[franma]

Buenas,

El ejercicio dice lo siguiente:
Una cucaracha de masa m corre en sentido antihorario por el borde de un plato circular de radio R y momento de inercia I, que puede girar sin fricción en torno a un eje vertical. La velocidad de la cucaracha con relación a la tierra es v, mientras que el plato gira en sentido horario a una velocidad angular \( \Omega \). La cucaracha encuentra una miga de pan sobre el borde y, por supuesto, se detiene.
(a) Halle la velocidad angular del plato después de haberse detenido la cucaracha.
(b) ¿Cuánta energía cinética se perdió?

Mi primera duda seria si es posible calcular el momento angular de la cucaracha como si fuese un "rígido" y no una partícula.
Quedaría de la siguiente manera:
\( L_i=I\Omega + mR^2\left(\dfrac{v}{R}\right)=I\Omega + mR \)

¿Es correcto esto? De otra manera no se exactamente como calcular el momento angular inicial.
¿O tal vez debo hacer movimiento relativo para la velocidad de la cucaracha?

Saludos,
Franco.

[delmar]

Hola

El momento angular de la cucaracha respecto a O es por definición \( \vec{r_c} \ X  \ m\vec{v}=Rmv \vec{k} \) donde \( \vec{r_c} \) es el vector posición de la cucaracha y \( \vec{v} \) su velocidad respecto a una referencia inercial en este caso solidaria  a tierra, obviamente se esta suponiendo que los ejes X e Y determinan el plano que contiene al plato y que O coincide con el centro del plato y Z es el eje de giro.


Saludos

[Richard R Richard]

Observa que la cucaracha corre en sentido contrario al giro del plato, por lo que elegido cualquier marco de referencia, los momentos del plato y la cucaracha tienen signo contrario, es decir uno se resta del otro, el valor resulta positivo o negativo dependiendo como se escogió el marco.


la velocidad angular final resulta de la conservación del momento angular ya que el frenado de la cucaracha sobre el plato es una fuerza interna, que no afecta al momento angular.


\( L_f=(I+mR^2)\Omega_f \)



la perdida de energía cinetica la hallas con 


\( 1- \dfrac{K_f}{K_i} \)


 

[franma]

Buenas Delmar,

Hola

El momento angular de la cucaracha respecto a O es por definición \( \vec{r_c} \color{red}{\ X} \color{black}{}  \ m\vec{v}=Rmv \vec{k} \) donde \( \vec{r_c} \) es el vector posición de la cucaracha y \( \vec{v} \) su velocidad respecto a una referencia inercial en este caso solidaria  a tierra, obviamente se esta suponiendo que los ejes X e Y determinan el plano que contiene al plato y que O coincide con el centro del plato y Z es el eje de giro.

Saludos

¿Esa X seria el producto vectorial cierto?

¿Pero entonces el momento angular del plato seria negativo (en la dirección contraria en z  me refiero)?

Saludos,
Franco.

[robinlambada]

Hola.

Buenas Delmar,

Hola

El momento angular de la cucaracha respecto a O es por definición \( \vec{r_c} \color{red}{\ X} \color{black}{}  \ m\vec{v}=Rmv \vec{k} \) donde \( \vec{r_c} \) es el vector posición de la cucaracha y \( \vec{v} \) su velocidad respecto a una referencia inercial en este caso solidaria  a tierra, obviamente se esta suponiendo que los ejes X e Y determinan el plano que contiene al plato y que O coincide con el centro del plato y Z es el eje de giro.

Saludos

¿Esa X seria el producto vectorial cierto?

Si, es el producto vectorial

¿Pero entonces el momento angular del plato seria negativo (en la dirección contraria en z  me refiero)?

Saludos,
Franco.

Cierto, sería negativo y el  momento angular total depende del que tenga mayor valor absoluto.

Saludos.

[Richard R Richard]

Si  bien le preguntas a Delmar...te respondo porque veo que , ahora no esta en Linea...


si sigues el convenio de la regla de la mano derecha, el giro antihorario tiene momento angular positivo en z y el horario negativo.

[franma]

Buenas Richard,

Claro, llevas razón.

Ahora expongo mi intento con la ayuda que me dieron:
\( L_i=-I\Omega + Rmv \)
\( L_f=(I+mR^2)\Omega_f \)

\( \Omega_f=\dfrac{-I\Omega + Rmv}{(I+mR^2)} \)

Y para la perdidia de energia cinetica:

\( 1-\dfrac{(I+mR^2)\Omega_f^2}{I\Omega + mv^2}=1-\dfrac{(I+mR^2)\left(\dfrac{-I\Omega + Rmv^2}{(I+mR^2)} \right)^2}{I\Omega + mv^2} = 1-\dfrac{\dfrac{(-I\Omega + Rmv^2)^2}{(I+mR^2)}}{I\Omega + mv^2} \)

\( = 1-\dfrac{(-I\Omega + Rmv^2)^2}{(I+mR^2)(I\Omega + mv^2)} \) No veo como simplificarlo más al momento.

¿Así seria correcto?

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Buenas Richard,

Claro, llevas razón.

Ahora expongo mi intento con la ayuda que me dieron:
\( L_i=-I\Omega + Rmv \)
\( L_f=(I+mR^2)\Omega_f \)

\( \Omega_f=\dfrac{-I\Omega + Rmv}{(I+mR^2)} \)

hasta allí bien

Y para la perdidia de energia cinetica:

\( 1-\dfrac{(I+mR^2)\Omega_f^2}{I\Omega + mv^2}=1-\dfrac{(I+mR^2)\left(\dfrac{-I\Omega + Rmv^2}{(I+mR^2)} \right)^2}{I\Omega + mv^2} = 1-\dfrac{\dfrac{(-I\Omega + Rmv^2)^2}{(I+mR^2)}}{I\Omega + mv^2} \)

\( = 1-\dfrac{(-I\Omega + Rmv^2)^2}{(I+mR^2)(I\Omega + mv^2)} \) No veo como simplificarlo más al momento.

¿Así seria correcto?

revisa la energia cinetica inicial, te faltan exponentes al cuadrado en un lado y te sobran en otro,


 si no me equivoco es


\( K_i=\dfrac{I\Omega^2+m\cancel{R^2}\dfrac{v^2}{\cancel{R^2}}}{2} \) corregido, me he copiado de tu primer enrgia cinetica y se me olvido el 1/2




\( \Delta K/K= 1-\dfrac{(-I\Omega + Rmv)^2}{(I+mR^2)(I\Omega^2 + mv^2)} \)

[franma]

Buenas Richard,

No entiendo de donde salen esos radios, ¿No seria simplemente la energía rotacional del plato más la de movimiento de la cucaracha?

\( K_i=\dfrac{I\Omega^2 + mv^2}{2} \)

Si es así solo me falto el cuadrado del omega, por lo que llego a:
\( = 1-\dfrac{(-I\Omega + Rmv^2)^2}{(I+mR^2)(I\Omega^2 + mv^2)} \)

Saludos,
Franco.

[franma]

Buenas Richard,

Veo que llegamos a lo mismo, pero evidentemente estoy yo errando en algún sitio.

Creo que es porque la cucaracha no tiene energía cinética de "movimiento" si no solo de rotación ¿cierto? Por lo que tu bien calculas \( \omega=\dfrac{v}{R} \) y por lo tanto la energía cinética de la cucaracha es:

\( K_{cucaracha}=\dfrac{mR^2\omega^2}{2}=K_{cucaracha}=\dfrac{m^2R^2\dfrac{v^2}{R^2}}{2}=K_{cucaracha}=\dfrac{mv^2}{2} \) Que es a lo que llegaste tu.

¿Es así el razonamiento?

Saludos,
Franco.