[mgranadosgg]

Hola y gracias a todos.

El apartado 5 pide calcular la pendiente del fondo en el punto donde se encuentra situado el barco en las direcciones norte y suroeste.

como es la pendiente del fondo, usamos la inversa de la función de la superficie \( −D(x,y) \). Entonces sería:

\( \frac{{\partial }}{{\partial y}} (-D(x,y))=∂/∂y (-250-30x^2-50sen(\displaystyle\frac{(\pi·y)}{2}))=-25\pi.cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}) \)

¿va bien hasta ahi?

Saludos.

[ingmarov]

Hola y gracias a todos.

El apartado 5 pide calcular la pendiente del fondo en el punto donde se encuentra situado el barco en las direcciones norte y suroeste.

como es la pendiente del fondo, usamos la inversa de la función de la superficie \( −D(x,y) \). Entonces sería:

\( \frac{{\partial }}{{\partial y}} (-D(x,y))=∂/∂y (-250-30x^2-50sen(\displaystyle\frac{(\pi·y)}{2}))=-25\pi.cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}) \)

¿va bien hasta ahi?

Saludos.

Este vídeo te puede servir

A ver, si   \[ D=250+30x^2+50\cdot sen(\frac{\pi y}{2}) \]

La derivada parcial de D respecto a \( y \) es

\[ \dfrac{\partial}{\partial y}(D)=\cancel{250}+\cancel{30x^2}+50\cdot cos(\frac{\pi y}{2})\cdot (\frac{\pi}{2})=25\pi cos(\frac{\pi y}{2}) \]

Continúa

Saludos

[mgranadosgg]

Hola y gracias.

ahora, en la dirección norte, sería:

\( D_y(0,1)=25\pi.cos(\displaystyle\frac{\pi.1}{2})=0 \)

¿voy bien?

Saludos.

[ingmarov]

Hola

Sí, está bien. No está bien. Por un momento pensé (0,1) eran las coordenadas del bote

Para calcular la derivada en el punto donde se encuentra el barco hacia el norte. Debes hacer
\[ \nabla D \cdot (0,1) \]

Debes hacer ese producto vectorial, y los valores para x, y debes usar las coordenadas del barco (1, 0.5)

Continúa

[mgranadosgg]

hola y gracias.

Calculamos \( \nabla D·(0,1) \):

\( D_x(x,y)=60x\rightarrow{}D_x(1,0.5)=60.1=60 \)

\( D_y(x,y)=25\pi.cos(\displaystyle\frac{\pi.y}{2})\rightarrow{}D_y(1,0.5)=55.5 \)

Ahora:

\( \nabla D(x,y)=60xi+25\pi.cos(\displaystyle\frac{\pi.y}{2})j\rightarrow{}\nabla D(1,0.5)=60i+55.5j \)

Entonces:

\( \nabla D(x,y)X(0,1)=(60i+55.5j)X(0,1)=60k \)

¿voy bien?

Saludos.

[ingmarov]

hola y gracias.

Calculamos \( \nabla D·(0,1) \):

\( D_x(x,y)=60x\rightarrow{}D_x(1,0.5)=60.1=60 \)

\( D_y(x,y)=25\pi.cos(\displaystyle\frac{\pi.y}{2})\rightarrow{}D_y(1,0.5)=55.5 \)

Ahora:

\( \nabla D(x,y)=60xi+25\pi.cos(\displaystyle\frac{\pi.y}{2})j\rightarrow{}\nabla D(1,0.5)=60i+55.5j \)

Entonces:

\( \nabla D(x,y)X(0,1)=(60i+55.5j)X(0,1)=60k \)

¿voy bien?

Saludos.

Lo que puse en rojo no está bien.

Cuando haces un producto vectorial (producto punto) lo haces así

\[ (a,b)\cdot (c,d)=a\cdot c+b\cdot d \]

Además \( (5,8)=5i+8j \)


Has hecho mal ese producto.

[mgranadosgg]

Hola y gracias.

Entonces sería:

Dirección norte:

\( \nabla D·(0,1)=(60i+55.5j)X(0,1)=((60·0)i+(55.5·1)j)=55.5j \)

Dirección suroeste:

\( \nabla D·(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2},\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})=(60i+55.5j)X(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2},\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})=((60·\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})i+(55.5·\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})j)=(30\sqrt[ ]{2})i+(27.75\sqrt[ ]{2})j \)

Saludos.

[ingmarov]

Hola

He corregido en las ecuaciones, sustituyento x por un punto (signo de producto punto)

Hola y gracias.

Entonces sería:

Dirección norte:

\( \nabla D·(0,1)=(60i+55.5j){\bf\color{red}\cdot}(0,1)=((60·0)\cancel{\color{red}i}+(55.5·1)\cancel{\color{red}j})=55.5\cancel{\color{red}j} \)

Dirección suroeste:

\( \nabla D·(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2},\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})=(60i+55.5j){\bf\color{red}\cdot}(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2},\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})=((60·\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})i+(55.5·\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})j)=(30\sqrt[ ]{2})\cancel{\color{red}i}+(27.75\sqrt[ ]{2})\cancel{\color{red}j} \)

Saludos.

El producto punto de dos vectores da como resultado un escalar

Dirección norte:

\( \nabla D·(0,1)=(60i+55.5j){\cdot}(0,1)=((60·0)+(55.5·1))=55.5 \)

Dirección suroeste:

\( \nabla D·(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2},\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})=(60i+55.5j){\bf\color{red}\cdot}(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2},\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})=((60·\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})+(55.5·\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}))=(30\sqrt[ ]{2})+(27.75\sqrt[ ]{2}) \)     

En este último habrá que sumar ese par de escalares y escribir un resultado final.

[ingmarov]

...

\( \nabla D·(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2},\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})=(60i+55.5j){\bf\color{red}\cdot}(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2},\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})=((60·\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})+(55.5·\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}))=(30\sqrt[ ]{2})+(27.75\sqrt[ ]{2}) \)     

En este último habrá que sumar ese par de escalares y escribir un resultado final.

Ah, hay otro error el vector unitario que apunta hacia el suroeste debe ser

\[ ({\bf\color{red}-}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2},{\bf\color{red}-}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}) \]

[mgranadosgg]

Hola y gracias.

Entonces sería:

se pide la pendiente del fondo en el punto donde está situado el barco hacia la dirección norte; o sea, la derivada direccional de la función \( D \) en la dirección \( \vec{PQ} \), siendo \( P=(1,0.5) \) y \( Q=(0,1) \). Para ello,

\( \vec{\nabla D(P)}·\vec{Q}=\vec{\nabla D(1,0.5)}·(0,1) \)                                          Vector gradiente de la función \( D \) evaluado en el punto \( P \) hacia el norte.

\( D_x(x,y)=60x\rightarrow{}D_x(1,0.5)=60·1=60 \)                          Derivada parcial x de la función \( D \) evaluada en el punto \( P \).
\( D_y(x,y)=25\pi cos(\displaystyle\frac{\pi.y}{2})\rightarrow{}D_y(1,0.5)=55.5 \)                      Derivada parcial y de la función \( D \) evaluada en el punto \( P \).
 
\( \vec{\nabla D(P)}=<D_x,D_y>=<60,55.5> \) ó \( <60\hat{i},55.5\hat{j}> \)          Vector gradiente de la función \( D \) evaluada en el punto \( P \).

Calcular el vector unitario \( \overrightarrow{U} \) en la dirección \( \overrightarrow{PQ} \):
  \( \overrightarrow{PQ}=(60,55.5)-(0,1)=(60,54.5) \)                                   Dirección \( \overrightarrow{PQ} \).
  \( \left\|{\overrightarrow{PQ}}\right\|=\sqrt[ ]{60^2+(54.5)^2}=81 \)
O sea,
  \( \overrightarrow{U}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{PQ}}{\left\|{\overrightarrow{PQ}}\right\|}=\displaystyle\frac{(60,54.5)}{81}=(0.74,0.67) \)

Por último, calcular la derivada direccional de la función \( D \) en la dirección \( \overrightarrow{PQ} \) (hacia el norte):
  \( D_UD(\overrightarrow{PQ})=\vec{\nabla D(P)}·\vec{U}=(60,54.5)·(0.74,0.67)=44.4+36.51=80.9 \)

Por tanto, la derivada direccional en la dirección del vector \( \overrightarrow{PQ} \) vale \( 80.9 \):
  \( D_UD=80.9 \)

Saludos.