Hola tengo dudas con este ejercicio
Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial \( v_0 \). Ver figura Si la dirección positiva se toma hacia arriba, entonces cuando no hay resistencia del aire, la ecuación diferencial para la velocidad y después del momento de ignición es
\( v\displaystyle\frac{dv}{dy} = - \displaystyle\frac{k}{y^2} \)
donde \( k \) es constatante positiva
a) Resuelva la ecuación diferencial.
b) Si \( k = gR^2 \) y \( g = 32 \) \( [pies/s^2] \),\( R = 4 000 \) \( [mi] \), use una calculadora para demostrar que la “velocidad de escape” de un cohete es aproximadamente \( v_0 = 25 000 \) \( [mi/h] \).
Lo que he hecho:
Para la parte a
\( v\displaystyle\frac{dv}{dy} = - \displaystyle\frac{k}{y^2} \)
\( vdv = - \displaystyle\frac{k}{y^2}dy \)
- Integrando
\( \displaystyle\int_{}^{} vdv = \displaystyle\int_{}^{} - \displaystyle\frac{k}{y^2}dy \)
\( \displaystyle\int_{}^{} vdv = -k \displaystyle\int_{}^{} y^{-2}dy \)
\( \displaystyle\frac{v^2}{2} = \displaystyle\frac{k}{y} + c \)
Finalmente despejando \( v \)
\( v(y) = \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2k}{y}} + c \)
Tengo dudas en como encontrar \( c \) ya que dice que se lanza verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial \( v_0 \).
Eso quiere decir que \( v=v_0 \) e \( y=0 \) pero el \( y \) esta en el denominador entonces se indefine.
Y para la parte b ¿es solo reemplazar en \( v(y) \)?
Muchas gracias
