Hola y gracias de antemano.
Quisiera pedir ayuda con el siguiente ejercicio.
ENUNCIADO
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Un equipo de oceanógrafos está elaborando un mapa del fondo del mar para intentar recuperar un antiguo barco hundido. Por medio del sonar, desarrollan el modelo:
\( D=250+30x^2+50·sen(\displaystyle\frac{\pi·y}{2}), 0\leq{x}\leq{2}, -1\leq{y}\leq{1} \)
donde \( x,y \) denotan las distancias en Kms. y \( D \) la profundidad en metros.
1)Representar gráficamente la superficie.
2)Como la gráfica anterior representa la profundidad, no es un mapa del fondo oceánico. ¿Cómo se podría cambiar el modelo de modo que se obtuviera con él la gráfica del fondo?
3)¿A qué profundidad está el barco, si se encuentra en el punto de coordenadas x=1,y=0.5?
4)Representar la curva de nivel que pasa por el punto donde se encuentra situado el barco.
5)Calcular la pendiente del fondo en el punto donde se encuentra situado el barco en las direcciones norte y suroeste.
6)Hallar la dirección de máximo cambio de profundidad en el punto posición del barco. ¿Cuál es ese cambio máximo?
7)¿En qué dirección es nula la pendiente del fondo en ese punto?
8)Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie del fondo en el punto donde se encuentra situado el barco.
Solución 1)
\( z=250+30x^2+50·sen(\displaystyle\frac{π·y}{2}) \)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot3d+k%3D250%2B30x%5E%282%29%2B50+sen%28%28%CF%80y%29%2F%282%29%29Solución 2)
Como la grafica \( D(x,y) \) representa la profundidad, no es un mapa del fondo oceánico. Para graficar el fondo oceánico debemos calcular la función inversa de \( D(x,y) \); es decir, \( -D(x,y) \).
Solución 3)
Debemos calcular \( D(x,y) \) en el punto \( P=(1,0.5) \):
\( D(x,y)=250+30x^2+50sen (\pi.y)/2 \)
\( D(P)=D(1,0.5)=250+30(1)^2+50sen (\pi.(0.5))/2=280+50·sen (\pi.(0.5))/2=280+50·\sqrt{2}=315.35533… \) metros
Conclusión: el barco está a una profundidad de 315.35533… metros.
Solución 4)
Derivada direccional respecto de \( x \): \( D_x \): \( D_x (x,y)=\partial D/\partial x=60x \)
Derivada direccional respecto de \( y \): \( D_y \): \( D_y (x,y)=\partial D/\partial y=25·cos((\pi.y)·\pi) \)
Sustituyendo el punto \( P=(1,0.5) \) en las derivadas direccionales \( D_x (x,y) \) y \( D_y (x,y) \), se tiene:
\( D_x (P)=D_x (1,0.5)=\partial D/\partial x=60.(1)=60 \) metros
\( D_y (P)=D_y (1,0.5)=\partial D/\partial y=25\pi·cos((\pi.y)/2)=(25.\sqrt{2})/2 \partial =55.53603… \) metros
Conclusión: la pendiente en la dirección x es 60 metros. La pendiente en la dirección y es 55.53603 metros.
Representación gráfica
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\( z=D(x,y)=250+30x^2+50sen (\displaystyle\frac{\pi .y}{2}) \)
Como \( z=k \), es:
\( k=250+30x^2+50sen (\displaystyle\frac{\pi .y}{2}) \)
Ya podemos dibujar las curvas de nivel:
Para \( k=0 \), es: \( 30x^2+50sen (\pi.y)/2=-250+0 \)
Para \( k=1 \), es: \( 30x^2+50sen (\pi.y)/2=-249 \)
Para \( k=2 \), es: \( 30x^2+50sen (\pi.y)/2=-248 \)
