[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
A un anillo homogéneo de radio exterior \( R_1 \) y radio interior \( R_2 \), se le adhiere un disco homogéneo de masa M y radio \( R = \frac{(R_1−R_2)}{2}  \)

El momento de inercia de todo el sistema con respecto al eje perpendicular al plano del anillo que pasa por el punto O, vale \( I_O = 13 gr/cm^2 \) . La densidad \( \rho \) del anillo es:
(a) \( \rho=0,241gr/cm^2 \)
(b) \( \rho=0,108gr/cm^2 \)
(c) \( \rho=0,064gr/cm^2 \)
(d) \( \rho=0,031gr/cm^2 \)
(e) \( \rho=0,020gr/cm^2 \)



Datos: \( R_1 = \frac{3}{2}R_2 \)  \( R_2 = 2 cm \), \( M = 1gr \)

Intente realizar lo siguiente:
Primero algunas cuentas preliminares que servirán para el ejercicio:
\( R=\dfrac{(R_1−R_2)}{2}=\dfrac{(\frac{3}{2}R_2−R_2)}{2}=\dfrac{R_2}{4} \)

\( d=R_2+\dfrac{R}{2}=\dfrac{9}{8}R_2 \)

Ahora calculemos el momento de inercia de todo el sistema desde el punto O.
Notar que m es la masa del anillo (de momento desconocida) y d la distancia desde O hasta el CM del disco. Agregamos este último término por el teorema de los ejes paralelos.

Aquí despeje m, lo dejo en spoiler para que no sea tan largo:

Spoiler

\( I_O=\dfrac{1}{2}m(R_1^2+R_2^2)+\dfrac{1}{2}MR^2+ Md^2 \)

\( =\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{9R_2^2}{4}+R_2^2\right)+\dfrac{1}{2}M\dfrac{R_2^2}{16}+ M\dfrac{81}{64}R_2^2 \)

\( =\dfrac{13}{8}mR_2^2+ \dfrac{83}{64}MR_2^2=13 \)

\( \Rightarrow m=\dfrac{13-\dfrac{83}{64}MR_2^2}{\dfrac{13}{8}R_2^2}=\dfrac{104-\dfrac{83}{8}MR_2^2}{13R_2^2} \)

\( =\dfrac{\dfrac{832 -83MR_2^2}{8}}{13R_2^2}=\dfrac{832 -83MR_2^2}{104R_2^2}=\dfrac{832-332}{416}=1,20gr \)

[cerrar]

Aquí honestamente no se como continuar... 

Espero alguien me pueda dar una idea de cómo continuar.

Saludos,
Franco.

[delmar]

Hola franma

Hay un error en la ecuación inicial, el momento de inercia del anillo es \( \displaystyle\frac{1}{2}m(R_1^2-R_2^2) \)

Saludos

[franma]

Buenas Delmar,

Al buscar los momentos de inercia necesarios para el ejercicio, no encontré ninguno puramente del anillo, lo que más se le parece es un cilindro hueco, el momento de inercia lo saqué de: https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia de la tabla de momentos de inercia de objetos simétricos.

Honestamente ahora no se cual es el correcto .

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Yo lo hubiera resuelto como tu Franma, te hubiera recomendado mi blog para que encuentres el momento de inercia de un cilindro hueco.


pero según veo el perfil del anillo de la figura parece es circular por lo que me inclinaría a que el momento de inercia es el que corresponde a un toroide. Al que le agregaron un disco y no hay particula puntual, es la indicacion del corte transversal del anillo.


revisa este hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=57074.0


Edito, nononono ... ahora caigo en cuentas no es eso.... No he dicho nada por ahora 

[franma]

Buenas,

Primero que todo comentarles que estaba mareado con el enunciado, no importa cuantas veces lo leía yo entendía que el enunciado decía "calcule la densidad del disco".

Ahora que por fin me "cayó la ficha" continuemos con lo que propone Delmar:
\( =\dfrac{13}{8}mR_2^2+ \dfrac{83}{64}MR_2^2=13 \)

Donde corregiremos de 13/8 a 5/4:
\( =\dfrac{5}{4}mR_2^2=13-\dfrac{83}{64}MR_2^2 \)

\( =m=\dfrac{52-\dfrac{83}{16}MR_2^2}{5R_2^2}=\dfrac{\dfrac{832- 83MR_2^2}{16}}{5R_2^2}=\dfrac{832- 332}{320}=1,5625gr \)

Luego calculemos la densidad:
El área total de el anillo es: \( \pi R_1^2 - \pi R_2^2=\pi(R_1^2-R_2^2)=\pi\left(\dfrac{5R_2^2}{4}\right)=5\pi \)

Primero con mi resultado:
\( \rho=\dfrac{1,2}{5\pi}\approx{0,076gr/cm^2} \)

Ahora con la masa luego de la corrección:
\( \rho=\dfrac{1,5625}{5\pi}\approx{0,099gr/cm^2} \)

La respuesta del solucionario es la (c).

Repetire las cuentas a ver si cometi algun error.

Saludos,
Franco.

PD: Richard el link a tu foro me da 404  . Si quieres intenta pasarlo nuevamente que seguro es muy interesante.

[Richard R Richard]

Sigo viendo en todos los portales que el momento de inercia de un cilindro hueco es


\( I_{CM}=\dfrac{M(R_e^2+R_i^2)}{2} \)


Ya he corregido el link

[JCB]

Hola a tod@s.

\( I_{anillo}=\dfrac{1}{2}m(R_1^2+R_2^2)=\dfrac{13}{2}m \).

\( I_{disco}=\dfrac{1}{2}MR^2+Md^2=\dfrac{1}{2}M\left(\dfrac{R_1-R_2}{2}\right)^2+M\left(\dfrac{R_1+R_2}{2}\right)^2=\dfrac{51}{8}M=\dfrac{51}{8} \).

\( I_{anillo}+I_{disco}=13 \),

\( \dfrac{13}{2}m+\dfrac{51}{8}=13 \),

\( m=1,0192\ g \),

\( \sigma=\dfrac{m}{S}=\dfrac{m}{\pi(R_1^2-R_2^2)}=0,0649\ g/cm^2 \).

Saludos cordiales,
JCB.

[franma]

Buenas JCB,

Felicitaciones por al respuesta correcta .

Ya encontre mi error en la aplicación del teorema de los ejes paralelos  .

\( d=R_2+\color{red}{}\dfrac{R}{2}\color{black}{}=\dfrac{9}{8}R_2 \)

Ahi deberia ser \( R \).

Sigo viendo en todos los portales que el momento de inercia de un cilindro hueco es

\( I_{CM}=\dfrac{M(R_e^2+R_i^2)}{2} \)

Ya he corregido el link

Efectivamente ese es el momento correcto, es un ejercicio de examen y generalmente en la hoja de prueba vienen los momentos de inercia más "comunes". Por eso me pareció extraño si se debía utilizar alguno de formas "extravagantes".

Muy buena la informacion del blog .

Saludos,
Franco.

[delmar]

Sigo viendo en todos los portales que el momento de inercia de un cilindro hueco es


\( I_{CM}=\dfrac{M(R_e^2+R_i^2)}{2} \)


Ya he corregido el link

Si es verdad la ecuacion inicisl es correcta

Saludos

[franma]

Muchas gracias a todos por la ayuda!

Saludos,
Franco.