Hola, buen dia, se me pidió sacar el momento de inercia de un toroide sólido de masa M con densidad de masa constante, que gira con respecto su eje, intenté hacerlo de una forma pero no esta bien, tal vez esté todo mal, gracias.
radio exterior = b
radio interior = a
bueno, yo lo que intenté fue sacar el momento de inercia de una rebanada del toroide para después integrarla de 0 a 2\( \pi \)
Empecé con el MdI de una placa circular de radio a, girando con respecto su diámetro
\( I = \displaystyle\frac{1}{4}Ma^2 \)
Apliqué el teorema de los ejes paralelos a ese MdI a una distancia b (para que ese sea la rebanada del toroide)
\( I = \displaystyle\frac{1}{4}Ma^2 + Mb^2 = (\displaystyle\frac{1}{4}a^2 + b^2)M \)
Hasta aquí todo es correcto, pero no he encontrado manera de aprovechar estos cálculos para obtener el momento de inercia.
Entonces a ese MdI le di masa dm, donde dm seria, \( \rho \pi a^2 \) multiplicado por el grosor del las rebanadas, yo tomé ese grosor como \( (a+b)d\theta \)
\( dm = \rho \pi a^2(a+b)d\theta \)
Esto es lo que está mal. Y la única razón por la que te puedo decir que está mal es que no has justificado que esto se pueda hacer y, cuando calculas justificadamente \( dm \) sale otra cosa. Éste es un ejemplo más de algo que ya se habló mucho en otro hilo: que cuando uno escribe una relación "razonable" entre diferenciales, puede estar bien y puede estar mal, y la única forma de saberlo es hacer el cálculo justificadamente a partir del teorema de cambio de variables.
Ante todo, resulta mucho más cómodo usar como parámetros el radio \( R \) del toro y el radio \( r \) de su sección. La relación entre estos parámetros y \( a \) y \( b \) es que \( R = \dfrac{a+b}2 \) y \( r = \dfrac{b-a}2 \). Si al final te interesa tener la solución en términos de \( a \) y \( b \) sólo tienes que hacer estas sustituciones.
Ahora, el único punto de partida "fiable" es la definición de momento de inercia:
\( I = \displaystyle \int_V \rho r^2\,dx\,dy\,dz \),
donde \( r \) es la distancia al eje Z. Siguiendo lo más de cerca posible tu planteamiento, vamos a pasar a coordenadas cilíndricas: \( x = r\cos \theta \), \( y = r\sen\theta \), \( z=z \). Entonces, el determinante jacobiano vale \( r \), luego lo que sabemos es que \( dx\,dy\,dz = r\,dz\,dr\,d\theta \) y así:
\( I = \displaystyle \int_V\rho r^3\,dz\,dr\,d\theta = 2\pi \rho\int_D r^3 dz\,dr \),
donde \( D \) es el disco en el plano XZ de centro \( (R,0) \) y radio \( r \). Ahora bien, si nos restringimos a este disco, la distancia \( r \) al eje Z es simplemente la coordenada \( x \), luego queda
\( I = \displaystyle 2\pi \rho \int_D x^3\,dz\,dx \).
Observa que si en vez de \( x^3 \) pusiera \( x^2 \) la integral que queda sería (salvo la densidad) el momento de inercia de disco que tú has calculado, pero hay un cubo, y por eso no veo que el cálculo del momento de inercia del disco pueda aprovecharse para calcular el del toro.
Igual que has hecho tú, vamos a trasladar el eje para que pase por el centro del disco, pero no podemos usar el teorema de los ejes paralelos porque lo que tenemos no es el momento de inercia del disco. En su lugar, hacemos el cambio de variable \( x' = x-R \), con lo que hemos de sustituir \( x = x'+R \) y \( dx = dx' \). Queda:
\( I = \displaystyle 2\pi \rho \int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-x'^2}}^{\sqrt{r^2-x'^2}}(x'+R)^3\,dz\,dx' = 4\pi \rho \int_{-r}^r (x+R)^3\sqrt{r^2-x^2}\,dx \),
donde en la última integral he escrito \( x \) en lugar de \( x' \) por simplicidad. Ahora:
\( I = \displaystyle 4\pi \rho\left(\int_{-r}^rx^3\sqrt{r^2-x^2}\,dx+3R\int_{-r}^rx^2\sqrt{r^2-x^2}\,dx+3R^2\int_{-r}^rx\sqrt{r^2-x^2}\,dx+R^3\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\,dx\right) \)
Las integrales con \( x \) y \( x^3 \) son nulas porque el integrando es impar en x. La última integral es el área de un semicírculo, luego es \( \frac12\pi r^2 \). La de \( x^2 \) supongo que sale por partes. Yo, por acabar antes, la he hecho con Mathematica, y resulta ser \( \frac18\pi r^4 \). En total:
\( I = \displaystyle 2\pi^2\rho Rr^2\left(\frac34 r^2+R^2\right) = M\left(\frac34 r^2+R^2\right) \), donde he usado que el volumen del toro es precisamente lo que está delante del paréntesis (sin \( \rho \)).
