[Acu]

Hola, ¿me podríais ayudarme a calcular el momento de inercia respecto el Centro de masas de Un cilindro con una ranura mediante coordenadas polares?



Muchas gracias!

[delmar]

Hola Acu
Bienvenido al foro

Es conveniente muestres q has hecho por resolver el problema, asi se llega a buen puerto

Respecto al problema y viendo la figura, lo primero es determinar el cilindro ranurado, para ello se requieren datos como R, H, \( r_i,r_e,\theta \) que son respectivamente, radio del cilindro, altura, radio interior de la ranura, radio exterior de la ranura, arco q abarca la ranura, suponiendo una densidad uniforme \( \rho \), lo segundo es considerar una referencia espacial XYZ adecuada donde los planos coordenados sean planos de simetria, por ejemplo XY puede cortar solido por la mitad de altura, YZ dividir en partes iguales al cilindro, tercero hallar centro de masa, y cuarto se entiende obtener los momentos de inercia respecto a los ejes paralelos a los coordenados que pasan por centro de masas

Saludos

Nota : Disculpen ortografia, celular

[JCB]

Hola a tod@s.

Yo empezaría por determinar el momento polar de inercia de un sector cilíndrico macizo (no sé si este es el nombre adecuado) con un ángulo \( \theta \), radio \( R \) y altura \( h \).

\( I=\theta\rho\dfrac{R^4}{4}h \)

Feliz año,
JCB.

[Richard R Richard]

Se puede calcular si sabemos además de los datos que pide delmar la profundidad de la ranura en el macizo del cilindro.


JCB fíjate que el volumen diferencial (superficie de revolución) cambia si esta o no presente la ranura en función del ángulo theta, en definitiva es la suma de dos términos uno con ranura y angulo \( \theta \) y otro sin ranura y ángulo \( 2\pi-\theta \)

[JCB]

Se puede calcular si sabemos además de los datos que pide delmar la profundidad de la ranura en el macizo del cilindro.

Hola a tod@s.

Respecto a este comentario, mi interpretación es que se refiere a una ranura que atraviesa todo el espesor (o altura) del cilindro. Es decir, no se trata de una ranura ciega, sino pasante. Pero bueno, cualquier otra interpretación, también sería válida, ya que la ranura no queda definida en el enunciado.

JCB fíjate que el volumen diferencial (superficie de revolución) cambia si esta o no presente la ranura en función del ángulo theta, en definitiva es la suma de dos términos uno con ranura y angulo \( \theta \) y otro sin ranura y ángulo \( 2\pi-\theta \)

Claro que sí, Richard, pero es que la expresión que indiqué en mi respuesta # 2, no es, ni mucho menos, la solución al ejercicio. Si lees mi respuesta, indiqué que "… empezaría por determinar el momento polar de inercia de un sector cilíndrico macizo (no sé si este es el nombre adecuado) con un ángulo \( \theta \), radio \( R \) y altura \( h \).". Es decir, la expresión es, repito, el momento de inercia de un sector cilíndrico macizo, respecto de un eje longitudinal que pasa por su arista. Date cuenta, Richard, que también es aplicable para un cilindro completo, sustituyendo \( \theta=2\pi \).

No quería entrar en detalles, pues una de las normas del foro es evitar dar una solución inmediata a la persona que presenta el ejercicio, para estimular el debate, pero voy a ir un poco más allá, sin llegar a la solución.

Siendo el radio exterior de la ranura \( r_e \) (como escribe delmar), el radio interior de la ranura \( r_i \), y a partir de la expresión general, puedo decir que el momento de inercia del cilindro con ranura (pasante), respecto de un eje que pasa por su centro (ojo, que no coincide con el cdm), es

\( I=2\pi\rho\dfrac{R^4}{4}h-\theta\rho\dfrac{r_e^4}{4}h+\theta\rho\dfrac{r_i^4}{4}h=\dfrac{\rho h}{4}(2\pi R^4-\theta r_e^4+\theta r_i^4) \)

Insisto en que ésta tampoco es la solución al ejercicio, pues no es respecto el eje que pasa por el cdm. Dejo la solución para otros participantes, esperando que también colabore el principal interesado, Acu.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Si JCB yo también espero un esbozo del planteo de Acu, hay múltiples caminos para resolver el problema,de dependiendo de la interpretación de una figura muy vaga, algunas serán mas fáciles o mas difíciles dependiendo de lo que él aporte.Un método sería separar el volumen  en pequeños volúmenes de sección regular , hacer la integral para el calculo del momento de esos volúmenes y luego sumar todo.

[Acu]

¡Muchas gracias a todos por la ayuda! Lo siento se me olvidó pasar lo que hicé. Pensé en calcular el momento de Inercia que pasa por o mediante la integral, en la cual he considerado que la densidad es M/pi*r (Siento no saber escribir las ecuaciones en la aplicación). Lo que me daría como resultado r^2*M pero tengo dos radios no sé cual es o lo que me falta... una vez tenga calculado Io con el teorema de Steiner saco la inercia en el punto Io6. ¿Estaría bien planteado?

[Acu]

Se puede calcular si sabemos además de los datos que pide delmar la profundidad de la ranura en el macizo del cilindro.

Hola a tod@s.

Respecto a este comentario, mi interpretación es que se refiere a una ranura que atraviesa todo el espesor (o altura) del cilindro. Es decir, no se trata de una ranura ciega, sino pasante. Pero bueno, cualquier otra interpretación, también sería válida, ya que la ranura no queda definida en el enunciado.

JCB fíjate que el volumen diferencial (superficie de revolución) cambia si esta o no presente la ranura en función del ángulo theta, en definitiva es la suma de dos términos uno con ranura y angulo \( \theta \) y otro sin ranura y ángulo \( 2\pi-\theta \)

Claro que sí, Richard, pero es que la expresión que indiqué en mi respuesta # 2, no es, ni mucho menos, la solución al ejercicio. Si lees mi respuesta, indiqué que "… empezaría por determinar el momento polar de inercia de un sector cilíndrico macizo (no sé si este es el nombre adecuado) con un ángulo \( \theta \), radio \( R \) y altura \( h \).". Es decir, la expresión es, repito, el momento de inercia de un sector cilíndrico macizo, respecto de un eje longitudinal que pasa por su arista. Date cuenta, Richard, que también es aplicable para un cilindro completo, sustituyendo \( \theta=2\pi \).

No quería entrar en detalles, pues una de las normas del foro es evitar dar una solución inmediata a la persona que presenta el ejercicio, para estimular el debate, pero voy a ir un poco más allá, sin llegar a la solución.

Siendo el radio exterior de la ranura \( r_e \) (como escribe delmar), el radio interior de la ranura \( r_i \), y a partir de la expresión general, puedo decir que el momento de inercia del cilindro con ranura (pasante), respecto de un eje que pasa por su centro (ojo, que no coincide con el cdm), es

\( I=2\pi\rho\dfrac{R^4}{4}h-\theta\rho\dfrac{r_e^4}{4}h+\theta\rho\dfrac{r_i^4}{4}h=\dfrac{\rho h}{4}(2\pi R^4-\theta r_e^4+\theta r_i^4) \)

Insisto en que ésta tampoco es la solución al ejercicio, pues no es respecto el eje que pasa por el cdm. Dejo la solución para otros participantes, esperando que también colabore el principal interesado, Acu.

Saludos cordiales,
JCB.

Respecto a tu respuesta, si esa es la expresión general del momento de inercia del cilindro con ranura (pasante), respecto de un eje que pasa por su centro

\( I=2\pi\rho\dfrac{R^4}{4}h-\theta\rho\dfrac{r_e^4}{4}h+\theta\rho\dfrac{r_i^4}{4}h=\dfrac{\rho h}{4}(2\pi R^4-\theta r_e^4+\theta r_i^4) \)
Una vez calculado con Steiner puedo calcularlo en su cdm ,¿no?. Donde \theta en mi caso sería \pi y la densidad no sé en este caso.

Muchas gracias

[JCB]

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Respecto a tu respuesta, si esa es la expresión general del momento de inercia del cilindro con ranura (pasante), respecto de un eje que pasa por su centro \( I=2\pi\rho\dfrac{R^4}{4}h-\theta\rho\dfrac{r_e^4}{4}h+\theta\rho\dfrac{r_i^4}{4}h=\dfrac{\rho h}{4}(2\pi R^4-\theta r_e^4+\theta r_i^4) \)
Una vez calculado con Steiner puedo calcularlo en su cdm ,¿no?. Donde \( \theta \) en mi caso sería \( \pi \) y la densidad no sé en este caso.
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Hola a tod@s.

Entiendo que querías decir, que una vez calculada la posición del cdm, se puede aplicar Steiner. Así es.

\( \theta \) es el ángulo que abarca la ranura (el que te indique el enunciado del ejercicio). Respecto a la densidad \( \rho \), lo mismo, la que te indique el enunciado.

Para llegar a la expresión de un sector cilíndrico macizo con un ángulo \( \theta \), radio \( R \) y altura \( h \) (respuesta # 2),
\( I=\displaystyle\int_{m}r^2dm \), donde \( dm=\rho dV=\rho dAh=\rho rdrd\theta h \)

\( I=\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}\displaystyle\int_{0}^{R}r^2\rho rdrd\theta h=(\theta_2-\theta_1)\rho\dfrac{R^4}{4}h=\theta\rho\dfrac{R^4}{4}h \)

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Una vez calculado con Steiner puedo calcularlo en su cdm ,¿no?. Donde \theta en mi caso sería \pi y la densidad no sé en este caso.

la densidad es \( \rho=\dfrac{M}{\displaystyle \int_V dv} \)

el volumen es el volumen del cilindro menos el el volumen de la ranura, es decir es una porción de profundidad h que puede coincidir o no con la longitud del cilindro L, que ocurra un arco de angulo theta comprendida  entre dos radio el exterior e interior \( V= \pi R^2L-\theta (r_e-r_i)h \)

como te indica JCB,  el amino mas fácil para calcular el momento de inercia que pasa por el CDM es calcular en polares el momento de inercia respecto del eje del cilindro y aplicar luego Steiner
si la densidad es constante

\( X_{cm}=\displaystyle\dfrac{\int_V r dv}{\int_V dv} \) pero hay que tener en cuenta la ranura , por lo que es mas fácil hallar el CDM de la ranura,y hacer un promedio ponderado de masa con el resto del cilindro

\(
X_{cm}=\dfrac{M_{cil}XCM_{cil}-m_{ran}xCM_{ran}}{M_{cil}-m_{ran}}
 \)

la masa faltante de la ranura es \( m_{ran}=\rho \theta (r_e^2-r_i^2)h/2 \)
Corregido 16/1/22

donde \( M =M_{cil}-m_{ran} \)

 como \( XCM_{cil}=R  \) lo que se corre del centro es

\(
\Delta x =\dfrac{m_{ran}}{M} R
 \)

Luego \( I_{CM}=I-M(\Delta x)^2 \) hay que recordar que el momento de inercia que pasa por el CM es un mínimo, por lo que el que pasa por el eje del cilindro es mayor al que pasa  por el CDM

queda por ver si sabes sacar el CDM de la ranura