Hola.
Y hola robinlambada, me alegra también coincidir de nuevo contigo en el foro
Mucho tiempo!
A ver respecto del post... Lo que yo había hecho fue esto: para una corriente filamental tendríamos que, aplicando el mismo desarrollo que en mi primer post:
\( \displaystyle \nabla \cdot \mathbf{A}=\nabla \cdot\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \oint_{C^{\prime}} \frac{I^{\prime} d \mathbf{s}^{\prime}}{R}\right)\underbrace{=}_{\text{ I' corriente estacionaria}}\frac{\mu_{0} I^{\prime}}{4 \pi} \oint_{C^{\prime}} \nabla \cdot\left(\frac{d \mathbf{s}^{\prime}}{R}\right) = -\frac{\mu_{0} I^{\prime}}{4 \pi} \oint_{C^{\prime}} \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{R}\right) \cdot d \mathbf{s}^{\prime}\underbrace{=}_{\text{stokes}}-\frac{\mu_{0} I^{\prime}}{4 \pi} \int_{S^{\prime}}\left[\nabla^{\prime} \times \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{R}\right)\right] \cdot d \mathbf{a}^{\prime} = 0 \)
Y generalicé ese resultado para distribuciones de densidades de corriente asumiendo que ésta se podía dividir en sus componentes escalares y aplicar el mismo resultado a cada una de sus componentes. Sí que es cierto que, como comenta geometracat, necesitas una 3-variedad sin borde, pero es lo que yo asumí, puesto que en alguna de las páginas anteriores vi que se evaluaban esas integrales sobre todo el espacio pero pensándolo bien no sé, no tiene mucho sentido porque esa integral se cumple también para volúmenes finitos. Así que un desarrollo alternativo sería este:
Reescribamos la integral dada como \( \displaystyle -\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \boldsymbol{j}(2) \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \cdot d V_{2} \) siguiendo los pasos de mi primer post. Me deshago de las constantes antes de la integral que molestan, y para el siguiente análisis no influyen en nada, y reescribo la integral sin más como \( \displaystyle \int \boldsymbol{j}(2) \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \cdot d V_{2} \). Ahora, dado un abierto \( V_2 \subset \Bbb R^n \) (en este caso \( n=3 \) pero así queda la generalización para dimensiones superiores aunque ahora que lo pienso no sé qué significado tendría esto en física jeje) con frontera \( \Gamma=\partial V_2 \) entonces la integración por partes sobre \( \mathbf{F} \cdot \nabla u \) nos dice que
\( \displaystyle \int_{V_2}\mathbf{F} \cdot \nabla u \space d V_2 =\int_{\Gamma} u \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{n}} d \Gamma-\int_{V_2} u \nabla \cdot \mathbf{F} d V_2 \)
Identificando el volumen sobre el que se integra en la integral dada como \( V_2 \) e identificando \( u \to \frac{1}{r_{12}} \) y \( \mathbf{F} \to \boldsymbol{j}(2) \) tenemos que
\( \displaystyle \int_{V_2} \boldsymbol{j}(2) \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) d V_{2} = \int _{\Gamma}\frac{\boldsymbol{j}(2)}{r_{12}} \cdot \hat{\mathbf{n}} d \Gamma - \int_{V_2} \frac{1}{r_{12}} \nabla \cdot \boldsymbol{j}(2) d V_{2} \)
Ahora bien, \( \boldsymbol{j}(2) \) es una corriente estacionaria y como el volumen \( V_2 \) debe encerrar a todas las corrientes que generan el vector potencial \( \boldsymbol{A} \), podemos hacer \( V_2 \) suficientemente grande (\( V_2 \to \infty) \) tal que la densidad de corriente no cruza la frontera \( \Gamma \), esto es, la densidad de corriente en la frontera de \( V_2 \), \( \Gamma \), es nula, luego la integral \( \displaystyle \int _{\Gamma}\frac{\boldsymbol{j}(2)}{r_{12}} \cdot \hat{\mathbf{n}} d \Gamma \) es cero. La otra integral también es cero pues \( \nabla \cdot \boldsymbol{j}(2) = 0 \) y esto es porque las componentes de \( \nabla \) que operan sobre \( \boldsymbol{j}(2) \) darán cero pues \( \boldsymbol{j}(2) \) depende de las componentes del vector \( \vec{r}\,' \) mientras que \( \nabla \) depende de las componentes del vector \( \vec{r}_{12} \), y así \( \displaystyle \int_{V_2} \boldsymbol{j}(2) \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \cdot d V_{2} = 0 \) y \( \nabla \cdot \boldsymbol{A} = 0 \)
Pd: Leyendo vuestros posts me he dado cuenta que en el fondo hemos hecho lo mismo (que en este post me refiero).
Saludos.
