[javim_]

Buenos días tengo los siguientes ejercicios y no se como demostrar por inducción.

Demostrar por inducción que se verifica:

1) \( 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2},\qquad\qquad \forall n\in \Bbb N^* \)

2) \( n<2^n,\qquad\qquad \forall n\in \Bbb N^* \)

3) \( n^3-n\textsf{ es divisible entre }3,\qquad\qquad \forall n\in \Bbb N^* \)

4) \( 2^n<n!,\qquad\qquad \forall n\geq 4 \)

¿Me podéis ayudar?
Gracias.

[delmar]

Hola

La ayuda es más eficaz, cuando se ha intentado algo por resolver el problema

Te ayudo con la 1) mostrando el método

A) Se demuestra que el teorema es verdadero para su valor inicial, en este caso n=1

La parte de la izquierda de la igualdad :

Cuando n=1 se tiene \( 1+2+...+n=1 \)

La parte de la derecha :

Cuando n=1 se tiene \( \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}=\displaystyle\frac{1(1+1)}{2}=1 \)

En consecuencia cuando n=1 se tiene \( 1+2+...+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \)


B) Se demuestra que el teorema es válido para n+1 suponiendo que es verdadero para n, lo que se quiere demostrar en consecuencia es \( 1+2+...+n+(n+1)=\displaystyle\frac{(n+1) \ ((n+1)+1)}{2} \)

Demostrando :

\( 1+2+...+n+(n+1)=(1+2...+n)+(n+1) \) suponiendo válido teorema para n se tiene :

\( 1+2+...+n+(n+1)=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\displaystyle\frac{(n+1) (n+2)}{2}=\displaystyle\frac{(n+1) \ ((n+1)+1)}{2} \) Y esto es lo que se quiere demostrar

A ver si intentas el 2, en orden para que el hilo no sea confuso

Saludos

[javim_]

A) Probamos que el teorema es verdadero para su valor inicial, en este caso n=1

La parte de la izquierda del menor que :

\( n=1 \) -> \( 1<n^2 \)

La parte de la derecha :

Cuando \( n=1 \) -> \( 1<1 \)

No es verdadero en este caso osea que no seguiría



\( n^3-3 \) = divisible entre \( 3 \)

A) Probamos que el teorema es verdadero para su valor inicial, en este caso \( n=1 \)

La parte de la izquierda del igual :

\( n=1 \) -> 1\( 1^3-3 \)

La parte de la derecha :

Cuando \( n=1 \) -> \( 1-3 \) no es divisible entre \( 3 \).
No continuaría

Vale creo que lo he entendido. Se trata de tomar el valor inicial (n) y el valor n+1 y comprobar el teorema en ambos casos. Era así como lo hacía pero no estaba seguro.
Gracias.
Mensaje corregido desde la administración.

[robinlambada]

A) Probamos que el teorema es verdadero para su valor inicial, en este caso n=1

La parte de la izquierda del menor que :

n=1 -> 1<n^2

La parte de la derecha :

Cuando n=1 -> 1<1

No es verdadero en este caso osea que no seguiría



n^3-3 = divisible entre 3

A) Probamos que el teorema es verdadero para su valor inicial, en este caso n=1

La parte de la izquierda del igual :

n=1 -> 1^3-3

La parte de la derecha :

Cuando n=1 -> 1-3 no es divisible entre 3.
No continuaría


Vale creo que lo he entendido. Se trata de tomar el valor inicial (n) y el valor n+1 y comprobar el teorema en ambos casos. Era así como lo hacía pero no estaba seguro.
Gracias.

Has copiado mal los apartados, todos son ciertos.

2) Es \( n<2^n \) , \( 1<2^1 \)

3) \( n^3-n \) es divisible entre 3.

\( 1^3-1=0 \) , el cero es múltiplo de cualquier número.

Fíjate que \( n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1) \) y el producto de tres números consecutivos siempre es divisible entre \( 3 \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

A) Probamos que el teorema es verdadero para su valor inicial, en este caso n=1

La parte de la izquierda del menor que :

\( n=1 \) -> \( 1<n^2 \)

\( n^3-3 \) = divisible entre \( 3 \)

A) Probamos que el teorema es verdadero para su valor inicial, en este caso \( n=1 \)

Es cierto que esos dos no se cumplen, pero no corresponden a ninguno de los CUATRO ejercicios que planteaste al principio. ¿Eres consciente de eso?.

Saludos.

[javim_]

Joer.. pues bien.
Los vuelvo a realizar bien.
Gracias.

[javim_]

1) \( 1+2+…+n=n(n+1)/2 \), \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

 - comprobamos con \( n = 1 \)  \( 1=(1(1+1))/2 \) -> \( 1=1 \)
 - comprobamos con \( n = k+1 \)   \( 1+1=(1+1(1+1+2))/2 \)  ->  \( 2=2 \)
Se comprueba por inducción
   

2) \( n<2^n \),  \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

 - comprobamos con \( n=1 \) \( 1<2^1 \)  ->\( 1<2 \)
 - comprobamos con \( n=k+1 \)    \( 1+1<2^1+1 \)   -> \( 2<4 \)
Se comprueba por inducción


3) \( n^3−n  \)es divisible entre \( 3 \),  \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

 - comprobamos con \( n=1 \)  \( 1^3-1 =0 \) que es divisible entre \(  3 \).
 - comprobamos con \( n=k+1  \)  \( 2^3-2 = 6 \) también divisible

4) \( 2^n<n! \),  \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

  - comprobamos con \( n=1 \)    \( 2^4<4*3*2*1 = 16<24 \) se cumple
  - comprobamos con \( n=k+4 \)  \( 2^5<5*4*3*2*1 = 32<120 \) se cumple

¿Así sería correcto?
Mensaje corregido desde la administración.

[robinlambada]

1) \( 1+2+…+n=n(n+1)/2 \), \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

 - comprobamos con \( n = 1 \)  \( 1=(1(1+1))/2 \) -> \( 1=1 \)
 - comprobamos con \( n = k+1 \)   \( 1+1=(1+1(1+1+2))/2 \)  ->  \( 2=2 \)
Se comprueba por inducción
   

2) \( n<2^n \),  \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

 - comprobamos con \( n=1 \) \( 1<2^1 \)  ->\( 1<2 \)
 - comprobamos con \( n=k+1 \)    \( 1+1<2^1+1 \)   -> \( 2<4 \)
Se comprueba por inducción


3) \( n^3−n  \)es divisible entre \( 3 \),  \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

 - comprobamos con \( n=1 \)  \( 1^3-1 =0 \) que es divisible entre \(  3 \).
 - comprobamos con \( n=k+1  \)  \( 2^3-2 = 6 \) también divisible

4) \( 2^n<n! \),  \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

  - comprobamos con \( n=1 \)    \( 2^4<4*3*2*1 = 16<24 \) se cumple
  - comprobamos con \( n=k+4 \)  \( 2^5<5*4*3*2*1 = 32<120 \) se cumple

¿Así sería correcto?

No, no es correcto. Tu solo has comprobado 2 casos \(  n=1 \) y \( n=1+1=2 \)

Fíjate en el ejemplo que te ha puesto Delmar que te ha resuelto el primer apartado.

Te resumo:
1º Se comprueba para n=1 (eso ya lo has hecho)
2º Se supone que la expresión es cierta para un valor n=k genérico.
3º Utilizando la suposición que es cierto para n=k, se demuestra que es cierto para n=k+1.

Pero ¡ojo!, en el paso 3º No se puede sustituir la n por ningún valor concreto.
 Puedes ver este ejemplo del enlace:

[Luis Fuentes]

Hola

 Te estoy corrigiendo los mensajes.

 Por favor intenta usar LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

2) \( n<2^n \),  \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

 - comprobamos con \( n=1 \) \( 1<2^1 \)  ->\( 1<2 \)
 - comprobamos con \( n=k+1 \)    \( 1+1<2^1+1 \)   -> \( 2<4 \)
Se comprueba por inducción

 Te ayudo con este. El caso \( n=1 \) ya lo has comprobado.

 Ahora tienes que suponer el resultado cierto para el caso \( n=k \), es decir, que \( k<2^k \).

 Y a partir de ahí tratar de demostrar el caso \( n=k+1 \), es decir, tratar de demostrar que \( k+1<2^{k+1} \).

 Entonces partiendo de \( k+1 \), aplicamos la hipótesis de inducción, es decir, que  \( k<2^k \):

\(  k+1<2^k+1<2^k+2^k=2\cdot 2^k=2^{k+1} \)
 
 ¡Listo!.

Saludos.

[javim_]

Vale ahora sí lo he pillado.
Gracias y disculpa por no usar Latex.
A partir de ahora lo usaré
Gracias de nuevo