[feriva]

4) \( 2^n<n! \),  \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

  - comprobamos con \( n=1 \)    \( 2^4<4*3*2*1 = 16<24 \) se cumple
  - comprobamos con \( n=k+4 \)  \( 2^5<5*4*3*2*1 = 32<120 \) se cumple

¿Así sería correcto?

\( 2^{n}<n!
  \)

\( 2^{1}<1!
  \) falso; \( 2^{2}<2!
  \) falso; \( 2^{3}<3!
  \) falso; \( 2^{4}<4!
  \) verdadero.

Te dan esa condición porque es verdad, o parece serlo, a partir de n=4 en adelante. La cuestión es si sigue así para todo \( n>4 \).

Si pruebas con la calculadora algunos casos más, verás que se cumple para n=5, n=6... pero tienes que probarlo para cualquiera, por grande o pequeño que sea, para todos los naturales.

Hemos visto que se cumple \( 2^{3+k}<(3+k)!
  \) con k=1.

Con esto, aunque no lo hubieras comprobado para 3+2, 3+3... se cumple al menos para uno. Bien, pero ahora puede cumplirse para todos o dejar de cumplirse para algún “n” de por ahí.

La cuestión es que si se cumple para todos, entonces ha de cumplir necesariamente para cualquiera y su siguiente (y recíprocamente, si se cumple para cualquiera y su siguiente, se cumple para todos).

Así, ahora suponemos que k es cualquier natural para el que se cumple (sabemos seguro que alguno hay, porque lo hemos probado) y miramos a ver si se cumple para el siguiente.

O sea, esto \( {\color{blue}2^{3+k}<(3+k)!}
  \) se cumple para algún k; seguidamente hacemos la hipótesis de que se cumple para todos; con lo que, si resultara cierto, se cumpliría para el siguiente, si no, no.

Ahora, hacemos la comprobación para el siguiente

\( 2^{3+k+1}<(3+k+1)!
  \)

operando un poco

\( 2\cdot2^{3+k}<(3+k+1)!\Rightarrow
  \)

\( 2\cdot2^{3+k}<(3+k+1)\cdot(3+k+1-1)!\Rightarrow
  \)

\( 2\cdot{\color{blue}2^{3+k}}<(3+k+1){\color{blue}(3+k)!}
  \)

La desigualdad es cierta para lo azul, pues es la hipótesis de inducción, sabemos que alguno o algunos cumplen eso. Si lo cumplen todos, se ha de cumplir para la expresión entera (que es la expresión de k+1 según las transformaciones que se han hecho).

Y efectivamente la desigualdad se cumple, porque también \( 2<3
  \); y con mayor razón \( 2<(3+k+1)
  \), pues “k” pertenece a los naturales, nunca es negativo.

Luego es cierta siempre, para todo “n” mayor o igual a 4.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

También  se podría hacer:
Para \( n=4 \) es cierto \( 2^4= 16 < 4! = 24 \) , suponemos cierto para \( n\geq 4 \) entonces \( 2^n < n! \) multiplicamos por 2:
\( 2^{n+1} < 2 \cdot n! < 4 \cdot n! \leq n \cdot n! < (n+1) \cdot n! \)

[javim_]

Hola

 Te estoy corrigiendo los mensajes.

 Por favor intenta usar LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

2) \( n<2^n \),  \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

 - comprobamos con \( n=1 \) \( 1<2^1 \)  ->\( 1<2 \)
 - comprobamos con \( n=k+1 \)    \( 1+1<2^1+1 \)   -> \( 2<4 \)
Se comprueba por inducción

 Te ayudo con este. El caso \( n=1 \) ya lo has comprobado.

 Ahora tienes que suponer el resultado cierto para el caso \( n=k \), es decir, que \( k<2^k \).

 Y a partir de ahí tratar de demostrar el caso \( n=k+1 \), es decir, tratar de demostrar que \( k+1<2^{k+1} \).

 Entonces partiendo de \( k+1 \), aplicamos la hipótesis de inducción, es decir, que  \( k<2^k \):

\(  k+1<2^k+1<2^k+2^k=2\cdot 2^k=2^{k+1} \)
 
 ¡Listo!.

Saludos.

Pues creía que sí pero sigo sin entenderlo. Me esta costando bastante.

Recopilando tengo
 - comprobamos con \( n=1 \) \( 1<2^1 \)  ->\( 1<2 \)  OK
 - comprobamos con \( n=k \) para hallar la hipotesis de inducción siendo \( k<2^k \)
 - comprobamos con \( n=k+1 \)    \( k+1<2^{k+1} \)  para hallar la tesis de inducción

En la hipotesis de inducción añadimos el valor \( n=k+1 \) de la tesis de inducción y resolviendo tenemos que llegar a la tesis...
Intento realizarlo pero:

\(  k+1<2^{k+1} \) y aquí me quedo...

[javim_]

Estoy realizando otro y a ver si veís mi error...
\( 6(1+7+...+7^n )+1=7^{n+1} \)

Al final de realizar todo tengo:
1. Hipotesis de inducción \( 6(1+7+...+7^n )+1=7^{n+1}  \)

2. Tesis de inducción \( 6(1+7+...+7^n +7^{n+1})+1=7^{n+2} \)
 Siendo el término k-ésimo \( 7^{n+1}  \)

3. Reescribir y ver que la hipotesis más el termino \( k \)-esimo es igual a la tesis

 \( 6(1+7+...+7^n+7^{n+1} )+1=7^{n+1} +7^{n+1} \)

 \( 6(1+7+...+7^n+7^{n+1} )+1=7^n*7+7^n*7) \)

\( 6(1+7+...+7^n+7^{n+1} )+1=2*7^n*7^2) \)

Gracias de antemano.
Mensaje corregido desde la administración.

[tex]7^{n+1}[/tex] para obener \( 7^{n+1} \)

[Luis Fuentes]

Estoy realizando otro y a ver si veís mi error...
\( 6(1+7+...+7^n )+1=7^{n+1} \)

Al final de realizar todo tengo:
1. Hipotesis de inducción \( 6(1+7+...+7^n )+1=7^{n+1}  \)

2. Tesis de inducción \( 6(1+7+...+7^n +7^{n+1})+1=7^{n+2} \)
 Siendo el término k-ésimo \( 7^{n+1}  \)

3. Reescribir y ver que la hipótesis más el termino \( k \)-esimo es igual a la tesis

\( 6(1+7+...+7^n+7^{n+1} )+1=7^{n+1} +7^{n+1} \)

Ahí en realidad sería:

\( 6(1+7+...+7^n+7^{n+1} )+1=6(1+7+...+7^n)+1+6\cdot 7^{n+1}=7^{n+1}+6\cdot 7^{n+1}=(1+6)7^{n+1}=7\cdot 7^{n+1}=7^{n+2} \)

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Pues creía que sí pero sigo sin entenderlo. Me esta costando bastante.

Recopilando tengo
 - comprobamos con \( n=1 \) \( 1<2^1 \)  ->\( 1<2 \)  OK
 - comprobamos con \( n=k \) para hallar la hipotesis de inducción siendo \( k<2^k \)
 - comprobamos con \( n=k+1 \)    \( k+1<2^{k+1} \)  para hallar la tesis de inducción

En la hipotesis de inducción añadimos el valor \( n=k+1 \) de la tesis de inducción y resolviendo tenemos que llegar a la tesis...
Intento realizarlo pero:

\(  k+1<2^{k+1} \) y aquí me quedo...

Pero si te quedas ahí, lo tienes es justo donde tienes que llegar.

Usa lo que te puso Luis, como \( n < 2^n  \) y por el caso base \( 1<2 \leq 2^n  \) tenemos:
\( n+1 < 2^n +1<  2^n +2^n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}  \)

[feriva]

Hola

 Te estoy corrigiendo los mensajes.

 Por favor intenta usar LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

2) \( n<2^n \),  \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

 - comprobamos con \( n=1 \) \( 1<2^1 \)  ->\( 1<2 \)
 - comprobamos con \( n=k+1 \)    \( 1+1<2^1+1 \)   -> \( 2<4 \)
Se comprueba por inducción

 Te ayudo con este. El caso \( n=1 \) ya lo has comprobado.

 Ahora tienes que suponer el resultado cierto para el caso \( n=k \), es decir, que \( k<2^k \).

 Y a partir de ahí tratar de demostrar el caso \( n=k+1 \), es decir, tratar de demostrar que \( k+1<2^{k+1} \).

 Entonces partiendo de \( k+1 \), aplicamos la hipótesis de inducción, es decir, que  \( k<2^k \):

\(  k+1<2^k+1<2^k+2^k=2\cdot 2^k=2^{k+1} \)
 
 ¡Listo!.

Saludos.

Pues creía que sí pero sigo sin entenderlo. Me esta costando bastante.

Es que pasa esto.

Si tú tienes de hipótesis

\( k<2^{k}
  \)

y en el lado izquierdo de la desigualdad sumas 1, ya tienes k+1, que es el siguiente a “k”, sin hacer más, de forma directa. Entonces también puedes sumar un 1 al otro lado de la inecuación, como en una igualdad, se mantiene la desigualdad. Ahora bien, mientras en el lado izquierdo k+1 es lo que es, pertenece al conjunto de los “k”, en el lado derecho \( 2^{k}+1
  \) no es un \( 2^{k}
  \), está "entre medias", no pertenece, con lo que en principio (sólo en principio) la operación parece que no va a servir.

Sin embargo, Luis lo usa para compararlo con \(  2^{k}+2^{k}
  \), que es mayor que \( 2^{k}+1
  \). Entonces tienes

\( k+1<2^{k}+1<2^{k}+2^{k}
  \)

que por transitividad implica

\( k+1<2^{k}+2^{k}
  \)

donde el segundo miembro se puede expresar según esta transformación \( 2^{k}+2^{k}=2\cdot2^{k}=2^{k+1}
  \) y, por tanto

\( k+1<2^{k+1}
  \)

con lo que se ha demostrado que se cumple, porque se ha deducido correctamente.

La hipótesis de inducción te puede aparecer de distintas formas o incluso puedes “añadirla” tú mismo de alguna manera, siempre que sea correcto; porque la matemática también es cuestión de creatividad, puedes "inventar", usar tus recursos.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Pues creía que sí pero sigo sin entenderlo. Me esta costando bastante.

Recopilando tengo
 - comprobamos con \( n=1 \) \( 1<2^1 \)  ->\( 1<2 \)  OK

Si.

- comprobamos con \( n=k \) para hallar la hipotesis de inducción siendo \( k<2^k \)

No. Comprobamos no. Suponemos que el resultado es cierto para \( n=k \).

- comprobamos con \( n=k+1 \)    \( k+1<2^{k+1} \)  para hallar la tesis de inducción

Queremos probar la tesis a usando la hipótesis de inducción. Es decir sabiendo que \( k<2^k \) tenemos que intentar demostrar que \( k+1<2^{k+1} \).

Es decir queremos acotar \( k+1<\ldots<\ldots \) y en una cadena de desigualdades llegar al final \( 2^{k+1} \); y en algún momento tenemos que usar nuestra hipótesis \( k<2^k \). Pues lo más lógico es usarla nada más empezar:

\( k+1<2^k+1 \)

Ahora vuelve a leer la demostración.

Saludos.

[javim_]

Estoy realizando otro y a ver si veís mi error...
\( 6(1+7+...+7^n )+1=7^{n+1} \)

Al final de realizar todo tengo:
1. Hipotesis de inducción \( 6(1+7+...+7^n )+1=7^{n+1}  \)

2. Tesis de inducción \( 6(1+7+...+7^n +7^{n+1})+1=7^{n+2} \)
 Siendo el término k-ésimo \( 7^{n+1}  \)

3. Reescribir y ver que la hipótesis más el termino \( k \)-esimo es igual a la tesis

\( 6(1+7+...+7^n+7^{n+1} )+1=7^{n+1} +7^{n+1} \)

Ahí en realidad sería:

\( 6(1+7+...+7^n+7^{n+1} )+1=6(1+7+...+7^n)+1+6\cdot 7^{n+1}=7^{n+1}+6\cdot 7^{n+1}=(1+6)7^{n+1}=7\cdot 7^{n+1}=7^{n+2} \)

Saludos.

Entiendo, fallo mío al no contar el 6 multiplicando al término k-esimo. Gracias Luís.

Hola

Pues creía que sí pero sigo sin entenderlo. Me esta costando bastante.

Recopilando tengo
 - comprobamos con \( n=1 \) \( 1<2^1 \)  ->\( 1<2 \)  OK

Si.

- comprobamos con \( n=k \) para hallar la hipotesis de inducción siendo \( k<2^k \)

No. Comprobamos no. Suponemos que el resultado es cierto para \( n=k \).

- comprobamos con \( n=k+1 \)    \( k+1<2^{k+1} \)  para hallar la tesis de inducción

Queremos probar la tesis a usando la hipótesis de inducción. Es decir sabiendo que \( k<2^k \) tenemos que intentar demostrar que \( k+1<2^{k+1} \).

Es decir queremos acotar \( k+1<\ldots<\ldots \) y en una cadena de desigualdades llegar al final \( 2^{k+1} \); y en algún momento tenemos que usar nuestra hipótesis \( k<2^k \). Pues lo más lógico es usarla nada más empezar:

\( k+1<2^k+1 \)

Ahora vuelve a leer la demostración.

Saludos.

Y esto gracias a la aclaración de feriva y tuya creo que tambien. Sigo con los ejercicios.
Gracias.