y muy interesante relacionado con todo esto, que sería una lástima no tocar habiendo llegado hasta aquí. Además, si sigues con el vicio de programar, te permitirá hacer programitas similares a los que hemos usado con ordinales pero que, en este caso, permitirán explorar el problema.

[Eparoh]

Hola.

Dicho así, tu planteamiento admite una respuesta "tramposa", pero con una trampa que no se puede descartar trivialmente. Uno podría decir que ese programa de ordenador sí que existe y es muy sencillo: tú le das un ordinal y el te responde que sí que es accesible. ¿Puedes cuestionar que el programa cumple lo requerido?

Eso está relacionado con una pequeña cuasiparadoja sobre las funciones recursivas. Se puede decir que una función es recursiva si la puede calcular un ordenador, pero, según eso, uno podría decir que la función dada por

\( f(n) = \cases{1& si ZFC es consistente,\cr 0& si no lo es} \)

no es recursiva, porque ningún ordenador nos puede decir si ZFC es consistente o no lo es. Sin embargo, esa función sí que es recursiva, porque es una función constante y todas las funciones constantes son recursivas. Un ordenador puede calcularla, ya sea dando como resultado siempre 0 o siempre 1.

Pues no había pensado en ese detalle, la verdad. Pero claro, como dices en los siguientes mensajes, la cuestión más bien es que si no sabes cual es la situación, ningún programa de ordenador nos podrá sacar de la duda. Y, lo mismo ocurre con la accesibilidad, al menos si solo consideramos su definición.

Entendido el matiz

También coincido con esto:

Ahora bien, aunque la definición no sea finitista, si creo que es metamatemáticamente aceptable, pues como la definición de accesibilidad está bien definida, la de \( n \)-accesibilidad que es únicamente una recursión de ésta también lo estará. Quiero decir que, dado un ordinal \( \alpha \), o bien existe un ordinal accesible \( \beta \) tal que \( \beta \cdot \omega^\alpha \) no es accesible, y por tanto \( \alpha \) no es \( 2 \)-accesible, o bien esto no ocurre nunca y \( \alpha \) si es \( 2 \)-accesible. No sabemos cual será el caso, pero solo existen estas dos posibilidades. Por tanto, la \( 2 \)-accesibilidad está bien definida y a partir de ella podemos ver que la \( 3 \)-accesibilidad estará bien definida, etc.

Pero aquí apuntaría algo que me parece relevante: dices "no sabemos cuál es el caso", pero ¿realmente no lo sabemos? Una cosa es que la definición no nos lo diga, ni nos de una forma obvia de averiguarlo, pero, si estamos de acuerdo en que el concepto está bien definido y podemos razonar que todo ordinal cumple la definición, entonces sí que sabemos cuál es el caso.

Cierto. Realmente quería poner un "puede que no sepamos cual es el caso".

Lo más curioso que encuentro yo en la demostración de Takeuti es que, normalmente, una prueba general se puede particularizar a un ejemplo concreto que nos permita ver mejor la idea del argumento, pero en este caso no es así. Si tratamos de particularizarla a la prueba de que \( \omega^{(5)} \) es accesible, no obtenemos nada en particular. La prueba requiere en primer lugar que \( 1 \) es 6-accesible, lo cual es una mera reformulación del hecho de que \( \alpha \) n-accesible implica \( \alpha\cdot\omega \) n-accesible, y a partir de ahí se razona que \( \omega \) es \( 5 \)-accesible antes de que sepamos nada sobre qué ordinales son 4-accesiles.

Aunque la 5-accesibilidad se define en términos de la 4-accesibilidad, podemos probar que \( \omega \) es 5-accesible sin saber nada sobre qué ordinales son 4-accesibles, y a su vez es la 5-accesibilidad de \( \omega \) la que nos da la 4-accesibilidad de \( \omega^\omega \) antes de saber nada sobre qué ordinales son 3-accesibles, etc.

Así, tenemos que trabajar con unas definiciones que no podemos comprobar en principio, pero podemos decir que "cada ordinal la cumplirá o no", para luego razonar que todos los ordinales tienen que cumplirlas, pero empezando por la propiedad más complicada y descendiendo hacia las más simples.

Pues no la había pensado en esos términos (aunque si es cierto que algo me parecía "raro" en la demostración), pero ahora que lo dices la verdad es que si es una situación muy, muy curiosa.

Bueno, en cuanto pueda añadiré otro mensaje recapitulando lo que hemos visto y, en principio, con ello estaría expuesto lo que quería exponer, pero, si acaso, añadiré unos mensajes más con un problema curioso y muy interesante relacionado con todo esto, que sería una lástima no tocar habiendo llegado hasta aquí. Además, si sigues con el vicio de programar, te permitirá hacer programitas similares a los que hemos usado con ordinales pero que, en este caso, permitirán explorar el problema.

He visto que ya lo has añadido, pero aún no he tenido tiempo de leerlo bien

Pero, el problema que planteas si lo conozco y es uno de mis problemas/resultados favoritos (hasta el punto de planear llevar algo muy relacionado con ello de forma permanente en la piel, pero eso es otra historia muy distinta  ) aunque nunca me he puesto a programarlo (siempre he utilizados apps de otra gente) y tampoco a ver en profundidad las demostraciones sobre porqué el resultado general no se puede probar en AP (*). Sí conozco como demostrarlo en ZF y también que existe al menos una estrategia ganadora demostrable en AP (aunque de esto no estoy 100% seguro porque mis conocimientos del tema se quedan cortos, así que una confirmación de si he metido o no la pata no vendría mal).

Aún así, como nunca me he metido realmente en faena de programarlo ni de estudiarlo en más profundidad (fuera de ZF) estoy seguro que voy a disfrutar muchísimo los mensajes que me quedan por leer

(*) Aunque ahora que lo pienso, teniendo en cuenta lo que he aprendido con este hilo, la razón es que, que cualquier estrategia sea ganadora es equivalente a que no existen sucesiones decrecientes de ordinales menores a \( \epsilon_0 \), ¿no?

Un saludo.

PD: Bajando por el hilo principal mientras buscaba una cosa, me he dado cuenta que en la Respuesta #3, antes del primer código de python aparecen unos "list" que me da la impresión que son el resultado de no haber copiado del todo bien la cita a mi mensaje sobre la construcción de los conjuntos \( R_n \) (porque en el spoiler también aparecen las tres últimas líneas identadas cuando no deberían estarlo).

[Carlos Ivorra]

Pues no la había pensado en esos términos (aunque si es cierto que algo me parecía "raro" en la demostración), pero ahora que lo dices la verdad es que si es una situación muy, muy curiosa.

Yo diría que la prueba de Takeuti está cerca del límite de lo que supone "hablar sin saber de qué está uno hablando". Es lo que sucede si uno se pone a hablar de ordinales en el sentido general de Cantor dando por hecho que los ordinales son "algo concreto" de lo que se puede hablar sin necesidad de fijar una teoría axiomática. Entonces uno se encuentra con que el conjunto de todos los ordinales es mayor que todos los demás, pero que a la vez debe tener un siguiente y así cae uno en la cuenta de que no sabemos de qué hablamos cuando decimos "todos los ordinales", y por eso es necesario limitar las afirmaciones sobre conjuntos abstractas a las expresables en una teoría axiomática con visos de consistencia.

Si uno lo piensa fríamente, se convence (creo yo) de que el concepto de ordinal n-accesible está bien definido en el sentido que tú mismo decías: que está claro que cada ordinal tiene que ser n-accesible o no serlo, en un sentido objetivo independiente de que no sepamos a priori si un ordinal lo es o no.

Sin embargo, esa forma de razonar que permite extraer consecuencias de la 5 accesibilidad antes de saber nada de la 4-accesibilidad, etc. "suena" a que el razonamiento sólo son palabras de las que vete a saber si puedes fiarte, pero en realidad no es eso, sino más bien que el razonamiento parte de conceptos que tenemos que usar a sabiendas de que son afirmaciones con sentido no verificables directamente y, admitiendo (temporalmente) que realmente son afirmaciones con un significado objetivo, podemos razonar de arriba hacia abajo justificando que ese sentido exige que todos los ordinales sean n-accesibles para todo n, y a partir de ahí el concepto de n-accesibilidad se vuelve trivialmente "concreto" (hasta, en un sentido tramposo, se podría decir que "finitista") por aquello de que es fácil programar a un ordenador para que determine si un ordinal dado es accesible o no: sólo tiene que decir que sí, sin más.

Pero, el problema que planteas si lo conozco y es uno de mis problemas/resultados favoritos (hasta el punto de planear llevar algo muy relacionado con ello de forma permanente en la piel, pero eso es otra historia muy distinta  ) aunque nunca me he puesto a programarlo (siempre he utilizados apps de otra gente) y tampoco a ver en profundidad las demostraciones sobre porqué el resultado general no se puede probar en AP (*). Sí conozco como demostrarlo en ZF y también que existe al menos una estrategia ganadora demostrable en AP (aunque de esto no estoy 100% seguro porque mis conocimientos del tema se quedan cortos, así que una confirmación de si he metido o no la pata no vendría mal).

Aún así, como nunca me he metido realmente en faena de programarlo ni de estudiarlo en más profundidad (fuera de ZF) estoy seguro que voy a disfrutar muchísimo los mensajes que me quedan por leer

No estoy seguro de cómo entender esto: si vas a programarte tú mismo las hidras, me puedo esperar a que lo hagas, para no adelantarme, pero si consideras que no te aporta nada porque ya estás suficientemente familiarizado con el problema, entonces sigo.

En efecto, existe una estrategia ganadora sencilla, y es fácilmente programable (otra cosa es la paciencia que hay que tener para que Hércules termine matando a la Hidra siguiendo esa estrategia).

(*) Aunque ahora que lo pienso, teniendo en cuenta lo que he aprendido con este hilo, la razón es que, que cualquier estrategia sea ganadora es equivalente a que no existen sucesiones decrecientes de ordinales menores a \( \epsilon_0 \), ¿no?

¡Claro!

PD: Bajando por el hilo principal mientras buscaba una cosa, me he dado cuenta que en la Respuesta #3, antes del primer código de python aparecen unos "list" que me da la impresión que son el resultado de no haber copiado del todo bien la cita a mi mensaje sobre la construcción de los conjuntos \( R_n \) (porque en el spoiler también aparecen las tres últimas líneas identadas cuando no deberían estarlo).

Sí, ya lo he arreglado. No sé qué pasó exactamente, pero algunos [/list] fueron bajando y bajando hasta quedar muy lejos de donde debían estar.