¿Qué seria \( x_{eq} \) exactamente? No vimos ninguna solución de esa forma.
Hola , Preguntabas si la solución era general o dependía de algún modo de las condiciones de contorno....
\( x_{eq} \) es la posición del punto de equilibrio o posición en la cual el extremo del resorte esta relajado en el sistema de referencia que adoptes, , tu has hecho la suposición que ese punto esta en \( x_{eq}=0 \) y que la amplitud del movimiento es \( x_0 \) pero en realidad es \( A=(x_0-x_{eq}) \) para un sistema de referencia donde la posición de lanzamiento es más lejana que la posición de equilibrio. Cuando \( x_{eq}=0 \) entonces el desplazamiento inicial o amplitud máxima coincide numéricamente con la posición de estiramiento máxima, si corres el sistema un metro hacia cualquier lado, la amplitud es la misma pero la posición del máximo estiramiento cambia y el punto de equilibrio cambia... me he explicado?
Lo más lógico en este problema es poner la posición de equilibrio en el origen de coordenadas.
Solo tiene sentido poner un \( x_e\neq0 \), cuando por ejemplo tenemos una traslación del origen de equilibrio, como el producido por la gravedad si el muelle estuviera colgado verticalmente, la fuerza del peso provoca un estiramiento que equivale a un nuevo punto de equilibrio.
entonces la e.d.o sería:
\( -mg-kx=m\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2} \)
La nueva posición de equilibrio será (sin movimiento) \( mg-kx=0\Leftrightarrow{}x_{eq}=\displaystyle\frac{mg}{k} \)
Si nos fijamos en la e.d.o nueva \( -mg-kx=m\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}\Leftrightarrow{}-(\displaystyle\frac{mg}{k}+x)=\displaystyle\frac{m}{k}\displaystyle\frac{d^x}{dt^2} \)
Haciendo la traslación \( y= \displaystyle\frac{mg}{k }+x=x_{eq}+x \) , queda \( \displaystyle\frac{d^2y}{dt^2}=\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2} \)
Tenemos la misma e.d.o. trasladada , pero con la misma solución.
\( \displaystyle\frac{d^2y}{dt^2}=-\omega ^2 y \)
Pero no es el caso ya que no hay ninguna fuerza que desplace el muelle de su posición de equilibrio natural y lo más sencillo en este caso es escoger el origen de referencia en en el.
Algo nombraron en clase de una relación entre exponenciales (o exponenciales complejas, no recuerdo bien) y funciones sinusoidales pero fue eso solamente.
La verdad este tema me agarro por sorpresa ya que se trabajan ecuaciones diferenciales y no tenia experiencia con ellas previamente.
Toda función de variable real \( f(x) \) se puede descomponer como suma de una función par más una impar ( el coseno es par y el seno impar)
En general \( f(x)=\underbrace{\displaystyle\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{función\,par}+\underbrace{\displaystyle\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{función\,impar} \) con esta idea y sabiendo que :
\( \cos \omega t=\displaystyle\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2} \) y \( \sen\omega t=\displaystyle\frac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i} \)
La pregunta que todavía me queda es: ¿Es indistinta la "forma" de la solución que utilice? ¿O puede ser que algunas se adapten mejor dependiendo de los datos iniciales que tenga?
Saludos,
Franco.
Bueno es cuestión de gustos, quizás la forma del coseno es más compacta y fácil de interpretar, pero son equivalentes.
En la expresión con coseno y seno
Cuando La velocidad inicial es cero el termino seno desaparece y si la posición inicial es \( x(0)=0 \) con velocidad dada \( v(0)\neq 0 \) lo que vale cero es A ( desaparece el coseno) y queda el seno.
Como propiedad, recuerda que \( \cos (\omega t-\displaystyle\frac{\pi}{2})=\sen \omega t \)
Saludos.
