[Acu]

Una vez calculado con Steiner puedo calcularlo en su cdm ,¿no?. Donde \theta en mi caso sería \pi y la densidad no sé en este caso.

la densidad es \( \rho=\dfrac{M}{\displaystyle \int_V dv} \)

el volumen es el volumen del cilindro menos el el volumen de la ranura, es decir es una porción de profundidad h que puede coincidir o no con la longitud del cilindro L, que ocurra un arco de angulo theta comprendida  entre dos radio el exterior e interior \( V= \pi R^2L-\theta (r_e-r_i)h \)

como te indica JCB,  el amino mas fácil para calcular el momento de inercia que pasa por el CDM es calcular en polares el momento de inercia respecto del eje del cilindro y aplicar luego Steiner
si la densidad es constante

\( X_{cm}=\displaystyle\dfrac{\int_V r dv}{\int_V dv} \) pero hay que tener en cuenta la ranura , por lo que es mas fácil hallar el CDM de la ranura,y hacer un promedio ponderado de masa con el resto del cilindro

\(
X_{cm}=\dfrac{M_{cil}XCM_{cil}-m_{ran}xCM_{ran}}{M_{cil}-m_{ran}}
 \)

la masa faltante de la ranura es \( m_{ran}=\rho \theta (r_e-r_i)h \)

donde \( M =M_{cil}-m_{ran} \)

 como \( XCM_{cil}=R  \) lo que se corre del centro es

\(
\Delta x =\dfrac{m_{ran}}{M} R
 \)

Luego \( I_{CM}=I-M(\Delta x)^2 \) hay que recordar que el momento de inercia que pasa por el CM es un mínimo, por lo que el que pasa por el eje del cilindro es mayor al que pasa  por el CDM

queda por ver si sabes sacar el CDM de la ranura

He planteado el calculo de CDM de la ranura con la integral la cual me da 2(Re-Ri)/\pi , ¿estaría correcto?, gracias

[Richard R Richard]

Sin muchas más aclaraciones a los datos faltantes voy a suponer para estar en sintonía con atrás propuestas que la ranura es pasante de lado a lado .


\( X_{CM}=\dfrac{2e\rho\int_{0}^{\theta/2}\int_{Ri}^{Re} r.r\cos\theta dr \,d\theta }{2e\rho\int_{0}^{\theta/2}\int_{Ri}^{Re}  r dr \,d\theta } \)


Que queda


\( X_{CM}=\dfrac{2\sin(\theta/2)(Re^3-Ri^3)/3}{\theta(Re^2-Ri^2)/2}  \)




Poca más simplificación se me ocurre. Por ahí los matemáticos del foro lo pueden simplificar más de lo que ahora veo

[JCB]

... / ...
\( X_{CM}=\dfrac{2e\rho\int_{0}^{\theta/2}\int_{Ri}^{Re} r.r\cos\theta dr \,d\theta }{2e\rho\int_{0}^{\theta/2}\int_{Ri}^{Re}  r dr \,d\theta } \)

Que queda

\( X_{CM}=\dfrac{2\sin(\theta/2)(Re^3-Ri^3)/3}{\theta(Re^2-Ri^2)/2}  \)
... / ...

Hola a tod@s.

He llegado a la siguiente expresión del cdm, considerando que la ranura está situada simétricamente respecto del eje \( Y \),

\( Y_G=\dfrac{-\dfrac{2}{3}(r_e^3-r_i^3)\sin\dfrac{\theta}{2}}{\pi R^2-\dfrac{\theta}{2}(r_e^2-r_i^2)} \)

De la expresión de Richard, me hace dudar que la posición del cdm, no dependa del radio \( (R) \) del cilindro.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola JCB no he seguido el cálculo, y no he podido checar,


Lo que calculé es el CDM de la ranura ,
Este se reemplaza en la fórmula del calculo del CDM de la pieza y luego obtienes cuanto es la diferencia respecto  del centro del cilindro.
 Ese desvío es el que usas con el teorema de Steiner.
Si vas hecho eso, habrá dado bien te repito con poco internet en el móvil por estar fuera, muy poco desarrollo puedo postear.

[JCB]

Hola a tod@s.

Entonces Richard, interpreté mal la expresión de tu respuesta # 11: pensaba que se refería al cdm del cilindro ranurado, y no al cdm de la ranura sola. Disculpa mi malentendido. Efectivamente, si considero el cdm de la ranura sola, también llego a que

\( Y_G=\dfrac{4(r_e^3-r_i^3)\sin\dfrac{\theta}{2}}{3\theta(r_e^2-r_i^2)} \) (ojo, ranura sola)

Finalmente, como \( I=\dfrac{\rho h}{4}(2\pi R^4-\theta r_e^4+\theta r_i^4)=\dfrac{\rho h}{4}[2\pi R^4+\theta(r_i^4-r_e^4)] \) (ver respuesta # 4), y empleando la expresión \( Y_G \) de la respuesta # 12,

\( I_G=I-mY_G^2=\dfrac{\rho h}{4}[2\pi R^4+\theta(r_i^4-r_e^4)]-\dfrac{4\rho h(r_e^3-r_i^3)^2\sin^2\dfrac{\theta}{2}}{9[\pi R^2+\dfrac{\theta}{2}(r_i^2-r_e^2)]} \)

Y ésta, seuo, sería la solución al ejercicio.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Coincido  en el resultado .Saludos