PD. A lo que me refiero es que al realizar fuerza bruta se necesita probar con n numeros y no se garantiza que se encuentre la solución. Por ejemplo cuando buscaste x = 1 y x=2 y no te dio, seguiste buscando. lo que busco es un metodo que siempre se encuentre
\( y+\dfrac{1}{z+\frac{1}{x}}=\dfrac{25}{19}
\)
\( 19y+\dfrac{19}{z+\frac{1}{x}}=25
\)
Como “19y” es entero, entonces lo tiene que ser el otro sumando, \( \dfrac{19}{z+\frac{1}{x}}
\), porque, si no, la suma no podría ser igual a un entero (como lo es 25); y eso quiere decir que el denominador divide al numerador dando un entero.
Operando la fracción tenemos
\( 19y+\dfrac{19x}{zx+1}=25
\)
Es decir, \( zx+1
\) divide a 19x; esto supone que
\( 19x=k(zx+1)
\).
Así, “x” divide a “k”, no puede dividir al paréntesis porque es el siguiente a un múltiplo de “x”, es coprimo; es decir, k/x es un entero.
Ahora, si k dividiera a 19 tendría que ser 1 ó 19, pero 19 no puede ser en principio, porque entonces \( x=zx+1\Rightarrow x(1-z)=1\Rightarrow(1-z)=\dfrac{1}{x}
\): y así 1-z no podría ser un entero; salvo que x=-1, z=2.
Sin embargo, esto último es imposible, pues entrando en la primera ecuación tenemos \( 19y+\dfrac{19x}{zx+1}=25
\) y vemos que 19 tendría que dividir a 25; que no es verdad.
Sólo existe una posibilidad, que es que k divida a x reciprocamente; de donde resulta k=x.
Entonces, volviendo aquí \( 19x=k(zx+1)
\) y cancelando y despejando, tenemos
\( 18=zx
\).
Ahora es fácil justificarlo, pues 18 se descompone en \( 2\cdot 3\cdot 3 \).
Saludos.
