- la fuerza de rozamiento, \( \mu mg\cos\theta \), con sentido hacia arriba (aquí no coincido con Masacroso).
Coincidimos, pero probablemente no me haya explicado con claridad. Mi vector \( \mathbf{t} \) va hacia abajo, por tanto \( -\mu|\mathbf{F}^{(r)}|\mathbf{t} \) va hacia arriba.
Considerándolo todo la ecuación diferencial que me queda (válida sólo hasta que \( \dot r(t)=0 \) por primera vez para un \( t>0 \)) es
\( \displaystyle{
\ddot r+C_1 r+C_2=0,\quad C_1:=\frac{k}{m},\quad C_2:=-g(\operatorname{sen}\alpha -\mu \cos \alpha )
} \)
con \( r(0)=\dot r(0)=0 \), que nos deja la solución
\( \displaystyle{
r(t)=\frac1{k}mg(\operatorname{sen}\alpha -\mu \cos \alpha )\left(1-\cos \left(t\sqrt{k/m}\right)\right),\quad t\in\left[0,\pi\sqrt{m/k}\right]
} \)
dando un estiramiento máximo del muelle de \( \frac{2mg}{k}(\operatorname{sen}\alpha -\mu \cos \alpha ) \).
Mi interpretación coincide con la primera de Masacroso. Es decir, se trata de determinar la elongación del muelle cuando el cuerpo está en reposo. En un eje paralelo al plano inclinado se cumple \( \sum{F}=0 \).
El problema que le veo a esto, y por lo que eliminé este curso de acción, es que la fuerza de rozamiento tiene sentido opuesto a la velocidad, y la velocidad cambia sucesivamente de sentido en un movimiento oscilatorio amortiguado. La ecuación diferencial de todo el movimiento del objeto vendría dada por
\( \displaystyle{
\ddot r+\frac{k}{m} r - g \operatorname{sen}\alpha +\mu g \operatorname{signo}(\dot r)\cos \alpha =0
} \)
Se puede resolver la anterior ecuación a trozos, pero es un peñazo. En cualquier caso una posición de equilibrio vendría dada al ignorar por completo la fuerza de rozamiento, es decir, asumiendo que el sistema comienza desde una posición de equilibrio donde por tanto no hay movimiento ni por tanto rozamiento, no sé si tal posición de equilibrio coincidiría con la que se alcanza al dejar el sistema desde la posición \( r=0 \) pero imagino que sí, que deben ser iguales.
Si es así entonces la ecuación a resolver sería
\( \displaystyle{
0=\mathbf{F}^{(r)}+\mathbf{F}^{(g)}+\mathbf{F}^{(m)}=(mg \operatorname{sen}\alpha -k r)\mathbf{t}\iff r=\frac{mg}{k}\operatorname{sen}\alpha
} \)
En cualquier caso el ejercicio, tal y como está planteado, no es apto para un curso de tercero de ESO.
Añado: ok, ya veo lo que apuntaban JCB y Richard, y es que si consideramos el problema como estático entonces se puede considerar la fuerza de rozamiento como estática. En todo lo anterior yo sólo la he considerado a la fuerza de rozamiento como dinámica, ni se me pasó por la cabeza considerar el caso estático.
Claro, si la fuerza de rozamiento es estática entonces una posición de equilibrio es donde \( \mathbf{F}^{(R)}+\mathbf{F}^{(r)}+\mathbf{F}^{(g)}+\mathbf{F}^{(m)}=0 \), dando el resultado de JCB.
