$$\def\N{\mathbb{N}}\def\R{\mathbb{R}}$$En la 4a edición de
Introduction to Real Analysis de R. G. Bartle aparece la siguiente definición del
límite superior de una sucesión acotada $$(x_n)$$:
The limit superior of $$(x_n)$$ is the infimum of the set $$V$$ of $$v\in\R$$ such that $$v < x_n$$ for at most a finite number of $$n\in\N$$. It is denoted by $$\limsup x_n$$...Unos renglones más abajo aparece el teorema 3.4.11, que proporciona caracterizaciones alternativas de $$\limsup x_n$$:
If $$(x_n)$$ is a bounded sequence of real numbers, then the following statements for a real number $$x^*$$ are equivalent.
(a) $$x^* = \limsup x_n$$.
(b) If $$\epsilon > 0$$, there are at most a finite number of $$n\in\N$$ such that $$x^* + \epsilon < x_n$$, but an infinite number of $$n\in\N$$ such that $$x^* - \epsilon < x_n$$.
Aparecen otros dos apartados en el teorema, pero lo que me interesa consultar con ustedes es la demostración de la implicación (a) $$\Rightarrow$$ (b), que en el libro citado procede de la siguiente manera:
If $$\epsilon > 0$$, then the fact that $$x^*$$ is an infimum implies that there exists a $$v$$ in $$V$$ such that $$x^* \leq v < x^* + \epsilon$$. Therefore $$x^*$$ also belongs to $$V$$, so there can be at most a finite number of $$n\in\N$$ such that $$x^* + \epsilon < x_n$$.Con el resto del argumento (que demuestra que $$x^* - \epsilon < x_n$$ para un número infinito de $$n\in\N$$) no tengo problema, así que lo he omitido. En la demostración de arriba he indicado en rojo la parte que me dejó un rato confundido, hasta que me convencí de que era una pequeña errata. Por supuesto, como soy muy novato en esto, me gustaría corroborar con ustedes que en efecto se trata de un error. Yo lo que he razonado es lo siguiente:
Si $$x_n = 1/n$$, entonces $$x^* = \limsup x_n = 0$$, y no es cierto que $$0\in V$$ (tomando $$V$$ como Bartle en su definición de $$\limsup$$), pues de hecho $$0 < 1/n$$ para todo $$n\in\N$$, y no a lo sumo para un número finito de $$n\in\N$$. Tenemos entonces un contraejemplo a lo que se afirma en la demostración del teorema, ¿cierto?
Creo que lo que quiso escribir Bartle era que $$x^* + \epsilon$$ está en $$V$$, y no que $$x^*$$ está en $$V$$, por que eso es claramente cierto (si $$v\in V$$ y $$v' \geq v$$ entonces $$v'\in V$$), y significa precisamente que $$x^* + \epsilon < x_n$$ a lo sumo para un número finito de $$n\in\N$$.
¿Cómo lo ven ustedes? ¿Hay algo que no estoy viendo?
He adjuntado una imagen con la parte del libro donde se encuentra lo que he citado, por si quieren corroborar que mi transcripción fue correcta:
Saludos.
