¿ \( 1/X=X/Y^5 \)? ¿No?
Sí, tienes razón, soy yo que me he liado y he intercambiado \( X \) e \( Y \) en la definición de la curva.
Si, entiendo, pero se supone que es \( K(C) \) el que es una extensión de \( \phi^{*} K(C) \) entiendo que
\( \phi^{*} K(C)=K(t) \) pero esto por qué implica que el grado es 1?
O sea, es claro que el grado es 1. Pero quiero comprender bien esas implicaciones.
No, no, lo que tienes aquí es que \( K(t) \) es una extensión de \( \varphi^*K(C) \) .
La situación general es la siguiente. Tienes un morfismo entre dos curvas (o variedades, más en general) \( \varphi:C_1\to C_2 \). Entonces, puedes definir un pullback de funciones racionales \( \varphi^*K(C_2)=\{\varphi^*f \in K(C_1) \mid f \in K(C_2)\} \), donde \( \varphi^*f(p)=f(\varphi(p)) \). Fíjate que \( \varphi^*K(C_2) \) es un subcuerpo de \( K(C_1) \). En otras palabras, tenemos una extensión de cuerpos \( K(C_1)/\varphi^*K(C_2) \). Ésta es la extensión de la que nos interesa el grado.
En tu ejemplo, \( C_1=\Bbb A^1 \) y \( C_2= C \).
