Hola
Sigo disintiendo de ti. Vuelves a insistir en que como has calculado AMN y llegas a un arcoseno, necesariamente has demostrado que el arcoseno es función cuadrática y como eso es falso, entonces la curva de áreas no es cuadrática. Haces un cambio de variable que oscurece más el tema.
El cambio de variable es elemental: dos transformaciones afines simples. No oscurece nada.
Te vuelvo a decir que el hecho de que para calcular AMN hayas tenido que calcular un arcoseno, no implica que haya otras construcciones que no necesiten eso.
Si tienes dos variables y una es el seno de la otra; eso no se puede solventar. Da igual como reescribas la relación entre ellas: una es el seno de la otra.
En el ejemplo que pones, (no soy tan tonto para entenderlo), el ángulo que describe y su seno no se relacionan por una ecuación implícita de grado dos, pero has olvidado que ese ángulo debe ir SOLO y aquí lo acompañas de la función seno.
El mismo ejemplo me sirve para probar que el arcoseno de un ángulo y el propio ángulo se comportan de diferente manera.
¡Claro que lo acompaño de la función seno (o de la arcoseno si consideramos la relación inversa entre las variables)!. Es exactamente lo que ocurre en nuestra construcción; el área del segmento circular depende del ángulo y de ciertas longitudes; las longitudes están relacionadas con el ángulo por razones trigonométricas. Es justo el caso de antes: en una ecuación implícita aparecen la variable y su razón trigonométrica: no hay relación cuadrática.
Supongamos un punto P que se mueve en la circunferencia de centro el origen y radio unidad. Tomamos como origen del movimiento de P el punto (1,0). En unos ejes representamos los puntos de abcisa el arco recorrido por P y en ordenadas su ángulo. Si el ángulo lo medimos en radianes, la curva que se obtiene es y=x, esto es, una cónica (degenerada pero cónica).
Ahí relacionas el ángulo con la longitud del arco. ¡Claro, son proporcionales!. Pero en nuestra construcción queremos relacionar el área de un sector circular (o incluso me valdría la longitud del arco)... no con el ángulo.. sino con una longitud (la \( OA \)). Longitud íntimamente relacionada con el seno y coseno del ángulo. Es decir un ejemplo que se ajusta correctamente a lo que nos ocupa es que tomes el punto \( P \) sobre la circunferencia unidad y relaciones el arco que describe con la longitud de la proyección de \( P \) sobre el eje OX (que no es otra cosa que su coseno). Y...¡ay!... ya no hay relación cuadrática alguna.
He analizado la hoja de Geogebra que adjuntas y sé porqué el lugar no te sale una cónica (muy parecida pero no). El problema es que el punto A no lo has restringido a que sólo se mueva en la recta AC. Cuando lo desplazas, aunque lo hagas con mucho cuidado, ya no estás en esa recta.
Pues lo has analizado mal. No es fácil analizar un GeoGebra ya hecho.
Si revisas las definiciones:
A=Punto(m)
m=Segmento(BO)
O es el centro de la cicunferencia
B=Interseca(c,ec1)
c=ecuación de la circunferencia
ec1=recta x-y=0 (la bisectriz)
En resumen \( O=(0,0) \) \( B=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2) \), \( m \) es el segmento que los une y \( A \) recorre \( m \).
Descarga la hoja de Geogebra que indiqué en un mensaje anterior 'Circunferencia y cuadrado con mitad área.ggb' en ella puedes observar como al desplazar el punto P por la diagonal AC, su homólogo P' recorre una cónica (hipérbola).
El problema de esa hoja es que es un infierno seguir como has construído cada cosa; utiliza varias herramientas creadas por ti. Entonces sin saber como está la construcción poco puedo decir.
Sea como sea: desde mi punto de vista la cuestión es evidente.
- Cuatro personas distintas hemos mostrado cuatro métodos distintos que llevan a una ecuación con términos lineales o cuadráticos y términos donde la variable aparece como argumento de una función trigonométrica o su inversa: no hay relación cuadrática posible ahí.
- No has detectado ningún error en ninguno de los métodos (si crees que lo hay dilo de manera
concreta) y todos proporcionan el mismo resultado.
- Tu no has dado ningún método explícito para resolver el problema, que podamos revisar.
- Has dado dos argumentos con los que pretendías defender tu postura (
aquí y
aquí):
Spoiler
Siempre que una magnitud depende SOLO de un punto que se mueve en una elipse, circunferencia,.... en general cónica fija, tal magnitud viene representada por una ecuación implícita de 2º grado, esto es, describe una cónica. Mira por ejemplo el lugar que describe el punto medio de una cuerda de elipse cuando uno de sus extremos se mueve por la elipse.
Creo que el razonamiento que sigue es correcto:
El punto P se mueve en una recta (grado 1) el área eleva al cuadrado la longitud, así las áreas que determina P están en una curva de 2º grado, esto es, un cónica.
y te he explicado porque están mal los dos (
aqui y
aquí),
Spoiler
Pero eso sólo funciona si las figuras cuyo área calculamos son homotéticas (a escala una de la otra); aquí claramente no lo son, porque todas están formadas por un triángulo rectángulo isósceles (cuyo lado si va disminuyendo) y un segmento circular de un círculo de radio constante igual a \( L. \)
Luego adicionalmente la razón de semejanza tendría que depende linealmente de la variable; pero es que ya falla lo troncal: no son figuras homotéticas.
Pero eso es totalmente falso; ¡claro que hay ejemplos donde se cumple!. Pero en otros no. El más tonto: toma un punto sobre una circunferencia y piensa en el ángulo que describe y su seno: ¿se relacionan por una ecuación implícita de grado dos?.
Así que poco más puedo decir; no se explicarlo mejor. Si sigues empeñado en que el problema se resuelve con una ecuación cuadrática: muestra tal ecuación y como se justifica. Pero vaya por delante que es una pérdida de tiempo: no hay tal ecuación. Suerte.
Saludos.
