Buenas,
El enunciado dice lo siguiente:
Para elevar un bloque (bloque 2 en la figura) de masa \( M_2 \), se utiliza una polea y un bloque auxiliar \( 1 \).
La polea está compuesta por dos discos uno de masa \( m_1 = \frac{M_2}{10} \) y radio \( r_1 \) y otro de masa \( m_2 = 2m_1 \) y radio \( r_2 \), los cuales están rígidamente unidos y giran juntos alrededor de un eje perpendicular a su plano, que pasa por su centro.
No existe fricción entre el eje de giro y los discos y se verifica que \( 2r_1 = r_2 \). El bloque 1 de masa \( M_1 = 6M_2 \) desciende sin fricción sobre un plano inclinado un ángulo \( \theta = 30^{\circ} \) con respecto a la horizontal.
Dicho bloque está unido a una cuerda inextensible y sin masa, que está enrollada en el disco de radio \( r_1 \).
Al disco de radio \( r_2 \), se enrolla una segunda cuerda inextensible y sin masa que está unida al bloque 2.
Inicialmente el sistema está en reposo, con los bloques 1 y 2 en las posiciones \( x = y = 0 \). La rapidez del bloque 1 cuando el bloque 2 se elevó 1 metro es:
(a) \( v=0,25m/s \)
(b) \( v=0,50m/s \)
(c) \( v=1,53m/s \)
(d) \( v=0,97m/s \)
(e) \( v=2,02m/s \)
Realice lo siguiente:
Por como esta planteado el ejercicio, creo que la manera más sencilla es por energia.
\( E_i=6M_2gl\sin(\theta) \) donde \( l \) es la hipotenusa del plano inclinado.
\( E_f=\dfrac{M_1v_1^2}{2}+\dfrac{I_1\omega_1^2}{2}+\dfrac{I_2\omega_2^2}{2}+\dfrac{M_2v_2^2}{2} +M_1gy + M_2gh_2 \)
Primero de izquierda a derecha (en la imagen) iré encontrando las relaciones de velocidades tangenciales para que quede todo en torno a \( v_1 \) que ahora llamare \( v \).
\( E_f=\dfrac{M_1v^2}{2}+\dfrac{I_1v^2}{2r_1^2}+\dfrac{I_2v^2}{2r_1^2}+\dfrac{M_2(vr_2)^2}{2r_1^2} +M_1gy + M_2gh_2 \)
Ahora sustituyo con los momentos de inercia correspondientes.
\( E_f=\dfrac{M_1v^2}{2}+\dfrac{m_1r_1^2v^2}{4r_1^2}+\dfrac{m_2r_2^2v^2}{4r_1^2}+\dfrac{M_2(vr_2)^2}{2r_1^2} +M_1gy + M_2gh_2 \)
Ahora utilizo la relación \( 2r_1=r_2 \)
\( E_f=\dfrac{M_1v^2}{2}+\dfrac{m_1v^2}{4}+m_2v^2+\dfrac{M_2(vr_2)^2}{2r_1^2}+M_1gy + M_2gh_2 \)
\( \dfrac{M_2(vr_2)^2}{2r_1^2} = \dfrac{M_2v^2r_2^2}{2\left(\frac{r_2}{2}\right)^2}=\dfrac{M_2v^2r_2^2}{\frac{r_2^2}{2}}=2M_2v^2 \)
Ahora utilizo las relaciones entre masas:
\( E_f=3M_2v^2+\dfrac{M_2v^2}{40}+\dfrac{M_2v^2}{5}+2M_2v^2+6M_2gy + M_2gh_2 \)
Aquí es donde me tranco para continuar, como se puede notar, deje sin resolver la energia potencial gravitatoria porque no logro encontrar la relación entre el movimiento de el bloque 1 y 2.
Espero alguien me pueda ayudar a continuar, e indicarme si cometi algun error.
Saludos,
Franco.
