[JohnC++]

Sea \( A \) una matriz de orden \( n\times n \) tal que \( A^2 \) es la matriz nula. Demuestre si es cierto o falso que la matriz \( A + I \) es invertible, donde \( I \) es la matriz identidad de orden \( n\times n \).
Mensaje corregido desde la administración.

[geómetracat]

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Tu problema lo preguntaron hace unos días. Mira por aquí: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119728.0 .

[feriva]

Sea \( A \) una matriz de orden \( n\times n \) tal que \( A^2 \) es la matriz nula. Demuestre si es cierto o falso que la matriz \( A + I \) es invertible, donde \( I \) es la matriz identidad de orden \( n\times n \).
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Como \( A^{2}
  \) es la matriz de ceros, entonces la matriz \( (A^{2}-I)=(A^{2}-(I^{2}))
  \) es la matriz “-I” y tiene determinante -1 (depende, como dice Luis); es invertible. La igualdad notable “diferencia de cuadrados igual a suma por diferencia”, sirve aquí como siempre, pero respetando en todo caso los lados al multiplicar. Luego tienes

\( (A+I)(A-I)=-I \)
 

Multiplicando por el escalar -1 a ambos lados (en el lado izquierdo elegimos multiplicar al factor (A-I)) queda

\( (A+I)(-A+I)=I
  \).

Luego \( (-A+I)
  \) es la inversa de (A+I).

*(Es la idea de Geómetracat en el otro hilo)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Como \( A^{2}
  \) es la matriz de ceros, entonces la matriz \( (A^{2}-I)=(A^{2}-(I^{2}))
  \) es la matriz “-I” y tiene determinante -1; es invertible.

Aunque no cambia el fondo del argumento; \( -I \) tiene determinante \( (-1)^n \). Será \( +1 \) si \( n \) es par ó \( -1 \) si \( n \) es impar.

Saludos.

[feriva]

Hola

Como \( A^{2}
  \) es la matriz de ceros, entonces la matriz \( (A^{2}-I)=(A^{2}-(I^{2}))
  \) es la matriz “-I” y tiene determinante -1; es invertible.

Aunque no cambia el fondo del argumento; \( -I \) tiene determinante \( (-1)^n \). Será \( +1 \) si \( n \) es par ó \( -1 \) si \( n \) es impar.

Saludos.

Sí, de acuerdo.

Muchas gracias, Luis.

[Masacroso]

Una forma de resolver el ejercicio es observar que \( e^{A}=I+A \), aunque quizá sea un "overkill" como dicen los ingleses.

[geómetracat]

Una forma de resolver el ejercicio es observar que \( e^{A}=I+A \), aunque quizá sea un "overkill" como dicen los ingleses.

Ciertamente, aunque no deja de ser la misma solución. En este caso \[ e^{-A}=I - A \] y la igualdad \[ e^Ae^{-A}=I \] acaba siendo \[ (I+A)(I-A)=I \].