[carlosbayona]

Hola a todos chicos. Les escribo para pedir su ayuda con estas demostraciones.
1) sea A una matriz de orden n x n , tal que \(  A^2 \) es la matriz nula. Demostrar si es cierto o falso que la matriz \( A+ I  \) es invertible, donde \( I  \) es la matriz identidad de orden \(  n   x  n \)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola a todos chicos. Les escribo para pedir su ayuda con estas demostraciones.
1) sea A una matriz de orden n x n , tal que \(  A^2 \) es la matriz nula. Demostrar si es cierto o falso que la matriz \( A+ I  \) es invertible, donde \( I  \) es la matriz identidad de orden \(  n   x  n \)

Prueba que es cierto por reducción al absurdo: Si \( A+I \) NO fuese inversible entonces existe \( u \) no nulo tal que \( (A+I)u=0 \); equivalentemente \( Au=-u \). Pero entonces:

\( A^2u=A(Au)=\ldots \)

continúa y concluye.

Saludos.

[geómetracat]

Una alternativa, de manera directa:
\[ (I+A)(I-A)=I+A-A-A^2=I-A^2=I \]. De igual forma, \[ (I-A)(I+A)=I \]. Luego \[ I+A \] es invertible con inversa \[ I-A \].