Hola
Gracias; he releido con mas detenimiento la primer respuesta y me surgen algunas preguntas.
1-Los primeros tres puntos estan en posicion general: esto significa que antes de elegir alguno de los tres como punto unido, no hay ninguno que este "fijado" dentro de su clase de equivalencia correspondiente (usando la terminologia del libro)?
En general que \( n+2 \) puntos estén en posición general en \( \Bbb P^n \) significa que cualquier grupo de \( n+1 \) de ellos NO está contenido en un hiperplano (dim \( n-1 \)).
Por ejemplo \( 4 \) puntos en el plano proyectivo \( \Bbb P^2 \) están en posición general si cualesquiera \( 3 \) de ellos no están en una recta.
\( 3 \) puntos de la recta proyectiva \( \Bbb P^1 \) están en posición general si cualesquiera \( 2 \) de ellos no están en un punto... es decir en este caso, si cualesquiera dos de ellos NO son el mismo punto; es decir simplemente si son tres puntos distintos. Eso supone por supuesto que sus coordenadas homogéneas no son proporcionales; no definen la misma clase (el mismo punto).
1-2-la fijacion en cuestion, por la via de elegir uno de los tres como punto unido corresponde a dar coordenadas (por la via de las llamadas funciones coordenadas para variedades(?))?
No necesariamente. Revisa el ejemplo que te di en el primer caso. Si has construido la recta proyectiva como el cociente de \( \Bbb R^2-\{(0,0)\} \) por la relación de equivalencia que identifica vectores proporcionales, cualquier punto viene dado de manera natural por un representante de su clase de equivalencia que no es otra cosa que un vector no nulo de \( \Bbb R^2 \), y es lo que se conoce como coordenadas homogéneas \( (x:y) \). No necesitamos para esto hablar de punto unido.
Ahora para definir una transformación proyectiva a nivel de esas coordenadas nos bastaría con hallar su matriz, que dado un punto de coordenadas homogéneas \( (x:y) \), nos lo transforma en otro de coordenadas el producto de la matriz por \( (x:y) \) (en columna).
Si conocemos la imagen de tres puntos, te he mostrado en el ejemplo como hallar esa matriz:
Supongamos que queremos trabajar con una transformación proyectiva que lleve los puntos \( (2:0),(0:3),(1:2) \) respectivamente en \( (1:1),(1:2):(1,0) \).
Estará representada por una matriz \( A \) que cumpla:
\( A\begin{pmatrix}2\\0\\\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix},\quad
A\begin{pmatrix}0\\3\\\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}1\\2\\\end{pmatrix},\quad
A\begin{pmatrix}1\\2\\\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix} \)
Que en realidad y debido a que coordenadas proporcionales definen el mismo punto corresponde a las igualdades:
\( A\begin{pmatrix}2\\0\\\end{pmatrix}=k_1 \begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix},\quad
A\begin{pmatrix}0\\3\\\end{pmatrix}=k_2 \begin{pmatrix}1\\2\\\end{pmatrix},\quad
A\begin{pmatrix}1\\2\\\end{pmatrix}=k_3 \begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix} \) (*)
Fíjate que si uno resuelve esas ecuaciones NO necesita hablar de punto unido para hallar la matriz.
Lo que pasa es como digo después, para hacer cómoda esa resolución es útil el punto unido:
Para poder gestionar esto de manera cómoda, ahora si, elegimos el punto unido entre los tres primeros. El que queramos; por ejemplo el segundo \( (0,3) \). Ahora se trata de ajustar los otros dos de manera que sumen el unido, es decir:
\( a(2,0)+b(1,2)=c(0,3) \)
Por ejemplo (lo hago a ojo, pero puede hacer sistemáticamente resolviendo el sistema o con las fórmulas de cambio de base):
\( (-1/2)(2,0)+1(1,2)=(2/3)(0,3) \)
De manera que los tres puntos quedan: \( (-1,0),(1,2);(0,2) \).
Ahora hacemos lo mismo con las tres imágenes (la segunda como suma de las otras dos).
\( a(1,1)+b(1,0)=c(1,2) \)
Por ejemplo:
\( 2(1,1)+(-1)(1,0)=1(1,2) \)
De forma que los tres puntos quedan: \( (2,2),(-1,0);(1,2) \)
Ahora basta encontrar \( A \) que lleve los dos primeros en sus imágenes; el punto unido por ser suma de ellos automáticamente también irá al otro punto unido:
\( A\begin{pmatrix}-1\\0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\\end{pmatrix},\quad A\begin{pmatrix}1\\2\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\\end{pmatrix} \)
Resulta:
\( A=\begin{pmatrix}-2&1/2\\-2&1\\\end{pmatrix} \)
Puedes ver que cumple (*). La matriz es única, salvo producto por escalar.
2-para cada una de las elecciones posibles de punto unido de entre los 3 puntos inciales, se llega a una matriz (representante de la transformacion de la recta) diferente?
¡No! La matriz es única salvo producto por un escalar, y eso no depende de la elección del punto unido. Puedes probar en el ejemplo que te puse antes a cambiar de punto unido y ver que la matrices que obtienes son siempre una múltiplo de la otra.
3-solo recien despues de conectar los coeficientes de los 3 puntos en la forma anterior (por la via de un punto unido, etc.) los puntos de la recta tienen coordenadas? en particular, coordenadas homogeneas?
No. Esto ya lo he explicado antes.
Como añadido, hay otro punto de vista donde las coordenadas si dependen del punto unido, o más bien, de la referencia proyectiva elegida. Es decir hablaríamos en ese caso de coordenadas respecto a una referencia proyectiva. Una referencia proyectiva en \( \Bbb P^{n} \) viene dada por \( n+2 \) puntos ordenados, uno de los cuales (el último por convenio) ha de elegirse como punto unido: \( R=\{P_0,P_1,\ldots,P_n; P_{n+1}\} \).
A la hora de manipular esa referencia uno ha de elegir vectores de \( \Bbb R^{n+1} \) que representen cada punto \( P_i=[v_i] \) de manera que:
\( v_0+v_1+\ldots+v_n=v_{n+1} \)
IUna vez hecho eso, cualquier punto \( P \) del espacio proyectivo puede representarse por un vector \( v \) cuyas coordenadas pueden expresarse en la base \( v_0,v_1,\ldots,v_n \). Esas coordenadas son las que se llaman coordenadas homogéneas de \( P \) respecto a la referencia \( R \) y son únicas salvo producto por escalar.
Si cambiar de referencia, cambian las coordenadas de un mismo punto.
Saludos.
