[Nub]

Hola, tengo unas dudas particulares.

1) Sea \( A \) un conjunto, \( A=\{1,2,3,4\} \).

a) \( R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\} \) ¿Es reflexiva?

b) \( R=\{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\} \) ¿Es simétrica?

2) Ahora una proposición: Si \( R \) es una relación sobre un conjunto \( A \), entonces \( R \) es al mismo tiempo una relación de equivalencia y un orden parcial en \( A \) si solo si \( R \) es una relación de igualdad sobre \( A \).

En este caso la pregunta es a que se refiere con ser una relación de igualdad, he buscado por internet y me sale relación de igualdad entre dos conjuntos, que básicamente es que tengan los dos conjuntos los mismos elementos, ¿se refiere a eso o no?

Gracias 
Mensaje corregido desde la administración.

Gracias manooooh

[manooooh]

Hola

En general es preferible que abras un hilo por cada pregunta para así mantener organizado el foro. Por otro lado, debes utilizar LaTeX para escribir la matemática. El enunciado sería entonces:

1) Sea \( A \) un conjunto, \( A=\{1,2,3,4\} \).

a) \( R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\} \) ¿Es reflexiva?

b) \( R=\{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\} \) ¿Es simétrica?

2) Ahora una proposición: Si \( R \) es una relación sobre un conjunto \( A \), entonces \( R \) es al mismo tiempo una relación de equivalencia y un orden parcial en \( A \) si solo si \( R \) es una relación de igualdad sobre \( A \).

1) Sea A un conjunto, A={1,2,3,4}

   𝓡={(1,1),(2,2),(3,3)} ¿Es reflexiva? Podría ser, pero faltaría (4,4) ¿Esto importa?

Correcto. No es reflexiva porque \( \exists x\in A\,(x,x)\notin R \) (el \( 4 \)).

   𝓡={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} ¿Es simétrica? Podría ser, pero faltaría mas pares como (1,4) y (4,1) ¿Esto importa?

No. Fíjate que una relación es simétrica si \( \forall x,y\in A\,(x,y)\in R\to(y,x)\in R \). Si hay un elemento que NO está en \( R \), el antecedente es falso y por tanto el condicional es verdadero. Solo hay que mirar que si un elemento se relaciona con otro, el recíproco también esté. Y eso sucede con la relación que pones, por lo tanto la relación es simétrica.

2) Ahora una proposición: Si R es una relación sobre un conjunto A, entonces R es al mismo tiempo una relación de equivalencia y un orden parcial en A si solo si R es una relación de igualdad sobre A.

En este caso la pregunta es a que se refiere con ser una relación de igualdad, he buscado por internet y me sale relación de igualdad entre dos conjuntos, que básicamente es que tengan los dos conjuntos los mismos elementos, ¿se refiere a eso o no?

La relación de igualdad es... ¡el \( = \) de toda la vida! Si lo quieres poner como relación, sería: \( aRb\iff a=b \). No tiene mucho misterio.

Mira: Relaciones de equivalencia y de orden.

Saludos

[Nub]

Hola

En general es preferible que abras un hilo por cada pregunta para así mantener organizado el foro. Por otro lado, debes utilizar LaTeX para escribir la matemática. El enunciado sería entonces:

1) Sea \( A \) un conjunto, \( A=\{1,2,3,4\} \).

a) \( R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\} \) ¿Es reflexiva?

b) \( R=\{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\} \) ¿Es simétrica?

2) Ahora una proposición: Si \( R \) es una relación sobre un conjunto \( A \), entonces \( R \) es al mismo tiempo una relación de equivalencia y un orden parcial en \( A \) si solo si \( R \) es una relación de igualdad sobre \( A \).

1) Sea A un conjunto, A={1,2,3,4}

   𝓡={(1,1),(2,2),(3,3)} ¿Es reflexiva? Podría ser, pero faltaría (4,4) ¿Esto importa?

Correcto. No es reflexiva porque \( \exists x\in A\,(x,x)\notin R \) (el \( 4 \)).

   𝓡={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} ¿Es simétrica? Podría ser, pero faltaría mas pares como (1,4) y (4,1) ¿Esto importa?

No. Fíjate que una relación es simétrica si \( \forall x,y\in A\,(x,y)\in R\to(y,x)\in R \). Si hay un elemento que NO está en \( R \), el antecedente es falso y por tanto el condicional es verdadero. Solo hay que mirar que si un elemento se relaciona con otro, el recíproco también esté. Y eso sucede con la relación que pones, por lo tanto la relación es simétrica.

2) Ahora una proposición: Si R es una relación sobre un conjunto A, entonces R es al mismo tiempo una relación de equivalencia y un orden parcial en A si solo si R es una relación de igualdad sobre A.

En este caso la pregunta es a que se refiere con ser una relación de igualdad, he buscado por internet y me sale relación de igualdad entre dos conjuntos, que básicamente es que tengan los dos conjuntos los mismos elementos, ¿se refiere a eso o no?

La relación de igualdad es... ¡el \( = \) de toda la vida! Si lo quieres poner como relación, sería: \( aRb\iff a=b \). No tiene mucho misterio.

Mira: Relaciones de equivalencia y de orden.

Saludos

Gracias por la ayuda, no hice otro hilo porque me parecía que son muy cortas para tener un hilo para cada una, lo tomare para la próxima, y el latex no lo vi necesario, pero objetivamente se ve mejor con el

¿Se podria decir que para que sea reflexiva, TODOS los elementos del conjunto tienen que esta relacionado consigo mismo? y en cambio a ser simetrica no es necesariamente que TODOS los elementos del conjuntos estén en la relacion, pero el par que este TAMBIÉN debe estar su reciproco?. Creo que la diferencia es que en la definición de reflexiva debería ser un para todo elemento del conjunto y en las otras (como simetrica) no es un para todo, sino que si hay un par (x,y) debe haber un (y,x)?

[manooooh]

Hola

Gracias por la ayuda, no hice otro hilo porque me parecía que son muy cortas para tener un hilo para cada una, lo tomare para la próxima, y el latex no lo vi necesario, pero objetivamente se ve mejor con el

Al no tener relación una pregunta con otra, podrían ir en hilos distintos. Y el LaTeX es obligatorio, tal como indica el apartado 2.3 de este post: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=678.0

¿Se podria decir que para que sea reflexiva, TODOS los elementos del conjunto tienen que esta relacionado consigo mismo? y en cambio a ser simetrica no es necesariamente que TODOS los elementos del conjuntos estén en la relacion, pero el par que este TAMBIÉN debe estar su reciproco?. Creo que la diferencia es que en la definición de reflexiva debería ser un para todo elemento del conjunto y en las otras (como simetrica) no es un para todo, sino que si hay un par (x,y) debe haber un (y,x)?

Recuerda que en la reflexiva no hay un condicional, pero en las demás sí (simétrica, antisimétrica y transitiva). Quizás eso te confunda.

Saludos

[Nub]

Hola

Gracias por la ayuda, no hice otro hilo porque me parecía que son muy cortas para tener un hilo para cada una, lo tomare para la próxima, y el latex no lo vi necesario, pero objetivamente se ve mejor con el

Al no tener relación una pregunta con otra, podrían ir en hilos distintos. Y el LaTeX es obligatorio, tal como indica el apartado 2.3 de este post: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=678.0

¿Se podria decir que para que sea reflexiva, TODOS los elementos del conjunto tienen que esta relacionado consigo mismo? y en cambio a ser simetrica no es necesariamente que TODOS los elementos del conjuntos estén en la relacion, pero el par que este TAMBIÉN debe estar su reciproco?. Creo que la diferencia es que en la definición de reflexiva debería ser un para todo elemento del conjunto y en las otras (como simetrica) no es un para todo, sino que si hay un par (x,y) debe haber un (y,x)?

Recuerda que en la reflexiva no hay un condicional, pero en las demás sí (simétrica, antisimétrica y transitiva). Quizás eso te confunda.

Saludos

La confusión es que si se deben tener en cuenta todos los pares que se pueden formar con los elementos de A, como dije en el ejemplo de la simétrica, podria conseguir dos pares que cumplan con el condicional de ser simetrico pero la relación sigue siendo simetrica sin tener en cuenta los 2 pares nuevos (como tu dices). Por eso dije que para ser reflexiva necesitas que todos los elementos de A estén relacionados entre si, mientras que para los demás solo necesitas que los pares que se encuentren en la relación cumplan el condicional. No se si me entienden, pero creo que es correcto o al menos funciona

[feriva]

Hola, tengo unas dudas particulares.

1) Sea A un conjunto, A={1,2,3,4}

   𝓡={(1,1),(2,2),(3,3)} ¿Es reflexiva? Podría ser, pero faltaría (4,4) ¿Esto importa?
...

Es que, por una parte, está el conjunto A, que es un cierto conjunto, y, por otra, tienes el conjunto relación, \( \mathcal{R} \), que es otro conjunto distinto. Precisamente se usa una “erre” diferente para distinguir el conjunto de cuando se dicen cosas como “a relación b” ó "a R b" sin aludir a todo el conjunto o para mencionar algo de una forma más genérica.
Supongo que hay que asumir que el conjunto relación se entiende sobre todo A y no sobre un subconjunto de A; pero si a mí me preguntan si ésos son conjuntos relación... digo que sí, ¿cuál es el argumento para decir que no?  O, en otro caso, no sé qué contestar, porque el enunciado no define bien.

* Seguramente esto de las letras que digo esté anticuado, ahora que miro en internet y viendo también que Luis te ha cambiado la letra (estoy hablando de la notación de un libro de los años 60 que tengo yo; habrá que entender que no es un convenio ni nada parecido)

Spoiler

[cerrar]

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

La confusión es que si se deben tener en cuenta todos los pares que se pueden formar con los elementos de A, como dije en el ejemplo de la simétrica, podria conseguir dos pares que cumplan con el condicional de ser simetrico pero la relación sigue siendo simetrica sin tener en cuenta los 2 pares nuevos (como tu dices). Por eso dije que para ser reflexiva necesitas que todos los elementos de A estén relacionados entre si, mientras que para los demás solo necesitas que los pares que se encuentren en la relación cumplan el condicional. No se si me entienden, pero creo que es correcto o al menos funciona

Mejor que "entre si", "consigo mismo". Por lo demás está bien lo que dices.

Saludos.

[Nub]

Hola, tengo unas dudas particulares.

1) Sea A un conjunto, A={1,2,3,4}

   𝓡={(1,1),(2,2),(3,3)} ¿Es reflexiva? Podría ser, pero faltaría (4,4) ¿Esto importa?
...

Es que, por una parte, está el conjunto A, que es un cierto conjunto, y, por otra, tienes el conjunto relación, \( \mathcal{R} \), que es otro conjunto distinto. Precisamente se usa una “erre” diferente para distinguir el conjunto de cuando se dicen cosas como “a relación b” ó "a R b" sin aludir a todo el conjunto o para mencionar algo de una forma más genérica.
Supongo que hay que asumir que el conjunto relación se entiende sobre todo A y no sobre un subconjunto de A; pero si a mí me preguntan si ésos son conjuntos relación... digo que sí, ¿cuál es el argumento para decir que no?  O, en otro caso, no sé qué contestar, porque el enunciado no define bien.

* Seguramente esto de las letras que digo esté anticuado, ahora que miro en internet y viendo también que Luis te ha cambiado la letra (estoy hablando de la notación de un libro de los años 60 que tengo yo; habrá que entender que no es un convenio ni nada parecido)

Spoiler

[cerrar]

Saludos.

Si, es una relación sobre el conjunto A, lo omití porque lo escribí yo mismo, probablemente en la letra de un ejercicio se seria mas especifico

[Nub]

Hola

La confusión es que si se deben tener en cuenta todos los pares que se pueden formar con los elementos de A, como dije en el ejemplo de la simétrica, podria conseguir dos pares que cumplan con el condicional de ser simetrico pero la relación sigue siendo simetrica sin tener en cuenta los 2 pares nuevos (como tu dices). Por eso dije que para ser reflexiva necesitas que todos los elementos de A estén relacionados entre si, mientras que para los demás solo necesitas que los pares que se encuentren en la relación cumplan el condicional. No se si me entienden, pero creo que es correcto o al menos funciona

Mejor que "entre si", "consigo mismo". Por lo demás está bien lo que dices.

Saludos.

Entiendo, Gracias a todos

[manooooh]

Hola

Para complementar las respuestas de los compañeros del foro, consideremos \( A=\{1,2,3,4\} \) y:

a) \( R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\} \) ¿Es reflexiva?

\( \forall x\in A\;(x,x)\in R \)

Comprobación manual

\( x=1\to(1,1)\in R \)

\( x=2\to(2,2)\in R \)

\( x=3\to(3,3)\in R \)

\( x=4\to(4,4)\notin R \)

Luego \( R \) no es reflexiva.

[cerrar]

b) \( R=\{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\} \) ¿Es simétrica?

\( \forall x,y\in A\;(x,y)\in R\to(y,x)\in R \)

Comprobación manual

\( x=1,\,y=1\to\underbrace{(1,1)\in R}_{F}\implies\underbrace{(1,1)\in R}_{F} \) Verdadero

\( x=1,\,y=2\to\underbrace{(1,2)\in R}_{V}\implies\underbrace{(2,1)\in R}_{V} \) Verdadero

\( x=1,\,y=3\to\underbrace{(1,3)\in R}_{V}\implies\underbrace{(3,1)\in R}_{V} \) Verdadero

\( x=1,\,y=4\to\underbrace{(1,4)\in R}_{F}\implies\underbrace{(4,1)\in R}_{F} \) Verdadero

\( x=2,\,y=1\to\underbrace{(2,1)\in R}_{V}\implies\underbrace{(1,2)\in R}_{V} \) Verdadero

\( x=2,\,y=2\to\underbrace{(2,2)\in R}_{F}\implies\underbrace{(2,2)\in R}_{F} \) Verdadero

\( x=2,\,y=3\to\underbrace{(2,3)\in R}_{F}\implies\underbrace{(3,2)\in R}_{F} \) Verdadero

\( x=2,\,y=4\to\underbrace{(2,4)\in R}_{F}\implies\underbrace{(4,2)\in R}_{F} \) Verdadero

\( x=3,\,y=1\to\underbrace{(3,1)\in R}_{V}\implies\underbrace{(1,3)\in R}_{V} \) Verdadero

\( x=3,\,y=2\to\underbrace{(3,2)\in R}_{F}\implies\underbrace{(2,3)\in R}_{F} \) Verdadero

\( x=3,\,y=3\to\underbrace{(3,3)\in R}_{F}\implies\underbrace{(3,3)\in R}_{F} \) Verdadero

\( x=3,\,y=4\to\underbrace{(3,4)\in R}_{F}\implies\underbrace{(4,3)\in R}_{F} \) Verdadero

\( x=4,\,y=1\to\underbrace{(4,1)\in R}_{F}\implies\underbrace{(1,4)\in R}_{F} \) Verdadero

\( x=4,\,y=2\to\underbrace{(4,2)\in R}_{F}\implies\underbrace{(2,4)\in R}_{F} \) Verdadero

\( x=4,\,y=3\to\underbrace{(4,3)\in R}_{F}\implies\underbrace{(3,4)\in R}_{F} \) Verdadero

\( x=4,\,y=4\to\underbrace{(4,4)\in R}_{F}\implies\underbrace{(4,4)\in R}_{F} \) Verdadero

Luego \( R \) es simétrica.

[cerrar]

Saludos