[Berner]

 probar que si una funcion $$f$$ es de clase $$C^1$$,  en un punto $$a$$ de un abierto $$A$$ de $$R^n$$, entonces ella es diferenciable en ese mismo punto a.

[Masacroso]

probar que si una funcion $$f$$ es de clase $$C^1$$,  en un punto $$a$$ de un abierto $$A$$ de $$R^n$$, entonces ella es diferenciable en ese mismo punto a.

¿Seguro que has copiado bien el ejercicio? Porque así descrito no tiene mucho sentido, la definición de ser de clase \( C^1 \) implica que es una función diferenciable al menos en el interior de su dominio, o sea, no habría nada que probar.

[Berner]

Hola si es cierto estoy investigando no logro dar con esta demostracion pero ese fue el enunciado que me dieron alguna otra idea colega.

[Eparoh]

Hola.

probar que si una funcion $$f$$ es de clase $$C^1$$,  en un punto $$a$$ de un abierto $$A$$ de $$R^n$$, entonces ella es diferenciable en ese mismo punto a.

¿Seguro que has copiado bien el ejercicio? Porque así descrito no tiene mucho sentido, la definición de ser de clase \( C^1 \) implica que es una función diferenciable al menos en el interior de su dominio, o sea, no habría nada que probar.

Creo que depende de la definición que tomes de partida para \( C^1 \), y lo que yo he visto más a menudo es la siguiente:

Una función \( f: A \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m \) es de clase \( C^1 \) en un punto \( a \in A \) si \( f \) admite sus \( n \) derivadas parciales en un entorno de \( a \) y dichas derivadas son continuas en \( a \).

Por tanto, desde esta definición no es nada evidente que una función que sea de clase \( C^1 \) en un punto, sea diferenciable en dicho punto.

[Juan Pablo Sancho]

Sea \( f:\mathbb{R}^n \to R \) entonces:
Editado
\( \displaystyle E(x) = f(x_0 + x) - f(x) - \sum_{i=1}^n D_if(x_0)x_i  \).
Tenemos que por existir las derivadas parciales en una bola de radio r y ser continuas en \( x_0 \) obtenemos que dado \( \epsilon > 0 \) existe \( r >\delta > 0 \) tal que si:

\( h \in B(x_0,\delta)  \) entonces \( |D_if(h) - D_if(x_o)| < \epsilon  \)
Ahora viene el punto dificil:
Editado
Sea \( x \in B(\color{red}0_n\color{black},\delta)  \) tomemos los puntos definidos por \(  u_o = x_0  \) y \( u_i =x_0 +  \displaystyle \sum_{k=1}^i x_{\color{red}k\color{black}} \cdot e_{\color{red}k\color{black}}  \) donde \( i \in \{1,2, \cdots ,  n\} \)

Luego tenemos:
\( f(x_o+x) - f(x_0) =\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (f(u_i) - f(u_{i-1})) = \sum_{i=1}^{n} (f(u_{i-1} + x_i \cdot e_i) - f(u_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n} D_i\color{red}f\color{black}(u_{i-1} + \varepsilon_i e_i) \cdot x_i  \)

Como \( u_{i-1} + \varepsilon_i e_i \in B(x_0 , \delta)  \) tenemos que \( |D_i\color{red}f\color{black}(u_{i-1} + \varepsilon_i e_i) -D_i(x_0)| < \epsilon  \).
Entonces:
\( |E(x)| = |f(x_0 + x) - f(x) - \sum_{i=1}^n D_if(x_0)x_i| = \displaystyle |\sum_{k=1}^n (D_i\color{red}f\color{black}(u_{i-1} + \varepsilon_i e_i) -D_i\color{red}f\color{black}(x_0))x_i |< \epsilon \cdot \sum_{k=1}^n |x_i| < \epsilon \cdot n \cdot ||x||  \)

[Berner]

Hola podrias explicar esa demostracion para entenderla.

[Juan Pablo Sancho]

Tienes que una función es diferenciable en un punto \( x_0 \) si existe una aplicación lineal (la diferencial) cumpliendo:
\( \displaystyle \lim_{\|x\| \to 0} \dfrac{f(x_0 + x) - f(x_0) - D_{x_0}(f)(x)}{\|x\|} = 0 \) en nuestro caso:
\( \displaystyle D_{x_0}(f)(x) = \sum_{i=1}^{n} D_if(x_0)x_i  \).

Como hipótesis tenemos que existe una bola, \( B(x_0,r) \) tal que las derivadas parciales existen en la bola, además son continuas en \( x_0 \).
Luego dado \( \epsilon > 0 \) puedo tomar otra bola \( B(x_0 , \delta)  \) con \( \delta < r \) tal que si \( y \in B(x_0 , \delta) \subset B(x_0 , r)  \) entonces:
\( |D_i(y)-D_i(x_0)| < \epsilon  \) y esto es cierto por tener las derivadas parciales continuas en \( x_0 \).
Si es otra cosa pregunta.

[Eparoh]

Hola, hay algunas erratas en la demostración, y por eso igual Berner también se ha liado. Los corrijo en verde respecto al comenterio original:

Sea \( f:\mathbb{R}^n \to R \) entonces:
Editado
\( \displaystyle E(x) = f(x_0 + x) - f( \)\( x_0 \)\( ) - \sum_{i=1}^n D_if(x_0)x_i  \).
Tenemos que por existir las derivadas parciales en una bola de radio r y ser continuas en \( x_0 \) obtenemos que dado \( \epsilon > 0 \) existe \( r >\delta > 0 \) tal que si:

\( h \in B(x_0,\delta)  \) entonces \( |D_if(h) - D_if(x_o)| < \epsilon  \)
Ahora viene el punto dificil:
Sea \( x \in B( \)\( 0_n \)\( ,\delta)  \) tomemos los puntos definidos por \(  u_o = x_0  \) y \( u_i =x_0 +  \displaystyle \sum_{k=1}^i  \)\( x_k \cdot e_k  \) donde \( i \in \{1,2, \cdots ,  n\} \)

Luego tenemos:
\( f(x_o+x) - f(x_0) =\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (f(u_i) - f(u_{i-1})) = \sum_{i=1}^{n} (f(u_{i-1} + x_i \cdot e_i) - f(u_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n} D_i \)\( f \)\( (u_{i-1} + \varepsilon_i e_i) \cdot x_i  \)

Como \( u_{i-1} + \varepsilon_i e_i \in B(x_0 , \delta)  \) tenemos que \( |D_i \)\( f \)\( (u_{i-1} + \varepsilon_i e_i) -D_i \)\( f \)\( (x_0)| < \epsilon  \).
Entonces:
\( |E(x)| = |f(x_0 + x) - f(x) - \sum_{i=1}^n D_if(x_0)x_i| = \displaystyle |\sum_{k=1}^n (D_i \)\( f \)\( (u_{i-1} + \varepsilon_i e_i) -D_i \)\( f \)\( (x_0))x_i |< \epsilon \cdot \sum_{k=1}^n |x_i| < \epsilon \cdot n \cdot ||x||  \)

Un saludo.

[Juan Pablo Sancho]

Gracias Eparoh por la mirada, ahora lo edito.

[Berner]

Hola gracias por la ayuda   pero esta demostracion en si es sobre la que pregunte al principio o es otra podrian explicarme porfavor saludos.