Hola
Hola; escribo para preguntar sobre algo que ya he preguntado y también me han respondido; es sobre la especificación (?) de las transformaciones proyectivas; a nivel de la "enunciación", la proposición parece simple, no obstante en mi caso, no me resulta tan así (más alla de su enunciación); en todo caso, la pregunta es:
¿para la definición de una transformación (homografía, digamos) de un espacio proyectivo de dimensión \( dim=n \) son necesarios \( n+2 \) transformados, siendo uno de estos transformados el transformado del (llamado) "punto unidad"?
Una transformación proyectiva en \( P^n \) queda inequívocamente determinada si conocemos la imagen de \( n+2 \) puntos en posición general, es decir, de manera que ningún grupo de \( n+1 \) esté contenido en un hiperplano (subvariedad de dimensión \( n-1 \)).
Y para esto no hay que hablar de punto unido; no hay ningún punto que juegue ningún papel especial.
El punto unido juega su papel, cuando queremos dotar de coordenadas al asunto y trabajar con una matriz que represente la transformación. Por ejemplo, supongamos la recta proyectiva \( \Bbb P^1=\Bbb P(\Bbb R^2). \)
En coordenadas homogéneas un punto se expresa como \( (x:y) \) de manera que coordenadas proporcionales definen el mismo punto, es decir, \( (x:y)\approx (kx:ky) \).
Supongamos que queremos trabajar con una transformación proyectiva que lleve los puntos \( (2:0),(0:3),(1:2) \) respectivamente en \( (1:1),(1:2):(1,0) \).
Estará representada por una matriz \( A \) que cumpla:
\( A\begin{pmatrix}2\\0\\\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix},\quad
A\begin{pmatrix}0\\3\\\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}1\\2\\\end{pmatrix},\quad
A\begin{pmatrix}1\\2\\\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix} \)
Que en realidad y debido a que coordenadas proporcionales definen el mismo punto corresponde a las igualdades:
\( A\begin{pmatrix}2\\0\\\end{pmatrix}=k_1 \begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix},\quad
A\begin{pmatrix}0\\3\\\end{pmatrix}=k_2 \begin{pmatrix}1\\2\\\end{pmatrix},\quad
A\begin{pmatrix}1\\2\\\end{pmatrix}=k_3 \begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix} \) (*)
Para poder gestionar esto de manera cómoda, ahora si, elegimos el punto unido entre los tres primeros. El que queramos; por ejemplo el segundo \( (0,3) \). Ahora se trata de ajustar los otros dos de manera que sumen el unido, es decir:
\( a(2,0)+b(1,2)=c(0,3) \)
Por ejemplo (lo hago a ojo, pero puede hacer sistemáticamente resolviendo el sistema o con las fórmulas de cambio de base):
\( (-1/2)(2,0)+1(1,2)=(2/3)(0,3) \)
De manera que los tres puntos quedan: \( (-1,0),(1,2);(0,2) \).
Ahora hacemos lo mismo con las tres imágenes (la segunda como suma de las otras dos).
\( a(1,1)+b(1,0)=c(1,2) \)
Por ejemplo:
\( 2(1,1)+(-1)(1,0)=1(1,2) \)
De forma que los tres puntos quedan: \( (2,2),(-1,0);(1,2) \)
Ahora basta encontrar \( A \) que lleve los dos primeros en sus imágenes; el punto unido por ser suma de ellos automáticamente también irá al otro punto unido:
\( A\begin{pmatrix}-1\\0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\\end{pmatrix},\quad A\begin{pmatrix}1\\2\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\\end{pmatrix} \)
Resulta:
\( A=\begin{pmatrix}-2&1/2\\-2&1\\\end{pmatrix} \)
Puedes ver que cumple (*). La matriz es única, salvo producto por escalar.
Saludos.
