Hola, estoy teniendo problemitas al momento de encontrar el grado de aplicaciones racionales entre variedades proyectivas y curvas.
Dada una aplicación racional entre curvas (o variedades proyectivas)
\( \phi: C_1 \longrightarrow C_2 \) se define \( \phi^{*} K(C_1) \longrightarrow K(C_2) \) mediante:
\( \phi^{*}(f)=f \circ \phi \).
Ya sé bajo qué condiciones, dicha aplicación induce una extensión de sus cuerpos de funciones.
El problema lo encuentro al momento de calcular el grado de la extensión, no porque no sepa, sino porque me cuesta encontrar una base para la extensión.
Tengo los dos siguientes problemas.
Sea \( C_1: Y^2=X^3 \) y \( C_2: Y^2=X \) y sea \( \phi: C_1 \longrightarrow C_2 \) definida como \( \phi(x,y)=(x, y/x) \) me piden encontrar el grado de \( \phi \). Encontré que \( K(C1) \) puede ser identificado con \( K(X)+YK(X) \) y que \( K(C_2) \) puede ser identificado con \( K(Y) \) sin embargo, no logró hallar el grado porque, según yo el pullback no tendría sentido.
Otro ejemplo en el que me piden hacer cálculos es:
Dado
\( f: \mathbb{P}^{2} \longrightarrow \mathbb{P}^{2} \) por \( f(x:y:z)=(x^2:y^2:z^2) \) me piden encontrar el grado de \( f \).
Agradecería cualquier sugerencia o aclaración, no estoy tan confundido sino que me cuesta hallar una base para dichas extensiones. Gracias.
