[ingmarov]

Hola

Haciendo las multiplicaciones

\( 5+x=A(x)(x-3)+Bx+C(x-3)^2  \)

Queda

\( 5+x=(A+C)x^2+(-3A+B-6C)x+9C \)

E igualando los coeficientes del polinomio de la izquierda de la igualdad con los coeficientes del polinomio de la derecha tenemos:

\[ \begin{cases}A+C=0\\-3A+B-6C=1\\9C=5\end{cases} \]

Hay que resolver


Saludos

[Ariel Fernández]

\( \dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{{(x-3)}^{2}}+\dfrac{C}{x} \)

Si tomamos el denominador común que tu propones \( (x-3)(x-3)^2(x) \):

\( \dfrac{A(x-3)^2(x)+B(x-3)(x)+C(x)(x-3)^2(x-3)}{(x-3)(x-3)^2(x)} \)

Como ves todos los términos comparten un termino \( (x-3) \) el cual podemos sacar de factor común y cancelar con el que tenemos en el denominador.

Llegando así a: \( \dfrac{A(x)(x-3)+Bx+C(x-3)^2}{x(x-3)^2} \)

Y esto lo debemos hacer sí o sí porque tal y como está escrito ese denominador no es igual a \( x(x-3)^{2}=x^{3}-6x^{2}+9x \). A eso me refiero con alterar la función racional original. ¿verdad?

[sugata]

A mi quedaba  \( \dfrac{Ax(x-3)^{2}+Bx(x-3)+C(x-3)(x-3)^{2}}{(x-3)(x-3)^{2}x} \), pero veo que para que no se altere la expresión original debo dividir numerador y denominador por \( (x-3) \) quedándome ahí sí  \( \dfrac{Ax(x-3)+Bx+C(x-3)^{2}}{x(x-3)^{2}} \). ¿No?

Ésto es lo correcto.

[Ariel Fernández]

Muchas gracias a todos. Gracias Franco, sugata , ingmarov por sus respuestas. Siempre claros y completos. Lo único que aún tengo es una duda teórica: ¿Cuál sería la justificación de este procedimiento para el caso de denominadores que tienen ordenes de multiplicidad n mayor a  1? ¿Por qué debemos elevar a la n?

[sugata]

Muchas gracias a todos. Gracias Franco, sugata , ingmarov por sus respuestas. Siempre claros y completos. Lo único que aún tengo es una duda teórica: ¿Cuál sería la justificación de este procedimiento para el caso de denominadores que tienen ordenes de multiplicidad n mayor a  1? ¿Por qué debemos elevar a la n?

No se la justificación exacta, pero fíjate lo que pasa si quitamos el \( x-3 \)

\( \dfrac{A} {(x-3) ^2}+\dfrac{B}{x}=\dfrac {x-5}{x(x-3)^2} \)

El numerador quedaría con solo un cuadrado \( Bx^2 \) con lo que al igualar a 0; \( B=0 \)

Pero
\( Ax+Bx^2-6Bx+9B=x-5 \)
Como \( B=0 \)
\( Ax=x-5 \)
No tenemos término independiente para igualar.

[ingmarov]

¿Cuál sería la justificación de este procedimiento para el caso de denominadores que tienen ordenes de multiplicidad n mayor a  1?

Supongo que te refieres a la diferencia de grados entre el numerador y denominador.

Te pongo un par de ejemplos sencillos (pasa lo mismo con casos más complejos) de cuando el grado del numerador es mayor (o igual)que el grado  del denominador

1)
\[ \dfrac{3x^2-9x+12}{2x}=\dfrac{3x^2}{2x}+\dfrac{-9x}{2x}+\dfrac{12}{2x}=\underbrace{\frac{3}{2}x-\frac{9}{2}}_{polinomio}+\underbrace{\dfrac{6}{x}}_{\textrm{fraccion simple}} \]


2)
\( \dfrac{x+3}{x-2}=\dfrac{x-2+5}{x-2}=\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{5}{x-2}=1+\dfrac{5}{x-2} \)


Agrego

Recuerda que esa fracción es equivalente a la división de polinomios. Las fracciones simples es el resto (residuo) de la división de polinomios dividido entre el denominador.

¿Por qué debemos elevar a la n?

No entiendo esto


Saludos

[sugata]

¿Por qué debemos elevar a la n?

No entiendo esto


Saludos

Quiero entender que pregunta por qué cuando hay raíces dobles, hay que poner dos denominadores \( x-a\ y\ (x-a)^2  \)

[ingmarov]

...
Quiero entender que pregunta por qué cuando hay raíces dobles, hay que poner dos denominadores \( x-a\ y\ (x-a)^2  \)

Ah, creo que lo has entendido bien.

Pongo algo relacionado. Y ¿Por qué no lo hacemos así?

\[ \dfrac{x+5}{x(x-3)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(x-3)^2} \]

Entonces tenemos \[ x+5=A(x-3)^2+(Bx+C)x \]     haciendo las multiplicaciones nos queda

                           \[ x+5=(A+B)x^2+(-6A+C)x+9A \]

Tenemos  \[ \begin{cases}A+B=0\\-6A+C=1\\9A=5\end{cases} \]

Resolviendo \[ A=\dfrac{5}{9},\quad B=-\dfrac{5}{9},\quad C=\dfrac{13}{3} \]

Por lo que   

\[ \dfrac{x+5}{x(x-3)^2}=\dfrac{\frac{5}{9}}{x}+\color{blue}\dfrac{-\frac{5}{9}x+\frac{13}{3}}{(x-3)^2} \]

Pero ese termino en azul aún se puede expandir en fracciones simples

\[ \dfrac{-\frac{5}{9}x+\frac{13}{3}}{(x-3)^2}=-\frac{5}{9}\left(\dfrac{x-\frac{39}{5}}{(x-3)^2}\right)=-\frac{5}{9}\left(\dfrac{(x-3)+3-\frac{39}{5}}{(x-3)^2}\right)=-\frac{5}{9}\left(\dfrac{(x-3)}{(x-3)^2}+\dfrac{3-\frac{39}{5}}{(x-3)^2}\right)=-\frac{5}{9}\left(\dfrac{\cancel{(x-3)}}{(x-3)^{\cancel{2} 1}}+\dfrac{-\frac{24}{5}}{(x-3)^2}\right)=\dfrac{-\frac{5}{9}}{x-3}+\dfrac{\frac{8}{3}}{(x-3)^2} \]


Por lo que terminamos en el mismo resultado

\[ \dfrac{x+5}{x(x-3)^2}=\dfrac{\frac{5}{9}}{x}+{\color{blue}\dfrac{-\frac{5}{9}x+\frac{13}{3}}{(x-3)^2}}\bf =\dfrac{\frac{5}{9}}{x}+\dfrac{-\frac{5}{9}}{x-3}+\dfrac{\frac{8}{3}}{(x-3)^2} \]

¿Por qué debemos elevar a la n?

Entonces, si es como sugata piensa, una respuesta sería: Hazlo como se te ha enseñado porque de esa forma garantizas que expandes al máximo tu expresión racional.

Saludos