[franma]

Buenas

El enunciado dice lo siguiente:
Ricardo y Judith, (a quienes supondremos de \( 51,2 \) kg de masa) están patinando sobre hielo, aproximándose el uno hacia el otro con velocidad de idéntico módulo \( 1,38m/s \). Sus trayectorias son paralelas y están separadas una distancia de \( 2,92 m \). Ricardo lleva en sus manos una barra ligera, larga de \( 2,92 m \) de longitud y Judith toma el extremo de ésta al pasar. Supondremos que el hielo carece de fricción:
(a) Describe cuantitativamente el movimiento de los patinadores después de que están unidos por la barra.
(b) Después, ayudándose al tirar de la barra, los patinadores reducen su separación a \( 0,940 m \). Halla su velocidad angular entonces.
(c) Calcula la energía cinética del sistema en las partes (a) y (b). ¿Por qué cambió?

Observación: la cantidad de movimiento total del sistema, vista desde un referencial en reposo, es nula en todo momento.

Este es mi intento:
(a) Una vez se agarra Judith a la barra mantendrán su velocidad tangencial, pero comenzaran a rotar alrededor del centro de la barra con velocidad angular \( \omega=\dfrac{v_i}{L/2} \). Lo único que no logro argumentar es porque se mantiene la velocidad tangencial... aunque me parece casi intuitivo.

(b)
\( \omega=\dfrac{v_i}{L/2} \)

\( L_i=I_B\omega+\dfrac{2mLv}{2}=I_B\omega+mLv \)

\( R=\dfrac{L-l}{2} \) donde \( l \) es la distancia que acortaron (se acercaron).

\( L_f=(I_B + 2mR^2)\omega_f \)

Por conservación del momento angular:

\( I_B\omega+mLv=(I_B + 2mR^2)\omega_f \)

\( \omega_f=\dfrac{I_B\omega+mLv}{I_B + 2mR^2} \) Pero la letra dice barra ligera... nunca especifica masa, ¿es entonces esta despreciable? Si es así resultaría:

\( \omega_f=\dfrac{mLv}{2mR^2}=\dfrac{Lv}{2R^2} \)

Lo cual da una velocidad angular mayor que la inicial, esto para mi tiene sentido ya que apuntando un poco hacia el apartado (c) al acercarse ellos reducen el momento de inercia (que se entiende como la "resistencia" a girar) por lo que consecuentemente si se acercan giraran con mayor velocidad.

Cualquier ayuda o consejo es bienvenido.

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Hola Franma , fijate que el enunciado es un poco confuso,

siempre la velocidad de acercamiento de un patinador al otro es la misma en modulo y de signo cambiado para el mismo marco de referencia.

Puedes calcular el momento angular previo a tomarse de la barra , respecto de cualquier punto , pero mas fácil es verlo desde el centro de masas, ya intuyes veo, que esta en la posición \( L/2 \) ya que las masas de ambos patinadores son iguales.

así tienes 2 patinadores de masa m acercándose el CM con velocidad \( V_i/2 \) en direcciones paralelas y  sentidos opuestos,

luego \(  L_i=2(m\dfrac{v_i}2\dfrac L2 ) \)


una vez que se toman de los extremos , el sistema tiene tres posibilidades , trasladarse solamente, rotar solamente o roto trasladar.

si los momentos lineales de los dos patinadores son iguales y de signo opuesto su suma da 0 y entonces el CM no tiene momento lineal de traslación.

el sistemas rota si las direccion son paralelas pero no colineales,  su momento angular lo puedes calcula como \( L_f=I\omega \)

al conservarse el momento angular entre antes de tomarse y luego, igualas ecuaciones y resuelves

el momento de inercia lo calculas como dos masas puntuales m  a una distancia \( R=L/2 \) 

\( I=2(mR^2)=mL^2/2 \)

no se que es lo que quieres representar con \( I_B \) si es el momento de inercia del baricentro, o de la barra, pero te aclara  que esa masa es despreciable, por lo que mi formula es valida,  ah!!! bien , he seguido leyendo y si \( I_B \) es 0


para B) el momento angular se conserva , pero cambia el momento de inercia

\( L_f=\omega I=\omega_f I_f= \)

de allí tienes la relación para sacar la nueva velocidad angular,  si el momento de inercia se reduce  la velocidad angular aumenta.

c) resulta directa y obvia si la velocidad angular aumenta la energía cinetica aumenta aunque \( I\omega \) se constante.

el incremento de la energía cinetica proviene del trabajo de la fuerza centrípeta que hacen los patinadores en su intento de llegar más cerca del centro

[franma]

Buenas Richard,

La explicación de la primera parte la sigo bien, luego para el momento de inercia realice lo siguiente:
\( I=2mR^2=2m\dfrac{L^2}{4} \)
Pero no entiendo como obtienes que la velocidad es \( \dfrac{v_i}{2} \)

Yo la tome como \( v_i \) a secas (erróneamente supongo) por lo que obtengo:
\( \omega=\dfrac{v_i}{R}=\dfrac{2v_i}{L} \)

Luego

\( L_i=2m\dfrac{L^2}{4}\dfrac{2v_i}{L}=mLv_i \) que es el resultado de mi mensaje anterior.

Saludos,
Franco.

Agrego: ¿Es posible que mi error este relacionado al centro de masa? No es un concepto que me haya quedado del todo claro como utilizar y intuyo que lo estoy usando mal en este caso.

[Richard R Richard]

Bien  entiendo lo que preguntas, aver si puedo aclarartelo


te has preguntado porque la velocidad de un patinador es \( v_i \) en tu marco de referencia, es decir has elegido al otro patinador como solidario o en reposo con v=0 respecto al sistema de referencia,


Bien entonces tienes que aclarar en qué marco de referencia haces tus cálculos o mides las velocidades.


En ese marco de referencia,la suma de momentos lineales iniciales de los patinadores no es nulo y el centro de masas se mueve con velocidad \( v_i/2 \) y cuando esten unidos el sistema roto trasladara, el CM conservará su velocidad y los patinadores  se moverán con la misma velocidad angular que calculaste respecto de ese CM, ya que verás que coincidimos en valor.


en mi caso hice el cálculo respecto de un SR en reposo con el CM  , en él  veo venir a los patinadores desde lados opuestos con velocidad \( v_i/2  \),  y luego de tomarse por la varilla  el CM permanece en reposo.


son distintas formas de observar el problema, es decir usamos distinto marco de referencia, debemos coincidir en la velocidad angular, pero no en la velocidad de traslación.

[franma]

Buenas Richard,

La verdad he quedado un poco confundido, mi intención no era tomar un sistema de referencia donde un patinador tiene velocidad \( v_i \) y el otro \( 0 \). Si de verdad he llegado a un resultado correcto entonces a sido por casualidad y no por un análisis correcto de la situación por mi parte.

No comprendo porque se acercan al centro de masa con la mitad de la velocidad que llevan desde un referencial fijo (alguien desde las gradas por ejemplo).

\( V_{CM}=\dfrac{m(v_i)+m(-v_i)}{2m}=0 \)

No se donde concluir que su velocidad hacia el centro de masa sea \( \dfrac{v_i}{2} \).

Supongo que mi intento original al problema esta errado y fue de casualidad que llegue a algo correcto (si es que mi resultado es correcto en primer lugar).
Si hubiese elegido un referencial solido a un patinador, entonces este tendría velocidad 0, pero percibiría al otro patinador acercándose hacia este al doble de velocidad ¿no es cierto?, pero esto tampoco es lo que plantee yo en mis ecuaciones...

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

llamemos  A y B a Ricardo y Judith  tomemos como sistema de referencia a Ricardo, entonces su velocidad respecto al sistema de referencia es 0 y la velocidad de Judith o b es \( v_1 \)

la velocidad del CM sale de

\( V_{CM}=\dfrac{m \cdot 0+m\cdot v_1}{m+m}=\dfrac{v_i}{2} \)

la velocidad relativa del patinador B respecto del CM es

\( v_{Bcm}=v_i-V_{CM}=v_i-\dfrac{v_i}{2}=\dfrac{v_i}{2} \)

y la del patinador A respecto del CM

\( v_{Acm}=0-V_{CM}=0-\dfrac{v_i}{2}=-\dfrac{v_i}{2} \)

así que el CM los ve venir con el mismo modulo \( |\dfrac{v_i}{2}| \) pero con sentidos diferentes por eso tienen los signos opuestos.




PD Fijate que dice el enunciado que \( v_i \) es la velocidad de acercamiento entre ellos, y no la velocidad respecto a alguien en las gradas. por eso decía que es bastante confuso el enunciado, no te deja claro si se acercan al CM cada uno a 1.38m/s visto desde las gradas o esa es la velocidad relativa entre ellos.


para mi A ve venir a B a 1.38m/s
y B ve venir a A a -1.38m/s


por eso ambos tienen el mismo modulo, y redunda al explicarlo

[franma]

Buenas Richard,

Pero también la observación dice que desde un referencial en reposo la cantidad de movimiento es nula en todo momento ¿No significa eso que se mueven a la misma velocidad y con modulo opuesto?

Me quedan todavía unos ejercicios por hacer... pero si este no lo termino de entender evidente que los demás menos.
Comparado con el momento lineal encuentro el angular bastante más confuso .

Saludos,
Franco.

[robinlambada]

Buenas Richard,

Pero también la observación dice que desde un referencial en reposo la cantidad de movimiento es nula en todo momento ¿No significa eso que se mueven a la misma velocidad y con modulo opuesto?

Me quedan todavía unos ejercicios por hacer... pero si este no lo termino de entender evidente que los demás menos.
Comparado con el momento lineal encuentro el angular bastante más confuso .

Saludos,
Franco.

Estoy de acuerdo con franma , no solo por que el momento lineal sea cero.
Sino por que dice que la velocidad en módulo de los dos, es la misma y vale \( v_i \) y no \( \displaystyle\frac{v_i}{2} \)

llamemos  A y B a Ricardo y Judith  tomemos como sistema de referencia a Ricardo, entonces su velocidad respecto al sistema de referencia es 0 y la velocidad de Judith o b es \( v_1 \)

No, yo entiendo que en ese referencial la velocidad de Judit es:  \( 2v_1 \)

PD Fijate que dice el enunciado que \( v_i \) es la velocidad de acercamiento entre ellos, y no la velocidad respecto a alguien en las gradas. por eso decía que es bastante confuso el enunciado, no te deja claro si se acercan al CM cada uno a 1.38m/s visto desde las gradas o esa es la velocidad relativa entre ellos.

No es la velocidad relativa entre ellos.

El enunciado dice lo siguiente:
Ricardo y Judith, (a quienes supondremos de \( 51,2 \) kg de masa) están patinando sobre hielo, aproximándose el uno hacia el otro con velocidad de idéntico módulo \( 1,38m/s \). Sus trayectorias son paralelas y están separadas una distancia de \( 2,92 m \). Ricardo lleva en sus manos una barra ligera, larga de \( 2,92 m \) de longitud y Judith toma el extremo de ésta al pasar. Supondremos que el hielo carece de fricción:

Se acercan con velocidad de idéntico módulo \( 1,38m/s \).
Te están dando ese módulo que es la velocidad de cada uno , en ningún momento dicen que es la velocidad relativa. solo te dicen que se acercan, que tienen velocidades en módulo iguales y que ese módulo es   \( 1,38m/s \). Se sobreentiende que es respecto a un sistema de referencia en reposo respecto a la pista.

Saludos.

[Richard R Richard]

Observación: la cantidad de movimiento total del sistema, vista desde un referencial en reposo, es nula en todo momento.

eso significa que ambos patinadores se mueven con el mismo modulo de velocidad en sentidos opuestos, la velocidad de acercamiento total, para mi es 1.38m/s en modulo uno respecto del otro , ( y no 1.38 m/s respecto de suelo) luego su velocidad respecto al marco de referencia es la mitad , como explique en el mensaje anterior, y el CM tiene velocidad nula en ese marco de referencia, tal cual lo desarrolle en el primer mensaje de este hilo.


veamos yo digo que 

\( L_i=2(m\dfrac{v_i}2\dfrac L2 ) \)

el momento de inercia respecto del CM es

\( I=2(mR^2)=mL^2/2 \)

si la velocidad angular sale de

\( \omega =\dfrac{L_i}{I}=\dfrac{\dfrac{mLv_i}{2}}{\dfrac{mL^2}{2}}=\dfrac{v_i}{L} \)

si lo vez desde un sistema en que un patinador tiene velocidad nula y el otro se mueve con velocidad \( v_i \)

el momento angular es

\( L_2=mv_iL \)

y el momento de inercia al correr el eje de rotación hasta el punto donde esta el patinador A, una distancia \( R=L/2 \), por el teorema de Steiner es

\( I_2=I_{CM}+MR^2=\dfrac{mL^2}{2}+(2m)\dfrac{L^2}{2^2}=\dfrac{mL^2}{2}+\dfrac{mL^2}{2}=mL^2 \)


luego
\( \omega=\dfrac{L_2}{I_2}=\dfrac{mv_iL}{mL^2}=\dfrac{v_i}{L} \)


La velocidad angular es la misma por ambos métodos, pero no la velocidad de traslación porque en este marco el momento lineal no es nulo como pide el problema sino que es \( P=mv_i \) y la velocidad del centro de masas es la que dije antes \( V_{CM}=\dfrac{m \cdot 0+m\cdot v_1}{m+m}=\dfrac{v_i}{2} \)

[Richard R Richard]

es la velocidad de acercamiento entre ellos,




 aproximándose el uno hacia el otro con velocidad de idéntico módulo \( 1,38m/s \).

Hola, Robinlambada, como va...


Que otra velocidad es esa que no sea la velocidad relativa entre ellos, y en todo caso sino es de acercamiento entre ellos, es acercamiento hacia que otra cosa. en que marco?...

No, yo entiendo que en ese referencial la velocidad de Judit es:  \( 2v_1 \)

Me doy cuenta de lo que me quieres explicar
 pero entonces la velocidad de acercamiento del uno al otro no es 1.38m/s  sino 2.76m/s .




lo que no que no esta claro es si 1.38m/s es respecto al marco de referencia donde P es 0 o aproximándose el uno hacia el otro con velocidad de idéntico módulo \( 1,38m/s \)  puesto que visto uno desde el otro  las velocidades relativas son iguales en módulo pero de signos opuestos.