[Richard R Richard]

Una misión  espacial sobre un cohete.

La idea de esta y las siguientes entradas relacionadas es brindar los fundamentos básicos físicos,un compendio de información de diversas fuentes, para entender la complejidad matemática de la modelización y cálculo de trayectorias de vehículos impulsados por motor cohete. No voy a entrar en el diseño de los motores sino que daré por descontado que podríamos disponer de los datos básicos experimentales   como masa, volumen,  potencia, consumos, velocidad media de los gases expulsados etc, para cada ejemplo propuesto.

1)    El modelo sencillo: un sistema de masa variable.

Cuando  queremos describir el movimiento de los cohetes por medio de la mecánica Newtoniana, lo hacemos  en primera medida  por medio  de un '''sistema de masa variable'''.

Un sistema de masa variable , justamente es aquel en el que la masa total  del conjunto de materiales que lo componen  varía con el tiempo. los cohetes pierden una cantidad significativa de masa a medida que queman el combustible, son por supuesto un sistema de masa variable.En estos modelos la segunda ley de Newton \(   \sum F= m a  \)  no se puede aplicar directamente dado que sólo es válida para sistemas de masa constante, por lo tanto, la dependencia de la masa  \( m \) respecto del tiempo \( t \), se puede calcular reescribiendo la segunda ley de Newton añadiendo un término que considera el momento lineal de la  masa que entra o sale del sistema.
Entonces, la ecuación general de movimiento de una masa variable, puede escribirse como:

\(   \vec F_{ext} + \vec v_{rel}\dfrac{d M}{dt} = M \dfrac{d \vec v }{ dt} \)

Donde \( \vec F_ {ext} \) es la fuerza neta externa ejercida en el cuerpo, \( v_{rel} \) es la velocidad relativa de la masa que está escapando (combustible mas comburentes quemados) también llamada  velocidad efectiva de escape  y  denominada como \( v_e \) y por último  \( v \)  es la velocidad del cuerpo del cohete  en un sistema de referencia inercial.Antes de que surja la controversia hay que aclarar que  un sistema de masa variable “no” puede describirse como la derivada respecto del tiempo del producto de la masa con la velocidad, Por dos razones el sistema no es cerrado: como el del cohete que pierde combustible y eyecta gases a distintas velocidades en el  sistema de referencia, no se puede tratar a la masa como una variable en función del tiempo. La fuerza es el cambio en el momento lineal respecto del tiempo. Pero si bien la fuerza sigue siendo el cambio de momento lineal, el momento ya no puede describirse como el producto de masa con la velocidad, sino que se agrega un término nuevo , resultando que se no respeta la invariancia galileana la cual sostiene que un objeto de masa variable con \(   F=0  \) en un marco de referencia inercial, tendrá \(   F\neq 0  \) en otro. Así que  no es correcta derivar expresiones a partir de

\( \cancel{\vec F_{net}= \dfrac{d}{dt}\big [ M_{(t)}\vec v_{(t)}\big ] = M_{(t)} \dfrac{d\ vec v}{dt} + \vec v_{(t)} \dfrac{dM}{dt}} \)

Voy a tratar de  obtener y resolver la ecuación de movimiento de un cohete considerando las ´ fuerzas externas que actúan sobre  él  la función obtenida será dependiente de la variable tiempo. Para estos sistemas tenemos que partir de la forma más general posible de la segunda ley de newton, permitiendo que actue una fuerza externa  \(    \vec F_ { ext} \) en el sistema. Esta fuerza no es la fuerza que impulsa al cohete (la cual es una fuerza interna para el sistema ), si no es mas bien la fuerza producida de ´ algún agente externo al sistema, que pueden ser la fuerza de ´ gravedad que ejerce la tierra o el rozamiento con el aire. Entonces la segunda ley puede expresarse como:

\(    \vec F_ { ext} = \lim\limits_{ \Delta t \to 0} \dfrac{\Delta P}{\Delta t} \)

Hagamos la siguiente consideración el cohete esta en el espacio ingrávido, se cumple la primera ley de Newton que dado un determinado marco de referencia el cohete puede estar en reposo o moverse en MRU a velocidad constante.  Así la cantidad de movimiento inicial del cohete es \(  p_i=Mv_i   \)
Luego  En el intervalo de tiempo \(  \Delta t   \), ocurrirá  un cambio del momento lineal \(  \Delta P   \)
Sabemos que un instante de tiempo posterior \(  \Delta t   \), la masa que originalmente había M ha arrojado cierta cantidad de masa \( - \Delta M   \). La masa restante \(  M +\Delta M  \),  se mueve ahora con una velocidad \(    v + \Delta \vec v \).

Como \(  \Delta P = \vec p_f – \vec p_i \) . Donde  \(  \vec p_f  \)es el momento final del sistema , en el instante de tiempo \( t + \Delta t  \), y \( p_i \) el momento inicial en el instante  \( t \), entonces

\(  \vec p_f = (M + \Delta M)( \vec v + \Delta \vec v) + (−\Delta M) \vec u  \),

El cambio del momento es
\( \Delta \vec P = (M + \Delta M)( \vec v + \Delta \vec v) + (−\Delta M) \vec u − M\vec v \).

Sustituyendo la expresión  del  cambio del momento en la ´primer ecuación, obtenemos

\( \sum \vec F_ {ext}=\lim\limits_{\Delta t \to 0} M \dfrac{\Delta \vec v }{\Delta t} + \vec v\dfrac{\Delta M}{\Delta t} + \overbrace{\Delta \vec v \dfrac{\Delta M}{ \Delta t}}^{=0} – \vec u\dfrac{\Delta M }{\Delta t} \)

De lo que se obtiene:

\( \sum  \vec F_ {ext} = M \dfrac{d\vec v}{ dt} + (\vec v –\vec u) \dfrac{dM}{ dt} \)

podemos identificar que el primer término \( d\vec v/dt \) es la aceleración del sistema  cuando empieza a perder masa a una velocidad \( \vec u \) a una tasa de \( |dM /dt| \)
Para ver si en verdad la expresión es la versión mas general de la segunda ley de Newton, basta con identificar algunos términos y ponerlos como la derivada del producto de las funciones de v y M.
Para así obtener:
\( \vec F_{ext}= \dfrac{d (M\vec v)}{dt} −\vec u\dfrac{dM}{ dt}  \)

Llamando velocidad relativa de  los gases  respecto al cohete a
\( \vec  u_{rel}= \vec v- \vec u \)

Así que podemos escribir la ecuación como:
\( \vec  F_{ext} = M \dfrac{d\vec v}{ dt} + \vec  u_{rel} \dfrac{dM}{ dt} \) .
Cuando el cohete esta en el espacio ingrávido la sumatoria de fuerzas exteriores al sistema es nula \( \vec  F_{ext}=\vec 0  \)
Por lo que trabajando con modulos ahora
\( 0 = M \dfrac{d v}{ dt} +   u_{rel} \dfrac{dM}{ dt} \)

Luego \( M \dfrac{d v}{ dt} =-   u_{rel} \dfrac{dM}{ dt} \)

\(  \dfrac{d v}{ dt} =-   u_{rel} \dfrac{dM}{ M dt} \)

Si sabemos que M es en todo momento \( M=M_o-Ct \) donde \( C \) es el consumo de másico de combustible mas comburente del cohete.
Entonces

\( \dfrac{dM}{dt}=-C \)

\( \displaystyle \int_{v}^{v_o} d v=-   u_{rel}\int_{Mo}^{M} \dfrac{dM}{ M } \)

\( v-v_o=-u_{rel}\ln\left|1-\dfrac{C}{M}t\right|  \)

Así tenemos la velocidad en función el tiempo , de modo similar obtenida a la ecuación del cohete de Tsiolkovski 

Si queremos saber la posición entonces hacemos \( v=\dfrac{dy}{dt} \) y volvemos a integrar

\( y(t)=y_o+(v_o+u_r)t+u_r\dfrac{M_o-Ct}{C}\ln{\left|1-\dfrac{C}{M}t \right |} \)


Dejo para los interesados Probar la veracidad de las ecuaciones o mejorar la deducción aclarando los pasos intermedios.

Próximos temas


1.    El modelo sencillo: un sistema de masa variable.   

2.     Un modelo con gravedad 
3.     Un modelo con fricción.   
4.     Un modelo con gravedad variable   
5.     Un modelo con fricción variable, aerodinamía.   
6.     Argumentos para optimizar.   
7.     Ventanas de lanzamiento,fuerzas ficticias, navegación   
8.     Orbitas, definiciones, estimación, formulación.   
9.     Leyes de conservación, que se conserva y que no.   
10.   Consumo energético para el cambio de orbitas   
11.   Orbitas de transferencia   
12.   Sistema Tierra Luna , problema de los dos cuerpos.   
13.   Puntos de Lagrange de un sistema binario de tres cuerpos   
14.   Asistencia gravitatoria
15.   Reentrada atmosférica.
16.   Una pincelada relativista

Pd No se porque es tan dificil y cambiante el formateo del texto escrito en RM. quitar esos [size] que aparecen por doquier [/size]

[sugata]

Curioso que el tema de la masa variable no permita la derivación....
Lo he leido obviando un poco las ecuaciones, ya que voy camino al trabajo, pero me lo voy a devorar todo hoy.
Me parece muy interesante y eso que soy muy torpe con la matemática aplicada. (Física y estadística es lo que peor se me daba...)

[robinlambada]

Hola.

Si queremos saber la posición entonces hacemos \( v=\dfrac{dy}{dt} \) y volvemos a integrar [/size] \( y(t)=y_o+(v_o+u_r)t+\dfrac{M_o-Ct}{C}\ln{\left|1-\dfrac{C}{M}t \right |} \)  Dejo para los interesados Probar la veracidad de las ecuaciones o mejorar la deducción aclarando los pasos intermedios.Próximos temas

Tienes un error de cálculo en la obtención del desplazamiento del cohete en función del tiempo, te falta la velocidad relativa de los gases en el tercer sumando de la ecuación y(t).

Sería: \( y(t)=y_o+(v_o+u_r)t+\color{blue}u_r\color{black}\dfrac{M_o-Ct}{C}\ln{\left|1-\dfrac{C}{M}t \right |} \) 

Dimensionálmente ahora si es correcta y se corresponde con la expresión que halle en este hilo que adjunto. ( La diferencia es solo que yo tomé el sentido opuesto para la velocidad relativa de los gases \( v'_g=-u_r \))
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=110220.msg436133#msg436133

Saludos.

P.D.: En el Spoiler deje como integre la expresión.

[robinlambada]

Incluir la gravedad para pequeños desplazamientos respecto a la distancia al centro de la Tierra, es decir considerar la gravedad constante, no tiene mayor dificultad que agregar un término lineal a la velocidad y otro cuadrático a la altura alcanzada ( añadir un movimiento uniformemente acelerado)

Quedando: 

\( v=v_o -gt-u_{rel}\ln\left|1-\dfrac{C}{m_o}t\right| \)
\( y(t)=y_o+(v_o+u_r)t - g\displaystyle\frac{t^2}{2}+u_r\dfrac{m_o-Ct}{C}\ln{\left|1-\dfrac{C}{m_o}t \right |} \)

Cuando consideramos el caso general con la gravedad variable, entonces la ecuación diferencial se complica bastante.

Quedaría: \( y''+ \displaystyle\frac{g}{\left({1+\displaystyle\frac{y}{R_T}}\right)^2}=\displaystyle\frac{Cu_r}{m_o-Ct} \)

Que no tiene fácil solución. Se puede linealizar para variaciones pequeñas de la altura respecto del radio de la tierra es decir si \( \displaystyle\frac{y}{R_T}<<1 \).

Quedando: \(  \displaystyle\frac{g}{\left({1+\displaystyle\frac{y}{R_T}}\right)^2}\approx{}g\left({1-\frac{2y}{R_T}}\right) \)

Y la ec. diferencial:

\( y'' -\dfrac{2y}{R_T}y=-g+\displaystyle\frac{Cu_r}{m_o-Ct} \)

Que se trata de una e.d.o de segundo grado con coeficientes constantes no homogénea, pero aunque parece fácil de resolver, la parte no homogenea la complica bastante, ya que no es integrable de forma que se obtenga una función analítica, sino una serie ,ya que involucra una integral exponencial como \( \displaystyle\int \displaystyle\frac{e^t}{t} \) (*)

Saludos.

P.D.: Al menos a mi así me ha salido al intentar resolverla por el método de variación de las constantes.

[Richard R Richard]

Hola Gracias por la corrección,  tengo la idea general de lo que quiero contar  pero también ando buscando información y en el copie y pegué se me ha quedado. (vamos que ando lento para integrar) Seguro no va a ser el único gazapo que encuentren. Bien  vamos por el segundo Punto que algo ya anticiparon.


2 Un modelo con gravedad


Del modo en que hemos definido nuestro sistema el cohete, sus componentes las podemos dividir en dos partes, por un lado la estructura y lo que va quedando de combustible y por otro los gases saliendo a cada momento a velocidad relativa. la fuerza que imprime el combustible es una fuerza interna del sistema, pero ahora vamos a ver como modifican la ecuación tanto la gravedad y mas tarde la fricción. Ambas fuerzas la provee el medio exterior alterando el movimiento el sistema. Es decir la fuerza de gravedad es una fuerza exterior , lo mismo que la fricción regresando a la expresión (1)


\(
\vec  F_{ext} = M \dfrac{d\vec v}{ dt} + \vec  u_{rel} \dfrac{dM}{ dt}
 \)


así  si la fuerza exterior el propio peso del cohete debido a la gravedad terrestre, y suponiendo  la constancia de la aceleración de la gravedad con la altura respecto de la gravedad en superficie , se arriba a las formulas del post anterior


\(
-M\vec g=M \dfrac{d\vec v}{ dt} + \vec  u_{rel} \dfrac{dM}{ dt}
 \)


haciendo el mismo proceso de integración que en mi primer post se llega

\( v=v_o -gt-u_{rel}\ln\left|1-\dfrac{C}{m_o}t\right| \)
\( y(t)=y_o+(v_o+u_r)t - g\displaystyle\frac{t^2}{2}+u_r\dfrac{m_o-Ct}{C}\ln{\left|1-\dfrac{C}{m_o}t \right |} \)

Cuando consideramos el caso general con la gravedad variable, entonces la ecuación diferencial se complica bastante.

Si claro quería ir relatando por partes , el fundamento físico, añadiendo complejidad poco a poco.

Que se trata de una e.d.o de segundo grado con coeficientes constantes no homogénea, pero aunque parece fácil de resolver, la parte no homogénea la complica bastante, ya que no es integrable de forma que se obtenga una función analítica, sino una serie ,ya que involucra una integral exponencial como \( \displaystyle\int \displaystyle\frac{e^t}{t} \) (*)


Saludos.


P.D.: Al menos a mi así me ha salido al intentar resolverla por el método de variación de las constantes.

 Si  yo he intentado varias veces pero mi escases de memoria en métodos de integración me llevo rápidamente a  Wolfram Alpha,  sin éxito!, claro.


3 Un modelo con fricción.  


La fricción es el principal factor por el cual el calculo de la trayectoría de un cohete hasta una órbita predeterminada se vuelve difícil de abordar matemáticamente.
Mas allá de que podemos hacer modelos simplificados como los de gravedad constante y ahora uno de proporcionalidad con la velocidad relativa a la atmosfera, hay que reconocer que dichas constancias, son la que en primera medida se introducen para que los estudiantes comiencen a empaperse de la dura realidad que viene cuando se abandonan tales suposiciones.


Veamos cuando niños  alguna vez hemos sacado la cabeza fuera de la ventanilla de coche para sentir ese viento  en la  cara,  hemos visto que a mayor velocidad mayor el la fuerza que tenemos que hacer para resistirlo, lo que en términos sencillos aerodinámicos podríamos expresar que existe una relación proporcional entre la fuerza de fricción y la velocidad , cuya constante de proporcionalidad  la denominamos \( b \)


así \( \vec F_f=-b\vec v \)


como anticipara previamente la fricción es  una fuerza externa al sistema cohete por que que debemos volver a aplicar la formula (1)


\(
\vec  F_{ext} = M \dfrac{d\vec v}{ dt} + \vec  u_{rel} \dfrac{dM}{ dt}
 \)


viendo que considerar la gravedad constante no agrega por ahora complejidad la ecuación 1 se plantea en este caso así


\( -gM+(-b\vec v)=M \dfrac{d\vec v}{ dt} + \vec  u_{rel} \dfrac{dM}{ dt}  \)


pasando de términos y dejando listo para integrar


\( \dfrac{d\vec v}{ dt} +\dfrac{b}{M}\vec v=-g-\vec  u_{rel} \dfrac{dM}{M dt} \)


de nuevo si \( M=M_o-Ct \)


se convierte en una ED cuya solución es


\( v(t)=u_{rel}\left[1-m_0^{-\frac{b}{C}}(M_o-Ct)^{\frac{b}{C}}\right]+\dfrac{g}{C-b}\left[(M_o-Ct)-M_o^{1-\frac{b}{C}}(M_o-Ct)^{\frac{b}{C}}\right]+v_oM_o^{-\frac{b}{C}}(M_o-Ct)^{\frac{b}{D}} \)


y la posicion en funcion del tiempo vuelve a salir por integración  como


\( y(t)=y_o+\dfrac{C u_r t}{b}+\left[\dfrac{u_r\left(\dfrac{C^2}{b}-C\right)-v_o(C-b)+M_og}{C^2-b^2}\right]\cdot\left[(M_o-Ct)^{1+\frac bC}M_o^{-\frac bC}-M_o\right]-\dfrac{g}{2C(C-b)}\left[(M_o-Ct)^2-M_o^2\right] \)


Como pueden ver las formulas comienzan a complicarse para un simple mortal que como yo que no las he calculado sino buscado en buenos apuntes sobre el tema.


Sería bueno que si hacen las integrales ,las desarrollan y hallan un gazapo que lo publiquen, así corrijo y si mas adelante hacemos citas, usaremos formulas correctas.

[Richard R Richard]

4. Un modelo con gravedad variable   


De momento siento que lo que se ha explicado en el hilo tiene una pequeña base física y una gran parte matemática, pero la NASA aparte delos matemáticos tiene ingenieros, astrónomos, y físicos trabajando. Cada disciplina aporta lo suyo para hacer cada vez más preciso el cálculo de la trayectoria.


Veamos que pasa matemáticamente con la gravedad, hasta ahora la hemos considerado constante, pero como es lógico ,estamos tratando de calcular una trayectoria que se aleja del centro de la tierra , y como ya sabemos el módulo de la aceleración de la gravedad cae con el cuadrado de la distancia al centro.


\( a_g=\dfrac{GM_T}{r^2} \)


es lógico pensar que la aceleración relativa  respecto de la superficie para un objeto a mayor altura sea menor que uno a baja altura. este tipo de correcciones se hacen por medio de ecuaciones diferenciales.


Veamos el cálculo sencillo de  la caída libre sin fricción,  Se deja caer sin velocidad inicial un objeto de masa \( m \) desde una altura \( r_o \) respecto a un cuerpo masivo de masa \( M \)


Usando la conservación de la energía tienes una ecuación diferencial de primer orden que es relativamente fácil de integrar.


\( \displaystyle\frac{1}{2}v^2-G \frac{M}{r}=-G \frac{M}{r_0} \)


de donde


\( v=-\displaystyle\frac{d r}{d t}=\sqrt{2 G M}\sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}}=\sqrt{\frac{2 G M}{r_0}}\sqrt{\frac{r_0-r}{r}} \)


si tratamos de integrar


\( \displaystyle-\int_{r_0}^r{\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}d r}=\sqrt{\frac{2 G M}{r_0}}\int_0^t{d t} \)


La integral de la izquierda, es un poco pesada de realizar. Mi fuente , amigo de otro foro ha hecho, el cambio de variable \( u^2=r/(r_0-r) \).


Finalmente sale


\( \displaystyle-\int_{r_0}^r{\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}d r}=r_0\left(\frac{\pi}{2}-\arctan\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}+\frac{\sqrt{r}\sqrt{r_0-r}}{r_0}\right) \)


de entonces


\( t(r) = \displaystyle\sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left( \frac{\pi}{2}-\arctan\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}+\frac{\sqrt{r}\sqrt{r_0-r}}{r_0} \right) \)




Podríamos saber entonces el tiempo que le lleva caer desde la altura \( r_o \) hasta \( r \)


Bueno  este tipo de integrales son las  que complicaran las que ya venimos desarrollando en el punto 3 porque ahora la fuerza exterior  ya no es una constante a un lado de la ecuación sino que adquiere vida propia...


todavía no intentemos liar más con la fricción que tiene cosas más complejas  retrocedamos a 2 y vemos como resulta la ecuación trabajando con módulos


\( -Mg=M \dfrac{d v}{ dt} +   u_{rel} \dfrac{dM}{ dt} \)


como venimos usan la variable y para la altura respecto a superficie  podemos modificar la ecuación componiéndola con la primera y expresándola en función de la distancia a superficie sabiendo que


\( y=r-R_t \)





\( -M \dfrac{GM_T}{(y+R_T)^2}=M \dfrac{d \color{blue}\left(\dfrac{d y}{ dt}\right)\color{black}}{ dt} +u_{rel} \dfrac{dM}{ dt} \)




\( -\dfrac{GM_T}{(y+R_T)^2}-\color{blue}y''\color{black}= u_{rel} \dfrac{dM}{ M} \)
´
Corregido Gracias robinlambada


Bueno a ver quién se anima y la resuelve sabiendo de nuevo que \( M=M_o- Ct \)

[robinlambada]

Hola , lo primero y que no te dije antes es que agradezco tu dedicación y trabajo que no es poco en este pequeño proyecto que has iniciado.

Tengo que matizar varias cosas.

Respecto al punto anterior de fuerzas de fricción.

3 Un modelo con fricción.  
.......
Veamos cuando niños  alguna vez hemos sacado la cabeza fuera de la ventanilla de coche para sentir ese viento  en la  cara,  hemos visto que a mayor velocidad mayor el la fuerza que tenemos que hacer para resistirlo, lo que en términos sencillos aerodinámicos podríamos expresar que existe una relación proporcional entre la fuerza de fricción y la velocidad , cuya constante de proporcionalidad  la denominamos \( b \)


así \( \vec F_f=-b\vec v \)

La fricción es proporcional a la velocidad en objetos pequeños y a poca velocidad, cuando se superan los 100 km/h aparecen fenómenos de turbulencias y la fuerza de fricción pasa a ser proporcional al cuadrado de la velocidad.

4. Un modelo con gravedad variable   
.......
\( -M \dfrac{GM_T}{(y+R_T)^2}=M\color{red} \dfrac{d y}{ dt} \color{black} +u_{rel} \dfrac{dM}{ dt} \)




\( -\dfrac{GM_T}{(y+R_T)^2}- \color{red} y'\color{black} = u_{rel} \dfrac{dM}{ M} \)


Bueno a ver quién se anima y la resuelve sabiendo de nuevo que \( M=M_o- Ct \) 

Tienes una pequeña errata en la derivada de la altura , es en realidad la segunda derivada. debe quedar:

\( -M \dfrac{GM_T}{(y+R_T)^2}=M \dfrac{d^2 y}{ dt^2} +u_{rel} \dfrac{dM}{ dt} \)


\( -\dfrac{GM_T}{(y+R_T)^2}- y'' = u_{rel} \dfrac{dM}{ M} \)

Bueno para el caso que expuse suponiendo alturas no muy elevadas ya se puede resolver, pero me da bastante pereza por ser largo y tedioso, no me gusta que no tenga una expresión analítica.

Recuerdo el caso simplificado:  \( y'' -\dfrac{2g}{R_T}y=-g+\displaystyle\frac{Cu_r}{m_o-Ct} \)

Saludos.
P.D.:
Podría   hacerlo de nuevo ( y ahora lo terminaría y lo publicaría, a ver si me animo, pues estoy liado con las evaluaciones)

[robinlambada]

Por cierto he entrado en al pagina de la NASA y parece ser que hay un proyecto llamado Copernicus para optimizar trayectorias con un software gratuito , pero solo esta disponible para organizaciones estadounidenses que se dedique a aeronáutica.

https://www.nasa.gov/centers/johnson/copernicus/index.html

Solo necesitamos los contactos adecuados y....  3,2,1,0.

[robinlambada]

Solución de la e.d.o:
                                        \( y'' -\dfrac{2g}{R_T}y=-g+\displaystyle\frac{Cu_r}{m_o-Ct} \)

La ecuación característica de la ecuación homogénea es \( s^2 -\dfrac{2g}{R_T}=0 \) por tanto la solución homogénea sera:

\( y_h=k_1y_{h1} +k_2y_{h2}\,\,\,y_h=k_1e^{st} +k_2e^{-st} \) con \( s=\sqrt[ ]{\frac{2g}{R_T}} \)

Por variación de las constantes puedo obtener una solución particular que sera de la forma:

\( y_p=k_1(t)e^{st} +k_2(t)e^{-st} \) , con las funciones \( k_1(t) \) y \( k_2(t) \) a determinar.

Resolviendo el sistema

\( \begin{cases}k'_1y_{h1} +k'_2y_{h2}=0\\k'_1y'_{h1} +k'_2y'_{h2}=-g+\displaystyle\frac{Cu_r}{m_o-Ct}\end{cases} \)

Llegamos a:

\( k_1=\displaystyle\frac{g}{s^3}e^{-st}-\displaystyle\frac{u_r}{s^2}e^{-sm_o/c}E_i[s(\frac{m_o}{c}-t)] \)

\( k_2=\displaystyle\frac{g}{s^3}e^{st}+\displaystyle\frac{u_r}{s^2}e^{sm_o/c}E_i[s(t-\frac{m_o}{c})] \)

Llamando    \( t'=t-\dfrac{m_o}{c} \)  , llegamos a:

\( y_p=\displaystyle\frac{2g}{s^3}+\displaystyle\frac{u_r}{s^2}\left({     e^{-st'}E_i(st')-e^{st'}E_i(-st')}\right)  \)


Y la solución general queda:  \( y(t)=k_1e^{st} +k_2e^{-st}+\displaystyle\frac{2g}{s^3}+\displaystyle\frac{u_r}{s^2}\left({     e^{-st'}E_i(st')-e^{st'}E_i(-st')}\right) \)

Saludos.

P.D.:

En este enlace aparece una expresión en serie de la integral exponencial
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+e%5E%7B-ax%7D%2F%28m-cx%29dx

Referencia en la Wikipedia.
https://es.wikipedia.org/wiki/Integral_exponencial

[Richard R Richard]

Bueno para el caso que expuse suponiendo alturas no muy elevadas ya se puede resolver, pero me da bastante pereza por ser largo y tedioso, no me gusta que no tenga una expresión analítica.


Recuerdo el caso simplificado:  \( y'' -\dfrac{2g}{R_T}y=-g+\displaystyle\frac{Cu_r}{m_o-Ct} \)

Gracias de nuevo por la corrección , la verdad no me atrevo con lass EDO , ya me equivoco tipeando  , mas lo haré resolviendo.... bueno, pero ahí estaba la "trampa"  la que dejaba picando...hasta ahora todas las soluciones de las EDO tenían solución analítica , pero ahora viendo como funciona en realidad la naturaleza, vemos que un modelo matemático un tanto mas complejo en la relación de variables , no  tiene una respuesta que se obtenga de aplicar fórmula, de ese modo, empezamos a toparnos con los problemas que los profesionales de la ingeniería aeroespacial se topaban a diario, ahora meter los datos en un computador ejecutar comandos y tener un resultado o graficarlo, para una seríe de parámetros  alternativos no parece tarea difícil, pero hace 60 -70 años solo había algunas calculadoras, y ya vimos en la película el tamaño de una computadora IBM de unos pocos Kb de memoria.


A que voy a que desde como tu puntualizas los regímenes de alta velocidad la fricción no son proporcionales a la velocidad, y todo cambia mas allá de los regímenes supersónicos, donde veré si puedo hojear algún paper para traer un gráfico de como cambia la fricción en función de las variables habituales,  velocidad, altura , la presión atmosférica,la temperatura la composición química de la atmósfera.


En cuanto a la solución que propones, intuyo que desarrollaste un polinomio de fourier para aproximar la función a otra que si tiene solución analítica.
Bueno en ese caso a los muchachos de ingeniería les tocaba averiguar cunato se deviaría esa formula  de los resultados experimentales , en comparativa de los propuesto con la original que se calculaba con algún método iterativo.


Tememos que recordar que la carrera espacial, y al obtención de un primer vuelo orbital, no les salio de un calculo de la noche a la mañana , sino que tuvieron años de experimentación donde recabaron suficiente información para hacer los proyectos funcionar los cohetes.


para entrar en el punto 5 tenemos que al menos estar informados que el diseño exterior del cohete pasa ahora tomar protagonismo, ya que su resistencia ala fricción pasa a ser un tema clave, porque?


porque con menos fricción, desarrollo mayor velocidad en menos tiempo, así para llegar a la misma altura uso menos combustible, y si uso menos combustible puedo reducir la Masa \( M_o \) o bien el consumo C, alterando todo el proceso de calculo de la trayectoria.


Algunos fundamentos simples de la fricción aerodinámica


Cada tipo de superficie que se intente mover en el seno de un fluido, deberá mover los átomos del fluido (aire) a su paso, estos se comprimirán sobre la superficie y deslizaran sobre ella, es decir la superficie del cohete será sometida a las fuerzas viscosas de fluido que funcionan muy disimiles en los gases que en los líquidos.


Hay dos consecuencias inmediatas


1) se produce una fuerza resistiva (la mayoría de las veces) en sentido contrario en la dirección del movimiento.
2) la compresión abdicativa del gas provoca que este se caliente y transmita el calor a la superficie que debe tener algún diseño apropiado para soportar la temperatura, este fenómeno es de vital importancia en la re entrada parabólica sin consumo de combustible.


Como elegir el perfil del cohete, bueno , ya hace 100 años que se estudia la fluido dinámica, en especial la aerodinámica en los aviones, y sobretodo en la ingeniería aeroespacial.
Las superficies propuestas (en realidad las cubiertas de las capsulas) son sometidas a innumerables pruebas de diseño antes de fabricarlas y otro tanto de testeos, para elegir la optima.
por un lado están la ecuaciones de la fluido dinámica, y por otro las pruebas en túneles de viento, y cámaras de vacío.


hemos hablado del coeficiente b de proporcionalidad a la fricción pero  a números de Reynolds elevados como en los gases a gran velocidad este factor no sirve como constante de proporcionalidad , por lo que experimentalmente se lo puede calcular también en túneles de viento.


Se han encontrado las principales variables que afectan la fuerza resistiva del viento y la relación con la velocidad del aire.


\( F_r=-\dfrac{1}{2} \rho C_r A v^2 \)


donde \( \rho \) es la densidad del aire , cuya lógica presencia se entiende que si hay menos numero de átomos del fluido con los que colisionar menor es la fuerza que opone el gas al movimiento, por eso su linealidad.
y v es la velocidad del cohete respecto del aire , es una relación cuadrática , como ya dijera robinlamabada


A es el área transversal que se opone al pasaje de aire


y el ultimo valor el \( C_r \) es el coeficiente de arrastre y es un valor que se calcula experimentalmente  al exponer superficies de dimensiones en distintas valores de velocidad y densidad  midiendo la fuerza con la que se debe sostener la superficie para que no sea arrastrada




\( C_r=-\dfrac{2F_r}{Av^2}  \)


Algunos coeficientes en función de la forma se ven en https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Drag-es.svg#/media/Archivo:Drag-es.svg






5.     Un modelo con fricción variable, aerodinamía.   


Visto el preámbulo anterior  hemos de suponer  que a partir de ahora no será posible deshacernos de otras variables del diseño del cohete dentro de la integral.


A la vez el material de la superficie debe tener suficiente resistencia  a la erosión, al choque térmico, a la fatiga, a la vibración, tiene que poder disipar el calor de la superficie, o bien ser aislante termico , para que el interior de la capsula no arda con la temperatura externa.


nuestra ecuación transforma ahora en




\( -\dfrac{GM_T}{(y+R_T)^2}- y'' -\dfrac{1}{2M} \rho C_r A y'^2= u_{rel} \dfrac{dM}{ M} \)


tenemos que notar que ahora la ficción como es independiente de la masa del objeto  nos queda del lado opuesto de la igualdad y habrá que buscar Métodos alternativos para integrar ,


Creo que como ya se vio por desarrollo de Taylor , podemos llegar a una EDO no muy fácil de grado dos y segundo orden , sino  he vuelto a meter la pata...






Aunque  todavía no hemos metido todas las variables involucrdas , la desudad no es una constante con la altura , es deicr, experimentalmewnte tenemos que conocer como varia la densidad con la altura, y propioner un modelo matematico que se adecua a los datos experimentales


http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/calor/atmosfera/atmosfera.html


allí proponen un modelo aplicable hasta 11000 m de altura.


\( \rho=\rho_o\left( 1-\dfrac{y}{H}\right)^n \)


donde \( \rho_o \)  es la densidad del aire en superficie\(  1.2266kg/m^3 \)






\( H \) es una mediada de altitud hasta donde el modelo es aproximado \(
44397 m
 \)


y \( n \) es el exponente del modelo  que experimentalmente ha surgido mejor como \( 4.256 \)




aunque otros modelo la prefieren exponencial


\( \rho=\rho_oe^{-\alpha y} \)


donde \(  \alpha \) es un coeficiente inverso de altitud  \( \dfrac{1}{8243}m^-1 \)




Dependiendo entonces de que modelo se escoja iran resultando las ecuaciones que mas se ajusten a los experimentos previos de penetración en las capas superiores de la atmósfera.


A mas grandes altitudes se hacen modelos con globos meteorológicos, cohetes experimentales con los cual se hacen mapeos de Presión. densidad, temperatura en las distintas capas de la atmósfera.


Una pequeña muestra de trabajos experimentales para determinar los coeficientes de arrastre de proyectiles supersónicos.


https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1510/1510.07336.pdf
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1503/1503.05504.pdf
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1204/1204.3395.pdf


Aquí ya vemos que la experimentación es la base de los resultados positivos, por ello se dice que fue una carrera aeroespacial , el desafío pasó a ser  construir una maquina que supere cada escollo físico impuesto por la naturaleza, desarrollar modelos matemáticos donde no existían , y pronosticar futuros resultados, para corroborarlos en futuros lanzamientos.