[Nub]

Ejercicio: Sea f : A → B una función. Y \( Ṛ_{f} ⊂ A×A / xR_{f}y\Longleftrightarrow{f(x)=f(y)} \)

2) Demostrar que para toda relación de equivalencia S existe una función f tal que \( R_{f}=S \)

PD: Sin querer modifique el mensaje y se me borro la parte 1), pero esa no era el problema

[delmar]

Hola

1) Veo bien la demostración


2) Analiza de esta manera : si S esta formado por pares de la forma (x,x) es también de equivalencia, una función que relacione elementos diferentes de A con elementos distintos de B, cumple \( R_f=S \), existen otras formas de S analiza las diversas formas, una de ellas es cuando \( S=A\times \ A \) es también de equivalencia, una función f constante cumple



Saludos

[Nub]

Hola

1) Veo bien la demostración


2) Analiza de esta manera : si S esta formado por pares de la forma (x,x) es también de equivalencia, una función que relacione elementos diferentes de A con elementos distintos de B, cumple \( R_f \), existen otras formas de S analiza las diversas formas, una de ellas es cuando \( S=A \ x \ A \) es también de equivalencia, una función f constante cumple



Saludos

No se me ocurre nada todavía, pero se me unas dudas \( R_f=S \) no es la relación de la funcion como tal no? porque si lo fuera nunca podria ser simetrica y reflexiva a la vez, sino no seria funcion porque de un elemento estaría yendo a dos

[manooooh]

Hola

Ejercicio: Sea f : A → B una función. Y \( Ṛ_{f} ⊂ A×A / xR_{f}y\Longleftrightarrow{f(x)=f(y)} \)

2) Demostrar que para toda relación de equivalencia S existe una función f tal que \( R_{f}=S \)

2) Analiza de esta manera : si S esta formado por pares de la forma (x,x) es también de equivalencia, una función que relacione elementos diferentes de A con elementos distintos de B, cumple \( R_f=S \), existen otras formas de S analiza las diversas formas, una de ellas es cuando \( S=A \ x \ A \) es también de equivalencia, una función f constante cumple

Yo quisiera saber si se puede demostrar (2) probando mediante inclusión de conjuntos:

A) \( R_f\subseteq S \)
B) \( S\subseteq R_f \)

Para A):

\( \forall(x,y)\colon(x,y)\in R_f\implies f(x)=f(y)\implies\text{???} \)

Entiendo que no hay que probar que \( S \) es una relación de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva) ya que es dato; sino probar que es igual al conjunto \( R_f \).

Gracias y saludos

[Fernando Revilla]

Ejercicio: Sea f : A → B una función. Y \( Ṛ_{f} ⊂ A×A / xR_{f}y\Longleftrightarrow{f(x)=f(y)} \)
1) Probar que R_{f} es una relación de equivalencia
2) Demostrar que para toda relación de equivalencia S existe una función f tal que \( R_{f}=S \)

2) Si \( S \) es relación de equivalencia en \( A \) y \( A/S \) el correspondiente conjunto cociente definamos \( f:A\to A/S \) tal que \( f(x)=C(x) \) (clase a la que pertenece \( x \) por la relación \( S \)). Entonces,

        \( xR_{f}y\Leftrightarrow f(x)=f(y)\Leftrightarrow C(x)=C(y). \)

Entonces, dos elementos de \( A \) están relacionados según \( R_f \) si y sólo si determinan la misma clase de equivalencia dada por \( S \), es decir \( R_f=S \).

[geómetracat]

Yo quisiera saber si se puede demostrar (2) probando mediante inclusión de conjuntos:

A) \( R_f\subseteq S \)
B) \( S\subseteq R_f \)

Para A):

\( \forall(x,y)\colon(x,y)\in R_f\implies f(x)=f(y)\implies\text{???} \)

Entiendo que no hay que probar que \( S \) es una relación de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva) ya que es dato; sino probar que es igual al conjunto \( R_f \).

Claro que se puede, lo que sucede es que el problema está en dada una \( S \) definir una función \( f \) adecuada tal que \( R_f=S \). La \( f \) va a depender de \( S \), con lo que no puedes demostrarlo usando una función genérica como intentas.
La \( f \) adecuada aquí es la que propone Fernando. Y la demostración que pides entonces es precisamente la que da Fernando (solo que él hace la doble inclusión de una tacada, y he añadido en azul un paso extra para que quede más explícito):

        \( xR_{f}y\Leftrightarrow f(x)=f(y)\Leftrightarrow C(x)=C(y){\color{blue} \Leftrightarrow x S y} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Ejercicio: Sea f : A → B una función. Y \( Ṛ_{f} ⊂ A×A / xR_{f}y\Longleftrightarrow{f(x)=f(y)} \)

2) Demostrar que para toda relación de equivalencia S existe una función f tal que \( R_{f}=S \)

Yo quisiera saber si se puede demostrar (2) probando mediante inclusión de conjuntos:

A) \( R_f\subseteq S \)
B) \( S\subseteq R_f \)

Se puede... pero antes hay que decir que función \( f \) definimos (o en todo caso demostrar su existencia). Eso es lo que hace Fernando en su respuesta.

Saludos.

P.D. Mientras escribía esto geómetracat me adelantó... 

[Nub]

Hola, gracias a todos, entendí bastantemente la demostración de frenando, pero tengo una duda \( Ṛ_{f}\subset A\times A | xR_{f}y\Longleftrightarrow{f(x)=f(y)} \) esto, es por letra o depende de la función (que no conocemos, solo sabemos que va de A en B)? y si dependiera de f, no seria distinto al \( R_{f} \) que uso Fernando en la demostración, capaz lo que estoy confundiendo es que sabemos que una función es una relación y yo pienso que \( R_{f} \) es la relación de la función o la "regla" o la "asociación"

[Fernando Revilla]

Hola, gracias a todos, entendí bastantemente la demostración de frenando, pero tengo una duda \( Ṛ_{f}\subset A\times A | xR_{f}y\Longleftrightarrow{f(x)=f(y)} \) esto, es por letra o depende de la función (que no conocemos, solo sabemos que va de A en B)?

Depende de una función \( f:A\to B \) previamente dada, pero sea cual sea esta, define esa relación de equivalencia en \( A \) a la que llamamos \( R_f.\textrm{} \)

y si dependiera de f, no seria distinto al \( R_{f} \) que uso Fernando en la demostración, capaz lo que estoy confundiendo es que sabemos que una función es una relación y yo pienso que \( R_{f} \) es la relación de la función o la "regla" o la "asociación"

Como comentó Luis, en el apartado 2) no tienes ni \( B \) ni \( f \), hay que construirlos. Así lo hicimos.

[Nub]

Hola, gracias a todos, entendí bastantemente la demostración de frenando, pero tengo una duda \( Ṛ_{f}\subset A\times A | xR_{f}y\Longleftrightarrow{f(x)=f(y)} \) esto, es por letra o depende de la función (que no conocemos, solo sabemos que va de A en B)?

Depende de una función \( f:A\to B \) previamente dada, pero sea cual sea esta, define esa relación de equivalencia en \( A \) a la que llamamos \( R_f.\textrm{} \)

y si dependiera de f, no seria distinto al \( R_{f} \) que uso Fernando en la demostración, capaz lo que estoy confundiendo es que sabemos que una función es una relación y yo pienso que \( R_{f} \) es la relación de la función o la "regla" o la "asociación"

Como comentó Luis, en el apartado 2) no tienes ni \( B \) ni \( f \), hay que construirlos. Así lo hicimos.

Pero si depende de la función, porque usaste \( xR_{f}y\Longleftrightarrow{f(x)=f(y)} \) si tu ya habías construido otra función