[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Un oscilador consta de un bloque de \( 512 g \) de masa unido a un resorte. En \( t =0 \), se estira \( 34.7 cm \) respecto a la posición de equilibrio y se observa que repite su movimiento cada \( 0.484 \) segundos.
Halla:
(a) el período.
(b) la frecuencia.
(c) la frecuencia angular.
(d) la constante de fuerza.
(e) la velocidad máxima.
(f) la fuerza máxima ejercida sobre el bloque.
(g) la ecuación de movimiento.
(h) la solución.

Bueno, recién estoy empezando con el M.A.S, hasta ahora realice lo siguiente:
El periodo me lo dan así que \( f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0.484}\cong 2.066 \)

La frecuencia angular es \( \omega=2\cdot\pi\cdot f=2\cdot\pi\cdot2.066\cong12.98 \)

Ahora aprovechando que en el oscilador masa-resorte \( \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\Rightarrow \omega^2=\dfrac{k}{m}\Rightarrow k=\omega^2\cdot m \) sustituyendo los valores \( k\cong86.28N/m \)

Aquí me tranco y me surgen 2 dudas que son las siguientes:
No se como afrontar el calculo de la velocidad máxima, entiendo que esta se daría en el punto de equilibro pero no se como continuar.

Luego, en clase nos dijeron que podemos presentar 2 soluciones, una de la forma: \( x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)  \) y otra de la forma \( x(t)=A'cos(\omega t + \varphi) \) donde podíamos cambiar de una a la otra con las siguientes relaciones:
\( A'=\sqrt{A^2+B^2} \)
\( \tan(\varphi)=\dfrac{B}{A} \)

¿Existe algún indicio para saber cuando tengo que usar cada una de las soluciones? Me refiero a como saber cual será mas cómoda para trabajar el problema.

Saludos,
Franco.

Agrego: No se si es correcto asumir esto, pero si el estiramiento inicial es el máximo (amplitud) entonces la energía elástica máxima estaría dada en el momento \( t_0 \) que se transformaría totalmente en energia cinética en \( x=0 \).
\( K_{max}=\dfrac{1}{2}kx_0^2=\dfrac{1}{2}mv^2 \) despejando \( v \) obtengo \( v= \sqrt{\dfrac{kx_0^2}{m}}\cong4.5m/s \)

Consecuentemente la fuerza máxima esta dada en el instante que el bloque esta en la posición de amplitud máxima (\( x_0 \) y \( -x_0 \)) por la ley de Hooke entonces \( F_{max}=kx_0\cong29.24N \)

Finalmente con la solución general  \( x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)  \) que fue resuelta genericamente en clase obtuvimos:
\( A=x_0 \)
\( B=v_0\cdot\sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
Utilizando los datos del ejercicio la solución a la ecuación de movimiento seria entonces:\( x(t)=A\cos(\omega t)\cong 0.347\cdot\cos\left(12.98\cdot t\right) \)

¿Es correcto?

[JCB]

Hola a tod@s.

En general, coincido. Solo hago estos dos comentarios:

e) Según Wikipedia, si se parte de la expresión \( x(t)=A\cos(\omega t+\phi) \), derivando, \( v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\phi) \). La velocidad máxima en módulo es \( v_{\text{máx.}}=A\omega=4,50\ m/s \), que coincide con la que tú has calculado.

f) Para hallar la fuerza máxima ejercida sobre el bloque, se debe tener en cuenta a la deformación del muelle debida al peso.
\( F_{\text{máx.}}=k(A+\dfrac{mg}{k})=kA+mg=34,96\ N \).

Saludos cordiales,
JCB.

[franma]

Buenas JCB,

f) Para hallar la fuerza máxima ejercida sobre el bloque, se debe tener en cuenta a la deformación del muelle debida al peso.
\( F_{\text{máx.}}=k(A+\dfrac{mg}{k})=kA+mg=34,96\ N \).

¿Qué seria la deformación del muelle debido al peso?
Yo entendí el sistema "masa-resorte" como una masa con un muelle paralelo al suelo, donde si aplicamos la 1era cardinal obtenemos:
x) \( -kx=ma \)
y) \( N-mg=0 \)
No logro ver donde el peso podría afectar la fuerza del resorte.

Saludos,
Franco.

[JCB]

Hola a tod@s.

Disculpa, franma. Parece que es un error de interpretación mío. Entendí que la masa unida al resorte, oscilaba verticalmente.

Saludos cordiales,
JCB.

[franma]

Hola a tod@s.

Disculpa, franma. Parece que es un error de interpretación mío. Entendí que la masa unida al resorte, oscilaba verticalmente.

Saludos cordiales,
JCB.

No hay problema JCB, sin imagen se puede prestar a ambas interpretaciones, pero en clase vimos principalmente el "horizontal" como el sistema masa-resorte.

Saludos,
Franco.

[robinlambada]

Esta todo correcto, felicidades.

La idea de utilizar la ley de conservación para calcular la velocidad máxima es muy acertada. También se puede obtener sin más que derivar la ecuación de la posición en función del tiempo , como la velocidad inicial es cero entonces la constante  B es cero, B=0.

La ecuación de la trayectoria se obtiene integrando la ec. que viene de la 2ª ley de Newton.

\( -kx=m\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2} \) ,  \( \displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega ^2x \)

Es una ec. diferencial de 2º grado homogénea con coeficientes constantes.


Solución general \( x(t)=A\cos(\omega t)+B\sen(\omega t)  \)(*)

(viene de suponer como solución \( x(t)=e^{rt} \) sustituyendo en la e.d.o. tenemos \( r^2=-\omega ^2\Leftrightarrow{}r=\pm{}i \omega  \)  y \( x(t)=C_1e^{i\omega t}+C_2e^{-i \omega t} \), que se pueden convertir en seno y coseno)

La expresión (*) utilizando fasores (suma geométrica de números complejos) se puede transformar en \( x(t)=A'cos(\omega t + \varphi) \)

Saludos.

[franma]

Buenas robinlambada,

Esta todo correcto, felicidades.

La idea de utilizar la ley de conservación para calcular la velocidad máxima es muy acertada. También se puede obtener sin más que derivar la ecuación de la posición en función del tiempo , como la velocidad inicial es cero entonces la constante  B es cero, B=0.

La ecuación de la trayectoria se obtiene integrando la ec. que viene de la 2ª ley de Newton.

\( -kx=m\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2} \) ,  \( \displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega ^2x \)

Es una ec. diferencial de 2º grado homogénea con coeficientes constantes.


Solución general \( x(t)=A\cos(\omega t)+B\sen(\omega t)  \)(*)

(viene de suponer como solución \( x(t)=e^{rt} \) sustituyendo en la e.d.o. tenemos \( r^2=-\omega ^2\Leftrightarrow{}r=\pm{}i \omega  \)  y \( x(t)=Ae^{i\omega t}+Be^{-i \omega t} \), que se pueden convertir en seno y coseno)

La expresión (*) utilizando fasores (suma geométrica de números complejos) se puede transformar en \( x(t)=A'cos(\omega t + \varphi) \)

Saludos.

Algo nombraron en clase de una relación entre exponenciales (o exponenciales complejas, no recuerdo bien) y funciones sinusoidales pero fue eso solamente.
La verdad este tema me agarro por sorpresa ya que se trabajan ecuaciones diferenciales y no tenia experiencia con ellas previamente.

La pregunta que todavía me queda es: ¿Es indistinta la "forma" de la solución que utilice? ¿O puede ser que algunas se adapten mejor dependiendo de los datos iniciales que tenga?

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Bueno, recién estoy empezando con el M.A.S, hasta ahora realice lo siguiente:
El periodo me lo dan así que \( f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0.484}\cong 2.066 \)

La frecuencia angular es \( \omega=2\cdot\pi\cdot f=2\cdot\pi\cdot2.066\cong12.98 \)

Ahora aprovechando que en el oscilador masa-resorte \( \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\Rightarrow \omega^2=\dfrac{k}{m}\Rightarrow k=\omega^2\cdot m \) sustituyendo los valores \( k\cong86.28N/m \)

Aquí me tranco y me surgen 2 dudas que son las siguientes:
No se como afrontar el calculo de la velocidad máxima, .....


Agrego: No se si es correcto asumir esto, pero si el estiramiento inicial es el máximo (amplitud) entonces la energía elástica máxima estaría dada en el momento \( t_0 \) que se transformaría totalmente en energia cinética en \( x=0 \).
\( K_{max}=\dfrac{1}{2}kx_0^2=\dfrac{1}{2}mv^2 \) despejando \( v \) obtengo \( v= \sqrt{\dfrac{kx_0^2}{m}}\cong4.5m/s \)

Consecuentemente la fuerza máxima esta dada en el instante que el bloque esta en la posición de amplitud máxima (\( x_0 \) y \( -x_0 \)) por la ley de Hooke entonces \( F_{max}=kx_0\cong29.24N \)

Hasta aquí todo correcto, me decanto por el método más directo por energías para que halles la velocidad máxima.

Fijate que en g te piden la ecuación que regirá el movimiento

\( ma=-kx \)

ósea

\( m\ddot x=-kx \)

osea la ecuación diferencial

y en h te piden la solución de esa ecuación diferencial

Finalmente con la solución general  \( x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)  \) que fue resuelta genericamente en clase obtuvimos:
\( A=x_0 \)
\( B=v_0\cdot\sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
Utilizando los datos del ejercicio la solución a la ecuación de movimiento seria entonces:\( x(t)=A\cos(\omega t)\cong 0.347\cdot\cos\left(12.98\cdot t\right) \)

¿Es correcto?

La solución queda  \( x(t)=x_{eq}+(x_o-x_{eq})\cos \left( \sqrt{\frac km}t\right ) \)

Saludos:   veo que el tema lo tienes bastante claro

[franma]

Buenas Richard,

La solución queda  \( x(t)=x_{eq}+(x_o-x_{eq})\cos \left( \sqrt{\frac km}t\right ) \)

¿Qué seria \( x_{eq} \) exactamente? No vimos ninguna solución de esa forma.

veo que el tema lo tienes bastante claro [/size]

  Si así parece entonces todo el reconocimiento debe ir al profesor de practico que nos ilustro con un muy buen resumen teórico del tema.
Mañana de seguro estaré presentado mas ejercicios por aquí.

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

¿Qué seria \( x_{eq} \) exactamente? No vimos ninguna solución de esa forma.

Hola , Preguntabas si la solución era general o dependía de algún modo de las condiciones de contorno....




 \( x_{eq} \) es la posición del punto de equilibrio o posición en la cual el extremo del resorte esta relajado en el sistema de referencia que adoptes, , tu has hecho la suposición que ese punto esta en  \( x_{eq}=0 \) y que la amplitud del movimiento  es \( x_0 \) pero en realidad es \( A=(x_0-x_{eq}) \) para un sistema de referencia donde la posición de lanzamiento es más lejana que la posición de equilibrio. Cuando \( x_{eq}=0 \) entonces el desplazamiento inicial o amplitud máxima  coincide numéricamente con la posición de estiramiento máxima, si corres el sistema  un metro hacia cualquier lado, la amplitud es la misma pero la posición del máximo estiramiento cambia y el punto de equilibrio cambia... me he explicado?