[stricksda]

PD. A lo que me refiero es que al realizar fuerza bruta se necesita probar con n numeros y no se garantiza que se encuentre la solución. Por ejemplo cuando buscaste x = 1 y x=2 y no te dio, seguiste buscando. lo que busco es un metodo que siempre se encuentre

\( y+\dfrac{1}{z+\frac{1}{x}}=\dfrac{25}{19}
  \)

\( 19y+\dfrac{19}{z+\frac{1}{x}}=25
  \)

Como “19y” es entero, entonces lo tiene que ser el otro sumando, \( \dfrac{19}{z+\frac{1}{x}}
  \), porque, si no, la suma no podría ser igual a un entero (como lo es 25); y eso quiere decir que el denominador divide al numerador dando un entero.

Operando la fracción tenemos

\( 19y+\dfrac{19x}{zx+1}=25
  \)

Es decir, \( zx+1
  \) divide a 19x; esto supone que

\( 19x=k(zx+1)
  \).

Así, “x” divide a “k”, no puede dividir al paréntesis porque es el siguiente a un múltiplo de “x”, es coprimo; es decir, k/x es un entero.

Ahora, si k dividiera a 19 tendría que ser 1 ó 19, pero 19 no puede ser en principio, porque entonces \( x=zx+1\Rightarrow x(1-z)=1\Rightarrow(1-z)=\dfrac{1}{x}
  \): y así 1-z no podría ser un entero; salvo que x=-1, z=2.

Sin embargo, esto último es imposible, pues entrando en la primera ecuación tenemos \( 19y+\dfrac{19x}{zx+1}=25
  \) y vemos que 19 tendría que dividir a 25; que no es verdad.

Sólo existe una posibilidad, que es que k divida a x reciprocamente; de donde resulta k=x.

Entonces, volviendo aquí \( 19x=k(zx+1)
  \) y cancelando y despejando, tenemos

\( 18=zx
  \).

Ahora es fácil justificarlo, pues 18 se descompone en \( 2\cdot 3\cdot 3 \).

Saludos.

Muchisimas Gracias feriva

[feriva]

Muchisimas Gracias feriva

Muchas de nada

Anoche se me olvidó apuntar el caso k=1, en vez de k=19, que también sería posible en principio (aunque imagino que ya lo habrás considerado tú y lo habrás visto). En ese caso tenemos que si k=1 ocurre que aquí \( 19x=k(zx+1)
  \) sería \( x(19-z)=1
  \) de donde \( 19-z=\dfrac{1}{x}
  \); pero \( 19-z
  \) es entero y \( \dfrac{1}{x}
  \) no lo es, no es posible.

Saludos.

[hméndez]

Fue un reto o ejercicio que nos dejó el profe de Matematicas Discretas. Ahi te pongo la imagen.

La imagen sugiere la descomposición de \( \displaystyle\frac{25}{19} \) en fracción continua.
Esto es:

\( \displaystyle\frac{25}{19}=1+\displaystyle\frac{6}{19}=1+\displaystyle\frac{1}{19/6}=1+\displaystyle\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{6}}=[1;3,6] \)
en efecto, coincide con tal representación. Así  desde este contexto también podemos responder al problema y sabemos que tiene solución única.

Saludos