[Fernando Padilla]

Luego de la ecuación \( 14.19 \) hay un texto en parentesis : "Si quieren, pueden verificar derivando directamente las componentes, que esa integral para \( A \) satisface \( \nabla .A=0 \), en tanto sea \( \nabla.j=0 \), lo cual, como vimos, debe suceder para corrientes estacionarias".
Lo que entiendo respecto a la citado es lo siguiente,
Si: \( \nabla .j=0 \), entonces \( \frac{\Large{d(\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}{\int \frac{j_x(2)\, dV_2}{r_{12}}}})}{dx}+\frac{\Large{d(\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}{\int \frac{j_y(2)\, dV_2}{r_{12}}}})}{dy}+\frac{\Large{d(\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}{\int \frac{j_z(2)\, dV_2}{r_{12}}}})}{dz}=0 \).
De ser así, agradecería si me pudieran brindar algunas pautas para poder demostrarlo.

[robinlambada]

AÑADIDO: Hilo donde se contextualiza y resume la respuesta a este problema
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119237.msg479969#msg479969
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hola.

Luego de la ecuación \( 14.19 \) hay un texto en parentesis : "Si quieren, pueden verificar derivando directamente las componentes, que esa integral para \( A \) satisface \( \nabla .A=0 \), en tanto sea \( \nabla.j=0 \), lo cual, como vimos, debe suceder para corrientes estacionarias".
Lo que entiendo respecto a la citado es lo siguiente,
Si: \( \nabla .j=0 \), entonces \( \frac{\Large{d(\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}{\int \frac{j_x(2)\, dV_2}{r_{12}}}})}{dx}+\frac{\Large{d(\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}{\int \frac{j_y(2)\, dV_2}{r_{12}}}})}{dy}+\frac{\Large{d(\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}{\int \frac{j_z(2)\, dV_2}{r_{12}}}})}{dz}=0 \).
De ser así, agradecería si me pudieran brindar algunas pautas para poder demostrarlo.

La definición de divergencia la tienes mal, son derivadas parciales
 
\( \frac{\Large{\partial(\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}{\int \frac{j_x(2)\, dV_2}{r_{12}}}})}{\partial x}+\frac{ \Large{\partial(\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}{\int \frac{j_y(2)\, dV_2}{r_{12}}}})}{\partial y}+\frac{\Large{\partial (\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}{\int \frac{j_z(2)\, dV_2}{r_{12}}}})}{\partial z}=0 \)

para mi es más cómodo  usar para \( \vec{r}=\vec{r}_2=(x_1,x_2,x_3) \) el radiovector de posición del punto donde vamos a estudiar el potencial el punto (2)

Y \( \vec{r'}=\vec{r}_1=(x'_1,x'_2,x'_3) \)  por ello el vector \( \vec{r}_{12}=(x_1-x'_1,x_2-x'_2,x_3-x'_3) \)

  Estamos derivando respecto la variables No primadas y la integral es sobre las variables primadas, donde esta la densidad de corriente, la derivada pasa dentro de la integral.

  \( \vec{\nabla}\cdot{}\vec{A}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\displaystyle\sum_{i=1}^3{}\displaystyle\int  \displaystyle\frac{\partial_{x_i}(J_{x_i})r_{12}-J_{x_i}\partial_{x_i}(r_{12})}{r^2_{12}}dV \)

Puedes comprobar que: \( \partial_{x_i}(r_{12})=\displaystyle\frac{(x_i-x'_i)}{\sqrt[ ]{\sum {}(x_i-x'_i)^2}}=\displaystyle\frac{(x_i-x'_i)}{r_{12}} \)

Introduciéndolo en la integral:


  \( \vec{\nabla}\cdot{}\vec{A}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\displaystyle\sum_{i=1}^3{}\displaystyle\int  \displaystyle\frac{\partial_{x_i}(J_{x_i})r_{12}-J_{x_i}\displaystyle\frac{(x_i-x'_i)}{r_{12}}}{r^2_{12}}dV \)

Agrupando términos:

\( \vec{\nabla}\cdot{}\vec{A}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\displaystyle\int  \displaystyle\frac{r_{12}\vec{\nabla}\cdot{}\vec{J}-\vec{J}\cdot{}\displaystyle\frac{\vec{r_{12}}}{r_{12}}}{r^2_{12}}dV \)

Solo faltaría probar que: \( \displaystyle\int  \displaystyle\frac{\vec{J}\cdot{}\hat{e}_{r}}{r^2_{12}}dV \) ,  con \( \hat{e}_{r}=\displaystyle\frac{\vec{r_{12}}}{r_{12}} \)

Debe ser cero por alguna razón física, yo no he trabajado nunca con el potencial vector, debería ver por que la segunda integral debe ser cero, en principio no tienen por que ser ortogonales \( \vec{J}\text{  y  }\hat{e}_{r} \) ni encuentro razón a simple vista para que la integral sea cero, no veo ninguna posible simetría al integrar.

Quizás he cometido algún error.

De todas formas y teniendo estos temas muy olvidados, pienso que la divergencia de la densidad de corriente respecto a las variables no primadas debe ser cero, ya que según entiendo ya densidad de corriente no depende de estas , sino que depende de la posición de las variables del conductor , es decir las variables primadas.

De todas formas , es mejor que lo revises y a ver que opinan los demás.

Saludos.
P.D.: CORREGIDO. ( he eliminado un factor 2 erróneo que multiplicaba al al término \( (x_i-x'_i) \)

[Samir M.]

Hola.

\( \nabla \cdot J = 0 \) se verifica para corrientes estacionarias o constantes. De hecho, es parte de la condición de que la carga neta se conserva (y se deduce de ahí). Para comprobar que la integral es nula, observa que

\( \displaystyle \nabla \cdot A(1)=\nabla  \cdot \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \frac{\boldsymbol{j}(2) d V_{2}}{r_{12}} \right ) = \frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int  \nabla \cdot \frac{ d V_{2}}{r_{12}}  \) y nota que \( \displaystyle \nabla \cdot\left(\frac{d V_{2}}{r_{12}}\right)=d V_{2} \cdot \nabla\left(\frac{1}{r_{12}}\right)+\frac{1}{r_{12}}\left(\nabla \cdot d V_{2}\right)=-\nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \cdot d V_{2}  \) puesto que \( \nabla \cdot d V_{2}=0 \) ya que  \( d V_{2} \) es constante respecto de las componentes de \( \vec{r}_{12} \) (mira la nota al final del post si tienes dudas de esto) (esta aproximación obviamente no se cumple a pequeña escala y la integral y casi toda la electrodinámica de campos deja de cumplirse).

Mejor ignorad las siguientes dos líneas.

Ahora, reescribiendo la integral con esto último, usando el teorema de stokes  y que el rotacional de un gradiente es cero, obtienes el resultado:

\( \displaystyle \frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int  \nabla \cdot \frac{ d V_{2}}{r_{12}} = -\frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int  \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \cdot d V_{2} \underbrace{=}_{\text{stokes}} -\frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \underbrace{\nabla^{\prime} \times \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right)}_{=0} \cdot d^4\tau   = 0   \).

Nota: \(  \nabla^{\prime} \) hace referencia a que evalúa el operador \( \nabla \) respecto de las coordenadas de \( dV_2 \) (implícitamente, lo que significa es que \( {\vec{r}\,}'
 \) es el vector que va desde el origen al elemento \( dV_2 \), \( \vec{r} \) es el vector que va desde el origen al extremo final de \( \vec{r}_{12} \), y \( \vec{r}_{12} = \vec{r} - {\vec{r}\,}'  \). Naturalmente, las coordenadas de \( {\vec{r}\,}' \) y \( \vec{r} \) son independientes, y así \( \nabla ({{r}\,}') = \nabla^{\prime} {r} = 0 \))

Saludos.

[Fernando Padilla]

Hola.

Robinlambada gracias por responder, vi tu respuesta y no me había dado cuenta que estaba interpretando mal respecto a que esta tomando las divergencias, muchas gracias.

Samir tambien muchas gracias por responder, encuentro algo de dificultad en entender la siguiente igualdad que pusiste :
 

\( -\frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int  \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \cdot d V_{2} \underbrace{=}_{\text{stokes}} -\frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \underbrace{\nabla^{\prime} \times \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right)}_{=0} \cdot d^4\tau   \)

* ¿Por qué \( d^4\tau \) y qué es el \( \tau \)?

Saludos.

[Samir M.]

Es por el teorema de stokes. Imagínate que tenemos una superficie suave \( S \) en \( \Bbb{R}^3 \) cuya frontera es \( \partial S \), y un campo \( F \) definido en un abierto que contiene a \( S \). El teorema de stokes nos dice que \( \displaystyle \int_{\partial S} F \cdot dr = \int_S (\nabla \times F) \cdot dS  \). Fíjate que hemos pasado de un diferencial unidimensional (\( dr) \) a uno bidimensional (\( dS \)). Si aplicas esto a la integral que has preguntado, la integral de la izquierda del teorema de stokes estaría evaluada en un volumen de 3 dimensiones con (por ejemplo) \( dV = dxdydz \) y con este volumen siendo la frontera del hipervolumen en el que estaría evaluada la integral de la derecha, con un diferencial (por ejemplo) \( d\tau =dxdydzdw \).

Pd: En nuestro caso \( F=\nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \)

Saludos.

[robinlambada]

Hola Samir, le alegra coincidir contigo en el foro.

Hola.

\( \nabla \cdot J = 0 \) se verifica para corrientes estacionarias o constantes. De hecho, es parte de la condición de que la carga neta se conserva (y se deduce de ahí). Para comprobar que la integral es nula, observa que

\( \displaystyle \nabla \cdot A(1)=\nabla  \cdot \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \frac{\boldsymbol{j}(2) d V_{2}}{r_{12}} \right ) = \frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int  \nabla \cdot \frac{ d V_{2}}{r_{12}}  \)

Entiendo que estas suponiendo que la densidad de corriente es constante y por ello la sacas fuera de la integral

y nota que \( \displaystyle \nabla \cdot\left(\frac{d V_{2}}{r_{12}}\right)=d V_{2} \cdot \nabla\left(\frac{1}{r_{12}}\right)+\frac{1}{r_{12}}\left(\nabla \cdot d V_{2}\right)=-\nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \cdot d V_{2}  \)

O no he comprendido el desarrollo o estás dando un carácter vectorial a \( dV_2 \) que no tiene , en cartesianas \( dV_2=dx'dy'dz' \)

Ahora, reescribiendo la integral con esto último, usando el teorema de stokes  y que el rotacional de un gradiente es cero, obtienes el resultado:

\( \displaystyle \frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int  \nabla \cdot \frac{ d V_{2}}{r_{12}} = -\frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int  \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \cdot d V_{2} \underbrace{=}_{\text{stokes}} -\frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \underbrace{\nabla^{\prime} \times \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right)}_{=0} \cdot d^4\tau   = 0   \).

Nota: \(  \nabla^{\prime} \) hace referencia a que evalúa el operador \( \nabla \) respecto de las coordenadas de \( dV_2 \) (implícitamente, lo que significa es que \( {\vec{r}\,}'
 \) es el vector que va desde el origen al elemento \( dV_2 \), \( \vec{r} \) es el vector que va desde el origen al extremo final de \( \vec{r}_{12} \), y \( \vec{r}_{12} = \vec{r} - {\vec{r}\,}'  \). Naturalmente, las coordenadas de \( {\vec{r}\,}' \) y \( \vec{r} \) son independientes, y así \( \nabla ({{r}\,}') = \nabla^{\prime} {r} = 0 \))

Saludos.

Dimensionalmente no me cuadra que saque fuera la densidad de corriente ya que la divergencia del potencial vector debe ser un escalar y si no he entendido mal, tu desarrollo da un vector proporcional (paralelo) a la densidad de corriente, ya que la integral es un escalar.

Yo creo que quedaría esto.

\(  \vec{\nabla}\cdot{}\vec{A}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\displaystyle\int  \displaystyle\frac{r_{12}\vec{\nabla}\cdot{}\vec{J}-\vec{J}\cdot{}\displaystyle\frac{\vec{r_{12}}}{r_{12}}}{r^2_{12}}dV \)

Y puesto que  \( \vec{\nabla}\cdot{}\vec{J}=0 \) ya que \( \vec{J} \) no es función de  \( (x,y,z) \) sino de las variables primas.
 y \( -\displaystyle\frac{\vec{r_{12}}}{r^3_{12}}=\nabla\left(\frac{1}{r_{12}}\right)=-\nabla '\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \) ,
Quedaría

\(  \vec{\nabla}\cdot{}\vec{A}=-\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \displaystyle\int  \vec{J}(2)\cdot \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) d V_{2} \)

Aquí no tengo muy claro si se puede aplicar Stokes.

Parece ser que usando el teorema de Gauss generalizado si obtenemos lo predicho.

\(  \vec{\nabla}\cdot{}\vec{A}=-\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \displaystyle\int  \vec{J}(2)\cdot \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) d V_{2}=-\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \displaystyle\int  \nabla^{\prime}\cdot{}\vec{J}\,d^4\tau \)

Hemos supuesto que \( \nabla^{\prime}\cdot{}\vec{J}=0 \)

Saludos.

P.D.: Faltaría probar  \( \displaystyle\frac{\vec{r_{12}}}{r^3_{12}}=\nabla '\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \) es normal al volumen de integración , no se si es suficiente con el hecho de que es paralelo a \( \vec{r_{12}}  \)

Añadido: Para aplicar el teorema de Gauss debemos tener un una superficie en \( \mathbb{R}^4 \) cerrada, podría ser la hipersuperficie ( 3 dimensiones) de una esfera de 4 dimensiones centrada en el punto donde evaluamos el campo en \( r=(x,y,z) \), que incluya el volumen  \( V_2 \) donde hay  la densidad de corriente J

Como fuera de las fuentes de corriente  \( V_2 \) la densidad de corriente es cero , la integral se limitaría al volumen \( V_2 \)

Entonces con esta hipersuperfice esférica, tenemos que \( \displaystyle\frac{\vec{r_{12}}}{r^3_{12}}=\nabla '\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \) es normal hipersuperfice esférica

[geómetracat]

No me he mirado el hilo con mucho detalle, pero no veo nada claro que se pueda usar aquí el teorema de Stokes para pasar de una integral 3D a una 4D como pretendéis. Para ello sería necesario que la integral de volumen fuera una integral a una \[ 3 \]-variedad sin borde, pero aquí son usualmente con borde.
La cuestión es que el teorema de Stokes dice que:
\[ \int_M d\alpha = \int_{\partial M} \alpha \]
Pero si \[ M \] es una variedad de dimensión \[ 4 \] con borde, entonces necesariamente \[ \partial M \] es una \[ 3 \]-variedad sin borde.

El problema es análogo al hecho de que no se puede usar el teorema de Stokes 2D para pasar de una integral de línea abierta (donde el camino no es cerrado) a una integral de superfície.

[robinlambada]

Hola.

No me he mirado el hilo con mucho detalle, pero no veo nada claro que se pueda usar aquí el teorema de Stokes para pasar de una integral 3D a una 4D como pretendéis. Para ello sería necesario que la integral de volumen fuera una integral a una \[ 3 \]-variedad sin borde, pero aquí son usualmente con borde.
La cuestión es que el teorema de Stokes dice que:
\[ \int_M d\alpha = \int_{\partial M} \alpha \]
Pero si \[ M \] es una variedad de dimensión \[ 4 \] con borde, entonces necesariamente \[ \partial M \] es una \[ 3 \]-variedad sin borde.

El problema es análogo al hecho de que no se puede usar el teorema de Stokes 2D para pasar de una integral de línea abierta (donde el camino no es cerrado) a una integral de superfície.

No se si con el pretendéis me estas incluyendo, por si acaso.

Antes También opine lo mismo al respecto.

Aquí no tengo muy claro si se puede aplicar Stokes.

Parece ser que usando el teorema de Gauss generalizado si obtenemos lo predicho.

\(  \vec{\nabla}\cdot{}\vec{A}=-\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \displaystyle\int  \vec{J}(2)\cdot \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) d V_{2}=-\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \displaystyle\int  \nabla^{\prime}\cdot{}\vec{J}\,d^4\tau \)

Hemos supuesto que \( \nabla^{\prime}\cdot{}\vec{J}=0 \)

Saludos.

[geómetracat]

No se si con el pretendéis me estas incluyendo, por si acaso.

Antes También opine lo mismo al respecto.

Aquí no tengo muy claro si se puede aplicar Stokes.

Parece ser que usando el teorema de Gauss generalizado si obtenemos lo predicho.

\(  \vec{\nabla}\cdot{}\vec{A}=-\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \displaystyle\int  \vec{J}(2)\cdot \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) d V_{2}=-\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \displaystyle\int  \nabla^{\prime}\cdot{}\vec{J}\,d^4\tau \)

Hemos supuesto que \( \nabla^{\prime}\cdot{}\vec{J}=0 \)

Saludos.

Pues sí, no he leído con mucho cuidado, he visto que ahí acabas en una integral en 4D y pensaba que era lo mismo. Pero en esa cita la duda que tengo con esto es: ¿a qué llamas teorema de Gauss generalizado? No veo de dónde sale eso.


Yo diría que se puede usar el teorema de Gauss habitual. A partir de donde ha llegado robinlambdada:

\(  \vec{\nabla}\cdot{}\vec{A}=-\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \displaystyle\int  \vec{J}(2)\cdot \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) d V_{2} \)

Como estamos suponiendo que \[ \nabla \cdot \vec{J} = 0 \], tenemos que de hecho \[  \vec{J}(2)\cdot \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) =  \nabla^{\prime}\cdot \left(\frac{\vec{J}(2)}{r_{12}}\right) \]. Y ahora sí podemos pasar a una integral de superfície usando Gauss:
\(  \vec{\nabla}\cdot{}\vec{A}=-\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \displaystyle\int_V  \nabla^{\prime}\cdot\left(\frac{ \vec{J}(2)}{r_{12}}\right) d V_{2} =-\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}}\int_S\frac{ \vec{J}(2)}{r_{12}} \cdot d\vec{S}  \)
donde \[ S \] es el borde del volumen de integración \[ V \].

Ahora la pregunta es, ¿esa última integral debería ser \[ 0 \] por motivos físicos? Si \[ \vec{J} \] es no nulo solamente en una región finita del espacio está claro que sí, pues siempre se puede extender el volumen de manera que en el borde \[ \vec{J} \] se anule. En otro caso quizás hay que hacer hipótesis como que \[ \vec{J} \] decrezca lo suficientemente rápido al irse a infinito, pero esto ya son especulaciones.

[Samir M.]

Sinceramente lo que hice fue generalizar el caso unidimensional  (corrientes filamentales) al caso tridimensional directamente (densidades de corriente), sin prestar mucha atención a los detalles. Luego a la noche le echo un ojo a ver.

Saludos.