El área de \( LMNP \) tiene que ser igual al área del triángulo \( PNI \) menos el área del triángulo \( LMI \).
Los ángulos del triángulo \( LMI \) son:
\( M = 90° \)
\( I = 45° - \arctan(1/2) \approx 18.435..° \)
\( L = 180 - (M+I) \approx 71.565..° \)
Y el lado \( MI \), si el lado del cuadrado vale \( 1m \), tiene que valer:
\( MI = \sqrt{(1/2)^2+(1/2)^2} = \sqrt{1/2}m \)
El resto de lados salen por el teorema del seno:
\( \displaystyle\frac{MI}{\sin(L)} = \displaystyle\frac{IL}{\sin(M)} = \displaystyle\frac{LM}{\sin(I)} \Rightarrow{}
\)
\( \displaystyle IL = \frac{\sin(M)\cdot{}\sqrt{1/2}}{\sin(L)} \approx 0.745..m \)
\( \displaystyle LM = \frac{\sin(I)\cdot{}\sqrt{1/2}}{sin(L)} \approx 0.235..m \)
Como es un triángulo rectángulo la altura es \( MI \) y la base \( LM \), con lo que el área queda:
\( A_{LMI} = \displaystyle \frac{LM\cdot{}MI}{2} \approx 0.083..m^2 \)
Por su parte, los ángulos del triángulo \( PNI \) son los mismos que los de \( LMI \), ya que también es rectángulo y comparten el ángulo \( I \). Entonces encontrando el lado \( IP \) ya sale el resto.
Considerando el triángulo \( EPI \) (me acabo de acordar de Barrio Sésamo
):
\( \displaystyle\frac{IP}{\sin(E)} = \underbrace{\frac{1}{\sin(P)}}_{1} \Rightarrow{IP = \sin(E) = \sin(90-\arctan(1/2)) \approx 0.894..m}
\)
Y el lado \( PN \):
\( \displaystyle \frac{PN}{IP} = \frac{LM}{MI} \Rightarrow{} PN = \frac{IP\cdot{}LM}{MI} \approx 0.297..m
\)
Y el área del triángulo \( PNI \) queda:
\( A_{PNI} =\displaystyle \frac{PN\cdot{}IP}{2} \approx 0.1327..m^2 \)
Finalmente restando..
\( A_{LMNP} = A_{PNI} - A_{LMI} = 0.05..m^2 \)
PD. Al ser rectángulos no hacía falta usar el teorema del seno, la verdad no sé porqué lo hice asi..
