No se, lo veo tan raro, y tantas veces me equivoco que ya ni me atrevo a comentar,
mi lógica me indica plantear
\( c_y=\dfrac{\displaystyle\int_{1}^{10}\displaystyle\int_{ln (y)}^{ln(10)}\sigma \,y \,dx\, dy +\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{ln(10)}\sigma\, y\, dx\, dy}{M}\cong 2.75001 \)
que da parecido, sino igual , así que o se debe a errores de truncamiento, o es la misma integral resuelta de otro modo .
Pd tu integral da 2.75 exactos, no hay duda, así que o nuevamente me equivoco, o ya no recuerdo que se resuelva de esa manera, pero el planteo físico es el promedio ponderado de la distancia al eje de coordenadas que es justamente en este caso la coordenada \( y \) sobre el area(y,x) vista rotada.
\( Y_m=\displaystyle\dfrac{ \int_S \rho y \,dS}{\int_S \rho \,dS} \)
, interpreto que tu ya sabes como matemático que es lo mismo que rotar los ejes (x,y), y evaluar la integral , ya que S es única la parametrizas como quieras, tu integral es mas fácil, de todos modos me sonaba raro.
Haciendo esfuerzo de memoria, recurríamos a lo que tu propones cuando, la inversa de la función no existía o era mas sencilla de hallar en tablas, como en este caso.
