[AH]

Saludos.

Me piden hallar el número de soluciones de

\( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=20 \)

Editado
Pero el problema está en que cada xi debe ser un entero mayor o igual que cero comprendido entre [0,8] (con 0 y 8 incluidos).

Necesito que me ayuden. Yo sé resolver este tipo de ejercicios, pero sin la última condición.

Gracias de antemano.

[mathtruco]

Hola AH, bienvenido al foro.


Son infinitas soluciones.

para verlo:
Por ejemplo, si \( x_1=x_2=x_3=0 \) y \( x_4=8 \) entonces \( x_5+x_6=12 \)

es decir, el conjunto de todas las \( x_5, x_6 \) que están en esa porción de recta (sobre la recta y entre 0 y 8) que son infinitas...

con eso tienes "algunas" soluciones, que ya no son finitas.

[AH]

Perdón, se me olvidó mencionar que xi pertenece al conjunto de los naturales, es decir, sólo me interesan los valores discretos.

Gracias.

[bepro]

Esto se aplica mucho en los polinomios simetricos y el número total de soluciones es: \( \displaystyle\frac{21\cdot{22\cdot{23}}}{6}= 1771 \)

[AH]

¿Podrías explicarme de dónde sale la fórmula?

Buscando algo sobre polinomios simétricos he topado con wikipedia, pero no dice gran cosa.

En otras páginas lo que encuentro lo veo demasiado avanzado.
¿Es fácil deducir tu expresión?

Gracias a los dos de nuevo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Soluciones (sin importar el orden) para esa ecuación son entre otras muchas:

\(  0+1+2+3+6+8=20 \)
\(  0+2+3+4+5+6=20 \)
\(  0+1+2+4+5+8=20 \)
\(  0+1+2+4+6+7=20 \)

 Cada una de ellas las puedes de 6! formas. Por tanto al menos tienes:

 \( 6!\cdot 4=2880 \) soluciones

 Con esto quiero decir que la solución de bepro no puede ser correcta.

 Lo que puedes hacer es aplicar inclusión exclusión:

 - Contar todas las soluciones con la única restricción de que sean no negativas:

\( \displaystyle\binom{6+20-1}{20} \)

 - Restar todas las soluciones con la única restricción de que sean no negativas y al menos una mayor igual que 9. Por ejemplo si suponemos \( x_1\geq 9 \) contamos las soluciones de:

\( x_1'+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=11 \) con \( x_1'=x_1-9 \)

 En total:

\( 6\cdot \displaystyle\binom{6+11-1}{11} \)

 - Volver a sumar las que hemos restado dos veces, es decir cuando dos soluciones superan o igualan 9:

\( \displaystyle\binom{6}{2}\cdot \displaystyle\binom{6+2-1}{2} \)

 En total:

\( \displaystyle\binom{6+20-1}{20}-6\cdot \displaystyle\binom{6+11-1}{11}+\displaystyle\binom{6}{2}\cdot \displaystyle\binom{6+2-1}{2} \)

Saludos.

[bepro]

El número de soluciones de dicha ecuación es simplemente el número de combinaciones con repetición de m objetos tomados de n en n, donde m=20 y n=6,por tanto el número es \( \displaystyle\binom{6+20-1}{6-1}=\displaystyle\binom{25}{5}=\displaystyle\frac{25!}{5!\cdot{20!}}=53130 \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Cierto, bepro, aunque no estoy muy seguro que quieres decir con esa puntualización. Recordemos que:

\( \displaystyle\binom{6+20-1}{6-1}=\displaystyle\binom{6+20-1}{20} \)

 Pero luego hay que descontar aquellas en las que algún \( x_i \) supera el ocho, como dije en el post anterior, etcétera...

Saludos.

[bepro]

Perdón me he olvidado que solamente son válidos los números del intervalo [0,8], por tanto a ese numero tenemos que restarle todas las combinaciones con repetición de 11 elementos tomados de seis en seis que son los numeros que pasa de 9 elementos es decir: \( 53130-\displaystyle\binom{24}{5}=\displaystyle\frac{24!}{5!\cdot{19!}}=53130-42504=10626 \)Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

combinaciones con repetición de 11 elementos tomados de seis en seis que son los numeros que pasa de 9 elementos es decir:

Eso es distinto de lo que restas:

\( \displaystyle\binom{24}{5} \)

Y sea como sea no es correcto.

mmmm.... bepro...no sé, da la impresión de que no has leído mi solución al problema. Es muy parecido a lo que estás diciendo, pero con algunos matices.  Quizá me haya equivocado, pero sería bueno un diálogo, una valoración por tu parte si piensas que no está bien. Añades aportaciones, lo cual es bueno, pero no acabo de estar seguro si pretenden ser una solución distinta, u otra cosa.

Saludos.