[ancape]

Encontrar el punto O en la recta diagonal AC de forma que el área sombreada en magenta, sea la mitad del área del cuadrado.

[hméndez]

Encontrar el punto O en la recta diagonal AC de forma que el área sombreada en magenta, sea la mitad del área del cuadrado.

Se entiende que el punto O es el centro del círculo naranja de radio L, sin entrar en detalles de cálculo:

Resolviendo numéricamente para t la ecuación trascendente \( t-(cos(t)-sin(t))sin(t)=\displaystyle\frac{1}{2} \) se tiene:

\( t\approx{}0.6293641030 \)

La distancia pedida \(  D_{OA}=(cos(t)-sin(t))L \) se obtiene evaluando esta en la raíz conseguida \( D_{OA}\approx{}0.2197711637L \) .

Saludos.

[Pie]

"Me da" lo mismo que a hmendez (para \( L = 1 \)) resolviendo la ecuación:

\( \displaystyle\frac{\pi}{4} - (2 \displaystyle\int_{0}^{b}\sqrt[ ]{1-x^2} dx -x^2) = \displaystyle\frac{1}{2} \)

Siendo \( x \) la distancia respecto a \( O \) en los ejes \( x \) e \( y \).

Resolviendo la Integral queda:

\( \displaystyle\frac{\pi}{4}- (\arcsin(x) + x \sqrt{1-x^2} - x^2) = 1/2
 \)

Que según el wolfram da:

\( x \approx 0,1554.. \)

Y la distancia sería: \(  \sqrt{2x^2} \approx 0.2197.. \)

Claro que he hecho trampa tramposa usando el wolfram, ya que ni idea de cómo resolver ese tipo de ecuaciones.. 

Saludos.

[ancape]

Buenas noches

Las respuestas DOA≈0.2197711637L  y 0.2197.. son prácticamente correctas pero en ambos casos son aproximadas y se basan en resolver una ecuación bastante difícil como para no poderlo hacer a mano. La solución es 0.2189779.... y puede obtenerse geométricamente.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Las respuestas DOA≈0.2197711637L  y 0.2197.. son prácticamente correctas pero en ambos casos son aproximadas y se basan en resolver una ecuación bastante difícil como para no poderlo hacer a mano. La solución es 0.2189779.... y puede obtenerse geométricamente.

No; la solución que indicas está mal; y la que indican ellos está bien.

Supongo radio de la circunferencia igual a uno.



El área de un segmento circular de ángulo \( \alpha \) es (en una circunferencia de radio \( 1 \)):

\( \dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}sin(\alpha) \)

Hay que sumarle el área del triángulo \( AFG \), que es \( \dfrac{1}{2}AF^2 \). Pero:

\( AF=sin(\beta)-cos(\beta) \)

y \( \beta=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{2} \).

El área hallada hay que igualarla a la mitad del área del cuadrado de lado \( 1 \). En definitiva queda la ecuación:

\( \dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}sin(\alpha)+\dfrac{1}{2}(sin(\pi/4+x/2)-cos(\pi/4+x/2))^2=\dfrac{1}{2} \)

Simplificada:

\( \alpha-sin(\alpha)-cos(\alpha)=0 \)

De ahí \( \alpha=1.2587281774926764 \) y:

\( OA=cos(\pi/4+\alpha/2)\sqrt{2}=0.21977118362117348 \).

Saludos.

[ancape]

No; la solución que indicas está mal; y la que indican ellos está bien.

Buenos días.

He mirado el proceso que he empleado en encontrar la solución y creo que está bien. La pequeña diferencia entre soluciones la creo debida a que el cálculo que hago del área de un sector circular no es completamente exacta pero eso tiene solución sencilla. El único problema que indicaba era que la ecuación que se obtiene en un caso como en otro e incluso en tu método, sólo acierto a resolverla con ordenador y siempre será aproximada. Si utilizamos métodos numéricos que eviten el uso de programas comerciales de matemáticas, los cálculos son muy largos y tediosos.

Adjunto hoja de Geogebra con la solución que he dado. Se basa en que las diferentes áreas obtenidas al mover el punto P pro la diagonal AC del cuadrado, forman una cónica.

Ver https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=82641.0



Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

He mirado el proceso que he empleado en encontrar la solución y creo que está bien. La pequeña diferencia entre soluciones la creo debida a que el cálculo que hago del área de un sector circular no es completamente exacta pero eso tiene solución sencilla.

Pero no vas a poder obtener una solución explícita ni constructible (con regla y compás).

El único problema que indicaba era que la ecuación que se obtiene en un caso como en otro e incluso en tu método, sólo acierto a resolverla con ordenador y siempre será aproximada. Si utilizamos métodos numéricos que eviten el uso de programas comerciales de matemáticas, los cálculos son muy largos y tediosos.

Cualquier otra solución (correcta) que propongas va caer en lo mismo. Va a necesitar métodos numéricos para resolverla; sino está mal.

Adjunto hoja de Geogebra con la solución que he dado. Se basa en que las diferentes áreas obtenidas al mover el punto P pro la diagonal AC del cuadrado, forman una cónica.

Si te refieres a que el área que queremos que sea la mitad de la del cuadrado en función de \( OA \) es una cónica: eso es falso. Si piensas que es verdadero demuéstralo; cuando tengo un rato te muestro explícitamente que es falso.

Otra cosa es que se pueda "parecer" a una cónica (no lo he comprobado); pero no lo es.

Saludos.

[ancape]

Hola

He mirado el proceso que he empleado en encontrar la solución y creo que está bien. La pequeña diferencia entre soluciones la creo debida a que el cálculo que hago del área de un sector circular no es completamente exacta pero eso tiene solución sencilla.

Pero no vas a poder obtener una solución explícita ni constructible (con regla y compás).

El único problema que indicaba era que la ecuación que se obtiene en un caso como en otro e incluso en tu método, sólo acierto a resolverla con ordenador y siempre será aproximada. Si utilizamos métodos numéricos que eviten el uso de programas comerciales de matemáticas, los cálculos son muy largos y tediosos.

Cualquier otra solución (correcta) que propongas va caer en lo mismo. Va a necesitar métodos numéricos para resolverla; sino está mal.

Luis:
Perdona que insista, pero creo que tu respuesta es errónea.
El punto O solución se obtiene como intersección de una cónica definida por 5 puntos y una recta. Tal punto de intersección es construible con regla y compás como puedes ver en el archivo ‘Intersección recta-5PCónica.ggb’ que adjunto.

Si te refieres a que el área que queremos que sea la mitad de la del cuadrado en función de OA es una cónica: eso es falso. Si piensas que es verdadero demuéstralo; cuando tengo un rato te muestro explícitamente que es falso.

Otra cosa es que se pueda "parecer" a una cónica (no lo he comprobado); pero no lo es.

Creo que el razonamiento que sigue es correcto:
El punto P se mueve en una recta (grado 1) el área eleva al cuadrado la longitud, así las áreas que determina P están en una curva de 2º grado, esto es, un cónica.
Con Geogebra he hecho dibujos con muchas escalas y cuadrados, dibujo la cónica que asocio y coincide con el lugar geométrico que proporciona la herramienta ‘Lugar Geométrico’ que proporciona Geogebra.



Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que el razonamiento que sigue es correcto:
El punto P se mueve en una recta (grado 1) el área eleva al cuadrado la longitud, así las áreas que determina P están en una curva de 2º grado, esto es, un cónica.

Pero eso sólo funciona si las figuras cuyo área calculamos son homotéticas (a escala una de la otra); aquí claramente no lo son, porque todas están formadas por un triángulo rectángulo isósceles (cuyo lado si va disminuyendo) y un segmento circular de un círculo de radio constante igual a \( L. \)

Luego adicionalmente la razón de semejanza tendría que depende linealmente de la variable; pero es que ya falla lo troncal: no son figuras homotéticas.

Así que está mal.

Saludos.

[vicenteab]

Hola. Quisiera aportar mi solución a este problema, entendiendo que es muy similar a la que ya se ha mostrado. Los cálculos aproximados resultan un poco "distintos" debido al "arrastre" de algunos valores aproximados. Adjunto archivo.



Saludos.

Sean dados en la figura los datos \( OB=OC=AD=1 \),   \( \widehat{BOC}=\alpha \). (Ver archivo adjunto)

Entonces el valor del área de la región \( ABC \) será igual a la diferencia entre el sector de ángulo central \( \alpha \) y la suma de las áreas de los triángulos  \( \triangle AOB \)  y \( \triangle AOC \).

Por tanto, \( 1/2=\alpha/2-2[\triangle AOC] \)

Ahora bien,

\( \dfrac{AO}{sin⁡(\pi/4-\alpha/2)} =\dfrac{1}{sin⁡(3\pi/4)}\quad \Rightarrow\quad AO=cos⁡(\alpha/2)-sin(\alpha/2) \)

De este modo, \( [\triangle AOC]=\dfrac{1}{2} OA\cdot sin(\alpha/2)=\dfrac{1}{2} [cos⁡(\alpha/2)-sin(\alpha/2) ]\cdot sin(\alpha/2) \)

Sabemos que, 

\( [cos⁡(\alpha/2)-sin(\alpha/2) ]\cdot sin(\alpha/2)=\dfrac{1}{2} sin(\alpha)-sin^2⁡(\alpha/2)=\dfrac{1}{2}  sin⁡\alpha-\dfrac{1}{2} (1-cos⁡\alpha ) \)

\(   \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\alpha-2[\triangle AOC]=\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}  sin⁡\alpha+\dfrac{1}{2} (1-cos⁡\alpha  )\quad \Leftrightarrow \quad \alpha-sin⁡\alpha-cos⁡\alpha=0 \)

Usando GeoGebra, representamos las gráficas de  \( f(x)=x \); \( g(x)=sin ⁡x+cos⁡ x \), determinando su punto de intersección.

De este modo, \( x= α\approx 1.25872817726423 \).

Para este valor, \( AO= cos⁡(\alpha/2)-sin(\alpha/2)\approx 0.219771183780744 \).
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