[esmeraldabrown]

 Necesito ayuda con este método compañeros:

a) Usar  el  método  de  Euler  con

 \( h = 0,1 \)para obtener  la solución  en  \( x  =   1   \) radianes:
\(  \displaystyle y' = sec^2 x ,  \ y \ (0)=0  \)
       
b)  Hallar el  error  relativo de  la aproximación,  con  respecto  a la  solución  exacta  de  la ED.

(c)  Usar  el  método  mejorado  de  Euler  (método  de  Heun)  con  \( h=   0,1   \) para  obtener  la  solución  en \( x = 1  \) radianes.

[esmeraldabrown]

Necesito ayuda para desarrollar el ejercicio, no entiendo cómo plantearlo, además lo que me pide calcular en radianes no lo entiendo. No he encontrado un ejercicio parecido para guiarme chicos. Espero me entiendan. :'(

[martiniano]

Hola.

El método de Euler es un método para hallar una aproximación a una función que satisface una cierta EDO de la forma \[ y'=f(x,y) \]. Básicamente lo que hace es calcular \( y' \) en el punto definido por las condiciones iniciales y substituye la función por su recta tangente a lo largo de un intervalo de longitud \( h \). Calcula la aproximación en el nuevo extremo del intervalo y vuelve a iterar.

Aquí por ejemplo tendrías:

La pendiente de la recta tangente en (0,0): \[ y_1'(0)=\sec^2(0)=1 \]
Su ecuación: \[ y_1(x)=x \]
El siguiente punto: \[ (0.1,y_1(0.1))=(0.1,0.1) \]

La pendiente de la recta tangente en (0.1,0.1): \[ y_2'(0)=\sec^2(0.1)\approx{}1.0101 \]
Su ecuación: \[ y_2(x)=1.0101\cdot{}(x-0.1)+0.1 \]
El siguiente punto: \[ (0.2,y_2(0.2))\approx{}... \]

Y así sucesivamente hasta llegar al punto en cuestión.

Un saludo.

[esmeraldabrown]

Hola, no entiendo cómo están haciendo las operaciones, cómo puedo saber qué valores tiene \( x \)?¿ Puedes detallar este proceso por favor?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, no entiendo cómo están haciendo las operaciones, cómo puedo saber qué valores tiene \( x \)?¿ Puedes detallar este proceso por favor?

Pero no se cuál es la duda; martiniano lo ha detallado mucho.

Empiezas en el punto \( x_0=0 \) porque es donde te dan la condición inicial \( y(\color{blue}0\color{black})=0 \).

El siguiente puntos sería \( x_1=x_0+h=0+0.1=0.1 \) y el valor de la función \( y_1(0.1)=y(0)+y'(0)\cdot h=0.1 \).

Después:\( x_2=x_1+h=0.1+0.1=0.2 \) y el valor de la función \( y_2(0.2)=y_1(0.1)+y'(0.1)\cdot h\approx 0.20101 \)

Y así sucesivamente. Es decir en cada paso:

\( x_{i+1}=x_i+h \)
\( y_{i+1}(x_{i+1})=y_i(x_i)+y'(x_i)\cdot h \)

hasta llegar a \( x_n=1 \).

Saludos.

[esmeraldabrown]

Perdona tanta ignorancia Luis, gracias por responder, no acabo de entender como calculas el valor de la función : \( y_2(0.2)=y_1(0.1)+y'(0.1)\cdot h\approx 0.20101 \)
Yo lo estoy haciendo y los cálculos no me dan.
[/tex]? Cómo hiciste ese cálculo?
Estoy confundida porque en el ejercicio \( y'= sec^2x \)
¿Cuál es el valor de \( y'(0.1) \)
?

[Luis Fuentes]

Hola

Perdona tanta ignorancia Luis, gracias por responder, no acabo de entender como calculas el valor de la función : \( y_2(0.2)=y_1(0.1)+y'(0.1)\cdot h\approx 0.20101 \)
Yo lo estoy haciendo y los cálculos no me dan.
¿Cuál es el valor de \( y'(0.1) \)? Cómo hiciste ese cálculo?

\( y'(x)=sec^2(x) \)

Por tanto:

\( y'(0.1)=sec^2(0.1)=1.0100670464224946\ldots \approx 1.0101 \) (aquí uso el ordenador para calcular la secante de \( 0.1 \), claro)

Saludos.

[esmeraldabrown]

Luis no sé porqué los cálculos me dan diferente, no entiendo dónde está mi error. Te anexo lo que he hecho:   
\( x_3=x_2+h=0.2+0.1=0.3 \) y el valor de la función \( y_2(0.3)=y_1(0.2)+sec^2(0.2)\cdot h\approx 0,3000012185 \)

\( x_4=x_3+h=0.3+0.1=0.4 \) y el valor de la función \( y_4(0.3)=y_1(0.3)+sec^2(0.3)\cdot h\approx 0,4000027416 \)

\( x_5=x_4+h=0.4+0.1=0.5 \) y el valor de la función \( y_5(0.5)=y_1(0.5)+sec^2(0.5)\cdot h\approx 0,500002437 \)

\( x_6=x_5+h=0.5+0.1=0.6 \) y el valor de la función \( y_6(0.5)=y_1(0.5)+sec^2(0.5)\cdot h\approx 0,6000076158 \)


\( x_7=x_6+h=0.6+0.1=0.7 \) y el valor de la función \( y_2(0.7)=y_1(0.7)+sec^2(0.7)\cdot h\approx 0,7000010967 \)

\( x_8=x_7+h=0.7+0.1=0.8 \) y el valor de la función \( y_2(0.8)=y_1(0.7)+sec^2(0.7)\cdot h\approx 0,80000149277 \)

\( x_9=x_8+h=0.8+0.1=0.9 \) y el valor de la función \( y_2(0.9)=y_1(0.3)+sec^2(0.3)\cdot h\approx 0,9000019498 \)

\( x_1=x_9+h=0.9+0.1=1 \) y el valor de la función \( y_2(1)=y_1(0.9)+sec^2(0.9)\cdot h\approx 0,1000024608 \)

Respecto a los otros puntos del ejercicio, qué debo hacer?
Pueden ayudarme con estos puntos?

[Luis Fuentes]

Hola

Luis no sé porqué los cálculos me dan diferente, no entiendo dónde está mi error. Te anexo lo que he hecho:   
\( x_3=x_2+h=0.2+0.1=0.3 \) y el valor de la función \( y_2(0.3)=y_1(0.2)+sec^2(0.2)\cdot h\approx 0,3000012185 \)

 Sospecho que estás usando la secante en grados, en lugar de en radianes. Revisa ese detalle.

 En el segundo apartado tienes que calcular la solución exacta de la ecuación. Es fácil:

\( y(x)=y(0)+\displaystyle\int_{0}^{x}sec^2(t)dt \)

 y comparar el valor que te sale de \( y(1) \) con el que obtuviste por Euler.

Saludos.

[esmeraldabrown]

Cómo hago para calcular la secante en radianes?

\( y(x)=y(0)+\displaystyle\int_{0}^{x}sec^2(t)dt \)
\( \displaystyle\int_{0}^{x}sec^2 (t) dt = tan (t)_{0}^{x} \)
 Luego se calculan los límites
\(
\displaystyle\int_{a}^{b} f (x) dx = F (b)-F (a) = lim_  {x\rightarrow{}b}- (F(x))- lim_{x \rightarrow{}a}+ (F(x)) \)

\( \displaystyle lim_ {t \rightarrow{}0+} tan (t) = 0 \)

\( \displaystyle lim_ {t \rightarrow{}x-} tan (t) = tan (x)= tan(x) - 0 = tan(x) \)
Sospecho que lo que he hecho es un desastre Luis, puedes ayudarme con los demás apartados? Por favor, estoy intentandolo pero lo hago mal.