[Ariel Fernández]

Buenas noches a todos. Nuevamente tengo un ejercicio de integrales indefinidas que la debemos hacer por fracciones parciales. En una última intervención habíamos considerado que cada vez que el polinomio denominador tenía raíces reales múltiples, debíamos elevar el factor (x-a), con a igual a una raíz, hasta un exponente igual al numero de orden de multiplicidad de la raíz.  Pues ahora tengo lo siguiente:
\( \displaystyle\int_{}^{}\dfrac{5+x}{x^{3}-6x^{2}+9x} \). Las raíces del denominador son x=0 y x=3 (dos veces). Pues siguiente la teoría hacíamos lo siguiente:
\( \displaystyle\int_{}^{}\dfrac{A}{x-3} \)+\( \dfrac{B}{{(x-3)}^{2}} \)+\( \dfrac{C}{x} \). Pero encuentro que el sistema de ecuaciones que se me forma nuevamente se me anula todo. ¿Podrían decirme que me está faltando?
Saludos

[franma]

Buenas Ariel Fernández,

Pues yo no veo error en tu razonamiento, falta despejar los coeficientes:

\( \dfrac{5+x}{x(x-3)^2} = \dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{{(x-3)}^{2}}+\dfrac{C}{x} \)

Multiplicamos todo por el denominador izquierdo:

\( 5+x=A(x)(x-3)+Bx+C(x-3)^2 \)

Ahora tomamos valores convenientes de x que nos ayuden a conseguir los numeradores:

\( x:=0 \Rightarrow C=\dfrac{5}{9} \)

\( x:=3 \Rightarrow B=\dfrac{8}{3} \)

\( x:=4 \Rightarrow A=-\dfrac{5}{9} \)

Volviendo a nuestra integral:

\( \displaystyle\int_{}^{}\dfrac{5+x}{x^{3}-6x^{2}+9x}dx=\displaystyle\int \dfrac{5}{9x}+\dfrac{8}{3(x-3)^2}-\dfrac{5}{9(x-3)}dx \)

Desde aquí son integrales conocidas.

Me parecería lo mejor, si compartes tu desarrollo para conseguir los coeficientes, asi podemos ver donde esta el error y ayudarte mejor  .

Si no se entiende algo, repregunta.

Saludos,
Franco.

[sugata]

Otra forma.
Desde aquí
\( 5+x=A(x)(x-3)+Bx+C(x-3)^2  \)
Haciendo las cuentas salen los valores al cuadrado \( Ax^2+Cx^2 \). Como \( 5+x \) no tiene cuadrado \( A+C=0//A=-C \)
Ahora tenemos que el único valor sin x es \( 9C \) que tiene que ser igual a 5.....
Y ya solo sustituyendo sacaríamos B

[Ariel Fernández]

Yo hice la suma de fracciones y lo igualé a x+5, quedándome:
\( x+5=A(x)(x-3)^{2}+Bx(x-3)+C(x-3)(x-3)^{2} \). Luego  desde aquí desarrolle los cuadrados y aplique distributiva. ¿También debería salir así o no? Quiero saber eso antes de proceder escribiendo lo demás.
Saludos

[franma]

Buenas Ariel Fernández,

Yo hice la suma de fracciones

¿Te refieres a denominador común?

Queda de la siguiente manera:

\( \dfrac{A(x)(x-3)+Bx+C(x-3)^2}{x(x-3)^2} \)

¿O seguiste un procedimiento diferente?

Saludos,
Franco.

[sugata]

Yo hice la suma de fracciones y lo igualé a x+5, quedándome:
\( x+5=A(x)(x-3)^{2}+Bx(x-3)+C(x-3)(x-3)^{2} \). Luego  desde aquí desarrolle los cuadrados y aplique distributiva. ¿También debería salir así o no? Quiero saber eso antes de proceder escribiendo lo demás.
Saludos

Es como te he comentado yo. Debería salir.

Otra forma.
Desde aquí
\( 5+x=A(x)(x-3)+Bx+C(x-3)^2  \)
Haciendo las cuentas salen los valores al cuadrado \( Ax^2+Cx^2 \). Como \( 5+x \) no tiene cuadrado \( A+C=0//A=-C \)
Ahora tenemos que el único valor sin x es \( 9C \) que tiene que ser igual a 5.....
Y ya solo sustituyendo sacaríamos B

[sugata]

Yo hice la suma de fracciones y lo igualé a x+5, quedándome:
\( x+5=A(x)(x-3)^{2}+Bx(x-3)+C(x-3)(x-3)^{2} \). Luego  desde aquí desarrolle los cuadrados y aplique distributiva. ¿También debería salir así o no? Quiero saber eso antes de proceder escribiendo lo demás.
Saludos

Te has equivocado en la suma. Mira lo que le sale a franma.

[Ariel Fernández]

Aaaah ya creo ver cual es el problema: yo tomé como común denominador simplemente al producto \( (x-3)(x-3)^{2}(x)  \) e hice la suma de fracciones quedándome en el numerador la expresión de mi último mensaje. Pero veo que al tomar ese denominador común ( que no es equivalente a \( x^{3}-6x^{2}+9x \)) estoy alterando la fracción a integrar original. Es decir, que si hice la suma de fracciones  con denominador común igual a simplemente el producto de los denominadores de las constantes A, B y C, para que sea equivalente a \( \dfrac{5+x}{x^{3}-6x^{2}+9x} \) debo dividir arriba y abajo por \( (x-3) \). ¿Puede ser eso?

[franma]

\( \dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{{(x-3)}^{2}}+\dfrac{C}{x} \)

Si tomamos el denominador común que tu propones \( (x-3)(x-3)^2(x) \):

\( \dfrac{A(x-3)^2(x)+B(x-3)(x)+C(x)(x-3)^2(x-3)}{(x-3)(x-3)^2(x)} \)

Como ves todos los términos comparten un termino \( (x-3) \) el cual podemos sacar de factor común y cancelar con el que tenemos en el denominador.

Llegando así a: \( \dfrac{A(x)(x-3)+Bx+C(x-3)^2}{x(x-3)^2} \).

Revisa nuevamente tus cuentas, ya que deberías llegar al resultado correcto tanto usando el método que propone sugata como el que propongo yo.

Agregado: Tal vez realizaste correctamente el denominador común, pero igualaste los numeradores cuando los denominadores no eran iguales. Según lo que leo en tu ultimo mensaje.

Saludos,
Franco.

[Ariel Fernández]

A mi quedaba  \( \dfrac{Ax(x-3)^{2}+Bx(x-3)+C(x-3)(x-3)^{2}}{(x-3)(x-3)^{2}x} \), pero veo que para que no se altere la expresión original debo dividir numerador y denominador por \( (x-3) \) quedándome ahí sí  \( \dfrac{Ax(x-3)+Bx+C(x-3)^{2}}{x(x-3)^{2}} \). ¿No?